Questions autour des ontologies en Mathématiques Brigitte Grugeon-Allys Françoise Chenevotot-Quentin Julia Pilet 23 novembre 2012 1.

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1 Questions autour des ontologies en Mathématiques Brigitte Grugeon-Allys Françoise Chenevotot-Quentin Julia Pilet 23 novembre 2012 1

2 Plan Des questions initiales issues du contexte du projet PepiMep Qu’est-ce qu’une ontologie ? Présentation de travaux – Questions abordées – Eléments méthodologiques – Résultats et limites Ontologie des capacités pour PepiMep Des questions à travailler 2

3 QUESTIONS INITIALES ISSUES DE PÉPIMEP 3

4 Enjeux de la modélisation de parcours d’enseignement différencié (PED) Fournir aux enseignants des outils pour différencier l’enseignement en fonction des besoins repérés des élèves Concevoir des exercices adaptés aux besoins d’apprentissage des élèves repérés par le test Pépite en algèbre élémentaire Niveau scolaire : 3 ème et début 2 nde 4

5 Des questions initiales Sur la plateforme en ligne LaboMep – Comment représenter les PED ? – Comment caractériser et indexer les exercices des PED ? – Quel accès pour les enseignants (automatique ou par exercice) ? En quoi la modélisation des parcours d’enseignement différencié définie par Julia Pilet permet-elle d’expliciter des choix pour l’indexation des exercices ? 5

6 Des allers-retours entre didacticiens des mathématiques et informaticiens Quel modèle informatique pour l’implémentation des PED à travers l’explicitation des choix retenus pour l’indexation des exercices des parcours ? Quel appui sur les travaux en informatique pour définir des critères de recherche, adaptés au contexte des PED, dans la base de données LaboMep ? Quelle prise en compte de l’organisation mathématique de référence autour du calcul des expressions pour étudier la cohérence de la structure (en lien avec la TAD) ? Quels impacts d’une démarche itérative et collaborative (avec des enseignants et des chercheurs en informatique) sur le choix du vocabulaire (interface pour les utilisateurs) ? 6

7 Principes généraux des PED Au niveau des exercices – Un enjeu d’apprentissage commun à la classe – type de tâches Prise en compte du moment de l’enseignement – Des exercices différenciés selon les groupes Les capacités à travailler Nature des expressions Jeu sur l’articulation des registres de représentation Découpage différent des énoncés Aides adaptées aux besoins des élèves Au niveau de la gestion de la classe – Les aides à apporter Aides adaptées aux besoins des élèves – Les déroulements Organisation de mises en commun et d’institutionnalisations Exercices d’entraînements réguliers 7

8 ONTOLOGIES 8

9 Qu’est-ce qu’une ontologie (1) ? « En philosophie, l’ontologie (de onto-, tiré du grec ὤν, ὄντος « étant », participe présent du verbe εἰμί « être ») est l'étude de l’être en tant qu’être, c'est-à- dire l'étude des propriétés générales de ce qui existe. »ὤνεἰμί « Par analogie, le terme est repris en informatique et en science de l’information, où une ontologie est l'ensemble structuré des termes et concepts représentant le sens d'un champ d'informations, que ce soit par les métadonnées d'un espace de noms, ou les éléments d'un domaine de connaissances. » Extrait de Wikipédia 9

10 Qu’est-ce qu’une ontologie (2) « L'ontologie constitue en soi un modèle de données représentatif d'un ensemble de concepts dans un domaine, ainsi que des relations entre ces concepts. Elle est employée pour raisonner à propos des objets du domaine concerné. » « Les ontologies sont employées dans l’intelligence artificielle, le Web sémantique, le génie logiciel ou encore l’architecture de l’information comme une forme de représentation de la connaissance au sujet d'un monde ou d'une certaine partie de ce monde. » « Les ontologies informatiques sont des outils qui permettent de représenter un corpus de connaissances sous une forme utilisable par un ordinateur. » Extrait de Wikipédia 10

11 Ontologie versus taxinomie Ontologie (informatique) Définition de Gruber Une ontologie est la spécification d’une conceptualisation d’un domaine de connaissances 2 dimensions – Conceptualisation d’un domaine – Spécification de la conceptualisation (description formelle) Taxinomie La taxinomie est la science qui a pour objet de décrire les organismes vivants Classification selon des termes contrôlés et organisés de façon hiérarchique (arbres) 11

12 Cinq critères d’évaluation d’une ontologie selon Gruber (1993) Clarté – La définition (complète et documentée en langage naturel) d’un concept doit faire passer le sens voulu du terme de manière objective Cohérence – Rien qui ne puisse être inféré de l’ontologie ne doit entrer en contradiction avec les définitions des concepts Extensibilité – Les extensions doivent être anticipées (l’ajout de nouveaux concepts ne doit pas conduire à toucher aux fondations de l’ontologie) Déformation d’encodage minimal – La déformation d’encodage (lorsque la spécification influe sur la conceptualisation) doit être minimale Engagement ontologique minimal – L’ontologie doit définir uniquement des termes nécessaires pour partager les connaissances consistantes de la théorie (le reste est superflu) 12

13 Critères d’évaluation d’une ontologie [Mokeddem & Desmoulins 2012] Intégration de raisonnements automatiques dans les EIAH basés sur des ontologies – Exemple de MemoNote (système d’annotation développé par Cyrille Desmoulins) L’utilisation sur le Web nécessite d’assurer les conditions ACID (transactions en parallèle des utilisateurs) – Atomicité – Cohérence – Isolation – Durabilité 13

14 Exemples d’ontologies en Mathématiques ActiveMath – Environnement d’apprentissage pour les maths Calibrate – Projet européen dédié à l’interopérabilité de ressources pédagogiques Geoskills – Ontologie du projet européen Intergeo (en appui sur Calibrate pour la définition des compétences) Acolab – Plateforme d’enseignement à distance (Strasbourg) PISA 14

15 PROJET INTERGEO ONTOLOGIE GEOSKILLS 15

16 Objectifs de Intergeo Accompagner l’évolution des pratiques enseignantes – Beaucoup d’enseignants utilisent des logiciels dans les classes – Ces usages restent souvent individuels  Favoriser le partage de ressources Définir un format interopérable (langue des documents, format des exercices créés) de représentation de constructions géométriques Proposer un système d’évaluation (référencement et qualité) des ressources 16

17 Méthodologie de Intergeo [Desmoulins 2010] Construire une ontologie des compétences de l’univers de la géométrie dynamique pour référencer – Les éléments des différents curriculums européens – Les ressources partagées Approche : considérer que les enseignants utilisent les descriptions des capacités (savoir-faire) attendues et des connaissances (savoirs) attendues et savent référencer les ressources qu’ils produisent (exos et docs) Nécessité d’obtenir une représentation formelle  ontologie Geoskills 17

18 Construction de l’ontologie Geoskills (autour du théorème de Thalès) Etape 1 : définir un sous ensemble thématique réduit (autour de Thalès) à partir des curricula Etape 2 : limiter l’univers de l’ontologie (compétences = capacités des élèves décrites par un verbe d’action appliqué à des notions) Etape 3 : développer une première version des concepts et propriétés de l’ontologie Etape 4 : faire valider l’approche ontologique par les experts, faire valider et évaluer les concepts et propriétés de l’ontologie initiale, ajouter incrémentalement des classes de compétences ou de notions qui manqueraient 18

19 Construction de l’ontologie Geoskills (autour du théorème de Thalès) Etape 5 : étendre le codage ontologique à l’ensemble des curricula Etape 6 : mettre en production l’ontologie sur la plateforme Web Intergeo pour décrire et rechercher des ressources Etape 7 : faire évaluer l’ontologie par les enseignants (non réalisé) http://i2geo.net/comped 19

20 Intergeo [http://i2geo.net/comped/ccTree.html, Desmoulins 2010] (1/5)http://i2geo.net/comped/ccTree.html Compétences : extrait sur " représenter graphiquement " 20

21 Intergeo [http://i2geo.net/comped/ccTree.html, Desmoulins 2010] (2/5)http://i2geo.net/comped/ccTree.html Compétences : extrait sur " compétences en algèbre " 21

22 Intergeo [http://i2geo.net/comped/ccTree.html, Desmoulins 2010] (3/5)http://i2geo.net/comped/ccTree.html Compétences : extrait sur " compétences transversales " 22

23 Intergeo [http://i2geo.net/comped/ccTree.html, Desmoulins 2010] (4/5)http://i2geo.net/comped/ccTree.html Notions : "extrait général", "Nombre" 23

24 Intergeo [http://i2geo.net/comped/ccTree.html, Desmoulins 2010] (5/5)http://i2geo.net/comped/ccTree.html Notions : "Expression symbolique", "Grandeur" 24

25 Choix et limites de l’approche pour les chercheurs [Desmoulins 2010] Représentations des capacités et des notions associées – L’utilisation des capacités pour donner un sens mathématique aux ressources est adaptée à la pratique des enseignants – Les dénominations utilisées provoquent des questions : certaines définitions européennes ne correspondent pas aux termes employés dans l’ontologie – La représentation par classe de capacités ou de notions est simple dans son principe mais inhabituelle pour les experts Limites des outils informatiques (non développé ici) 25

26 Limites par rapport aux critères d’évaluation de Gruber Clarté : possibilité de représenter des compétences définies au niveau européen Cohérence : simplicité de 2 hiérarchies de classes principales mais avec peu de propriétés permettant un usage par des non spécialistes (pas d’étude épistémologique et absence de constitution d’une référence pour étudier la cohérence de la structure retenue) Extensibilité : pas d’étude épistémologique Déformation d’encodage minimal et engagement ontologique minimal : à étudier 26

27 PROJET PÉPIMEP ONTOLOGIE DES CAPACITÉS 27

28 Des capacités pour décrire des exercices en lien avec les programmes Les capacités en jeu dans les différentes tâches proposées aux élèves sont listées selon les composantes dans lesquelles elles interviennent – UA Usage de l’Algèbre – TA Traduction Algébrique – CA Calcul Algébrique Plusieurs niveaux de mise en fonctionnement des connaissances impliqués dans les tâches – Nature des types de tâches / techniques en jeu – Complexité des expressions – Cadres et registres de représentation en jeu Les capacités se situent à la charnière entre la classe de troisième et la classe de seconde 28

29 Indexation des exercices Composante (UA, TA, CA) Type de tâche – Genre de tâche – Objet Expression (niveau de difficulté) Cadre d’entrée et de sortie en jeu (numérique, algébrique, langage naturel, géométrique, grandeurs, graphique, fonctionnel) Niveau de mise en fonctionnement 29

30 Capacités selon UA Groupe de capacitésCapacités 0. Conjecturer0.1. Conjecturer que 2 programmes de calcul ne sont pas égaux 0.2. Conjecturer que 2 expressions littérales ne sont pas égales 0.3. Conjecturer que 2 programmes de calcul sont égaux 0.4. Conjecturer que 2 expressions littérales sont égales 1. Produire1.1. Produire une expression littérale pour résoudre un problème 1.2. Produire une formule pour résoudre un problème 2. Mettre en équation et résoudre un problème 2.1. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à un système de deux équations linéaires à 2 inconnues 2.2. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une inéquation du 1er degré à 1 inconnue 2.3. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du 1er degré à 1 inconnue 2.4. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du 1er degré à 1 inconnue de la forme A*B=0 3. Démontrer ou prouver3.1. Démontrer des règles de calcul 3.2. Démontrer des propriétés 3.3. Démontrer des identités (ou des formules) 3.4. Prouver que 2 programmes de calcul ne sont pas égaux 3.5. Prouver que 2 expressions littérales ne sont pas égales 3.6. Prouver que 2 programmes de calcul sont égaux 3.7. Prouver que 2 expressions littérales sont égales 4. Exprimer4.1. Exprimer une variable en fonction d'une autre dans une formule 30

31 Capacités selon TA Groupe de capacitésCapacités 5. Traduire5.1. Traduire une expression algébrique par un programme de calcul 5.2. Traduire un programme de calcul par une expression algébrique 5.3. Traduire une expression algébrique comme longueur d’un segment 5.4. Traduire la longueur d’un segment (ou d’un arc) par une expression algébrique 5.5. Traduire une expression algébrique comme périmètre d’une figure 5.6. Traduire le périmètre d'une figure par une expression algébrique 5.7. Traduire une expression algébrique comme aire d'une figure 5.8. Traduire l’aire d’une figure par une expression algébrique 5.9. Traduire une expression algébrique comme volume d’un solide 5.10. Traduire le volume d’un solide par une expression algébrique 5.11. Traduire une relation entre deux grandeurs 5.12 Traduire une relation entre deux quantités par une formule 5.13. Traduire une expression algébrique en langage naturel 6. Représenter graphiquement 6.1. Représenter graphiquement une fonction linéaire 6.2. Représenter graphiquement une fonction affine 6.3. Représenter graphiquement les solutions d'une inéquation du 1er degré à 1 inconnue à coefficients numériques 6.4. Représenter graphiquement la solution unique d'un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues 7. Reconnaître7.1. Reconnaître la fonction linéaire dont la représentation graphique est une droite 7.2. Reconnaître la fonction affine dont la représentation graphique est une droite 7.3. Reconnaître la droite représentant une fonction linéaire donnée 7.4. Reconnaître la droite représentant une fonction affine donnée 7.5. Reconnaître une expression algébrique traduisant un problème 8. Lire 8.1. Lire sur la représentation graphique d'une fonction affine l'image d'un nombre donné 8.2. Lire sur la représentation graphique d'une fonction affine l'antécédent d'un nombre donné 8.3. Lire sur la représentation graphique d'une fonction linéaire l'image d'un nombre donné 8.4. Lire sur la représentation graphique d'une fonction linéaire l'antécédent d'un nombre donné 8.5. Lire graphiquement le coefficient directeur d'une droite 8.6. Lire une figure codée 31

32 Capacités selon CA Groupe de capacitésCapacités 9. Calculer9.1. Calculer la valeur d'une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques 9.2. Calculer une expression numérique en utilisant des identités remarquables 9.3. Calculer le résultat d'un programme de calcul pour un nombre 9.4. Calculer la valeur d'une expression littérale connaissant une relation numérique liant les variables 9.5. Calculer l’image d’un nombre par une fonction 9.6. Effectuer du calcul réfléchi 9.7. Calculer avec des fractions 10. Tester10.1. Tester si une égalité est vraie en donnant des valeurs numériques à 1 ou 2 nombres indéterminés 10.2. Tester si une égalité est vraie en faisant tracer à la calculatrice la représentation graphique de chaque membre 10.3. Tester l'égalité de 2 programmes de calcul 11. Réduire (expression polynomiale simple) 11.1. Réduire une expression littérale à une variable 12. Développer (expression polynomiale simple) 12.1. Développer une expression en utilisant la distributivité (simple) de la multiplication sur l'addition 12.2 Développer une expression en utilisant la double distributivité de la multiplication sur l'addition 12.3 Développer une expression en utilisant une identité remarquable 13. Factoriser (expression polynomiale simple) 13.1. Factoriser une expression dans laquelle le facteur est apparent 13.2. Factoriser une expression dans laquelle le facteur n'est pas apparent 13.3. Factoriser une expression en utilisant des identités remarquables 14. Connaître14.1. Connaître les identités remarquables 15. Transformer15.1. Transformer une égalité en une égalité équivalente 15.2. Transformer des expressions rationnelles simples 16. Reconnaître16.1. Reconnaître la structure d'une expression algébrique (somme, produit, carré, différence de deux carrés) 16.2. Reconnaître différentes écritures d'une expression algébrique 16.3. Reconnaître une identité remarquable 17. Choisir17.1. Choisir la forme d’une expression (factorisée, développée, réduite) la plus adaptée pour résoudre un problème donné 18. Résoudre18.1. Résoudre une équation du 1er degré à 1 inconnue 18.2. Résoudre une équation du 2ème degré à 1 inconnue de la forme A*B=0 18.3. Résoudre une inéquation du 1er degré à 1 inconnue 18.4. Résoudre algébriquement un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues admettant 1 solution 18.5. Résoudre un problème conduisant à un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues 18.6. Rechercher les antécédents d’un nombre par une fonction 18.7. Résoudre une équation se ramenant au premier degré. 18.8. Résoudre graphiquement des inéquations de la forme : f(x) < k ; f(x) < g(x) 19. Déterminer19.1. Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir d'1 nombre non nul et de son image 19.2. Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de 2 nombres et de leurs images 20 Repérer20.1. Repérer une erreur de calcul et la corriger (application de règle, réduction) 32

33 33 PED « Prouver que deux programmes de calcul sont équivalents »

34 Travail collaboratif avec les informaticiens et les enseignants Collaboration avec les chercheurs en informatique – Travaux sur les ontologies pour modéliser les capacités en jeu dans les exercices Collaboration avec les enseignants – Importance d’utiliser un vocabulaire adapté aux pratiques des enseignants 34

35 De nouvelles questions En quoi des approches en DDM s’appuyant sur l’étude de modèle praxéologique épistémologique de référence peuvent-elles permettre la définition d’ontologies cohérentes et extensibles ? Quel travail collaboratif entre chercheurs en didactique, chercheurs en informatique et enseignants pour développer des ontologies claires, cohérentes, extensibles, avec déformation d’encodage minimale ? 35

36 Références bibliographiques principales MOKEDDEM H. & DESMOULINS C. (2012) Intégration de raisonnements automatiques dans le système d’annotation MemoNote. Colloque IC 2012, juin 2012, Paris. DESMOULINS C. (2010) Construction avec des enseignants d’une ontologie des compétences en géométrie, Geoskills. Colloque IC 2010, juin 2010, Nîmes. GRANDBASTIEN M. & al (2007) La construction collaborative d’Ontoural et son utilisation sur différents terrains. Colloque EIAH 2007, juin 2007, Lausanne, Suisse. AZOUAOU F. & DESMOULINS C. (2006) MemoNote, un outil de gestion des connaissances personnelles pour enseignants à base d’annotations. Colloque IC 2006, juin 2006, Nantes. 36

37 Références bibliographiques complémentaires LIBBRECHT P. & al (2008) Cross-curriculum search for Intergeo. Colloque MKM Calculemus 2008. MELIS E. & al (2008) Interoperable competencies characterizing learning objects in mathematics. Lecture notes in computer science, Vol 5091 (pp.416-425). Berlin: Springer. VAN ASSCHE F. (2007) Linking learning resources to curricula by using competencies. Paper presented at the first international workshop on learning object discovey & exchange. Crète. AZOUAOU F. & DESMOULINS C. (2006) Using and modeling context with ontology in e-learning: the case of teacher’s personal annotation. Colloque SWEL 2006. AZOUAOU F. & DESMOULINS C. (2005) Semantic annotation for the teacher: models for a computerized memory tool. Colloque SWEL 2005. ANDERSON L.W. (2001) A taxonomy for learning, teaching and assessing ; a revision of Bloom’s taxonomy of educationnal objectives. In Krathwohl D.R. (Ed). New York: Addison Wesley Longman. 37

38 ANNEXES 38

39 CALIBRATE Projet européen Interopérabilité de ressources pédagogiques Basé sur la taxonomie de Bloom 39

40 L’objectif de ce projet européen est de pouvoir inter-opérer des ressources pédagogiques  Nécessité d’indexer ces ressources Une manière de caractériser une ressource : par la compétence qu’elle permet de travailler CALIBRATE [Van Assche F. 2007] 40

41 compétence = tuple c = où v est un verbe d’action t 1, …, t n sont des topics  donc deux taxonomies taxonomie des verbes d’actions qui pointe vers la taxonomie de Bloom revisitée taxonomie des topics Exemple : associate natural numbers with realistic and meaningful context CALIBRATE [Van Assche F. 2007] 41

42 CALIBRATE [Van Assche F. 2007] Taxonomie des verbes 42

43 CALIBRATE [Van Assche F. 2007] Taxonomie des topics 43

44 44

45 ACTIVEMATH Environnement d’apprentissage pour les mathématiques 45

46 ActiveMath [Melis & al 2008] compétence élémentaire =(p, k) où p = processus cognitif défini dans une taxonomie mixte : celle de Bloom revisitée par [Anderson&al. 2001] et celle de PISA où k= élément de K faits, topics, concepts, règles, procédures, théorèmes compétence composée ={compétences élémentaires} 46

47 ActiveMath [Melis & al 2008] L’apprenant va apprendre à différencie les nombres rationnels et les nombres irrationnels différencier Verbe d’action nombres rationnels nombres irrationnels Elts de K Exemple de compétence (élémentaire ou composée?) 47

48 TAXONOMIE DE BLOOM REVISITÉE PAR ANDERSON 48

49 Remember = remémorer/reconnaître opérations basiques de rappel sur les K Represent= représenter capacité à : interpréter la K (ex. une fraction consiste en 2 membres, le numérateur divisé par le dénominateur) illustrer : trouver une instance d'un concept transformer d'une représentation à une autre généraliser (summarize) en inférant les invariants ou les principes Solve = résoudre capacité à : estimer un résultat sans forcément calculer la valeur exacte (ex. la somme de deux fractions est > ou < à une certaine valeur) appliquer des algorithmes avec leurs différentes étapes (steps) appliquer des outils (ex. calculatrice pour additionner des fractions) Taxonomie de Bloom revisitée par Anderson 49

50 Analyze = analyser capacité à diviser l'information en parties et à déterminer comment ces parties sont liées les unes aux autres et au cadre général vérifier la consistance des informations différencier entre une info importante et une qui l'est moins organiser l'information selon des critères attribuer un biais/valeur au matériel "présenté" Model = modéliser capacité à comprendre et créer des modèles dans un domaine spécifique décoder l'information présentée et la transformer en modèle mathématique (ex. transformer en équations les ratios entre les âges des gens exprimés en langage naturel) encoder un modèle mathématique dans un contexte situationnel ou sa transformation dans un autre domaine générer des hypothèses et produire de nouveaux modèles en combinant les hypothèses pour atteindre un but Taxonomie de Bloom revisitée par Anderson 50

51 communicate = communiquer capacité à expliquer des K (englobe les processus sur la façon de décrire sa propre K) argumenter sur les différents aspects d'une K prouver certains faits méta-cognition capacité à réfléchir sur ses propres K et ses processus de réflexion chercher de l'aide, de l'information pour combler les trous et accroitre ses K détecter ses erreurs planifier le travail en le divisant en étapes et les ordonner selon une certaine séquence auto-contrôl (self-monitor) : apprécier la portée de ses actions/comportements et ajuster conséquemment self-explain Taxonomie de Bloom revisitée par Anderson 51