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Cours pour lEcole Normale Mixte David Rolland, professeur IUFM et Ecole Normale.

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1 Cours pour lEcole Normale Mixte David Rolland, professeur IUFM et Ecole Normale

2 Cest une projection orthogonale ou oblique sur un plan, elle nutilise pas de point de fuite et les rapports de grandeur sont conservés selon les directions. Aujourdhui, elle est majoritairement utilisée en conception (CAO, architecture). On en distingue plusieurs types.

3 Les angles entre les axes du système de coordonnées cartésiennes orthonormé sont de 120° dans la projection, les rapports de grandeur sont conservés entre les 3 axes. 120°

4 Elle a été crée par les militaires pour étudier la balistique et les fortifications. La perspective cavalière est une projection oblique (non orthogonale) de lobjet sur un plan parallèle à lune de ses faces. Le plan vertical (xOz) est en vraie grandeur et la profondeur est sur le dessin ci-contre de 45°. 45°

5 La face avant de lobjet nest pas déformée. Les arêtes verticales et horizontales restent verticales et horizontales. Les fuyantes sont réduites pour conserver limpression de profondeur. La longueur des fuyantes sur le dessin est égale à k fois longueur réelle. K est appelé le rapport de réduction, et est compris entre O et 1. Les fuyantes, droites perpendiculaires à la face avant, sont toutes inclinées dun même angle α appelé angle de fuyantes. On complète la représentation en traçant les arêtes cachées en traits pointillés.

6 - La représentation dune droite est une droite ou un point. - Les représentations de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. - Il y a conservation des longueurs de deux segments parallèles. - Les représentations des figures situées dans les plans vus de face, appelés plans frontaux, sont en « vraie grandeur ». - Si on note α langle de fuite et k le coefficient de réduction, on a très souvent k = cos (α).

7 Mais si lobjet est un peu compliqué, le dessin devient très confus. Certaines surfaces sont déformées. Il est difficile dindiquer les dimensions.

8 AD = BC car (AD)//(BC) AE = DF car (AE)//(DF) Mais AB AE sur la figure alors quils sont égaux dans la réalité.

9 Soit dans lespace un plan (P) et une droite (d) ni contenue dans (P) ni perpendiculaire à (P). Considérons un objet quelconque et projetons-le sur le plan (P) parallèlement à la droite (d). La projection ainsi obtenue sur le plan (P) est une représentation en perspective cavalière de lobjet. Le dessin en perspective cavalière fait donc appel à des projections cylindriques. En particulier, lombre dun objet placé au soleil sur un plan horizontal est une perspective cavalière de cet objet.

10 -Elle conserve les milieux. - Elle conserve le parallélisme. -Elle conserve le rapport des longueurs de deux segments parallèles. -Toute figure contenue dans le plan parallèle à (P) est projetée en vraie grandeur. -Elle conserve lalignement. -Les cercles sont représentés par des segments, des cercles ou des ellipses.

11 Pour une position donnée de lobjet à représenter, on change considérablement la représentation de cet objet en changeant langle de fuite. Voici par exemple trois vues perspectives dun cube dont la face avant est contenue dans le plan frontal. Les angles de fuite valent respectivement 45°, 135° et 10°.

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13 Pour choisir cette position, il faut tenir compte de deux exigences. On souhaite conserver le maximum d'informations sur la forme de l'objet, mais aussi faciliter le plus possible la réalisation du dessin. Prenons l'exemple d'un cube. Placé dans une position quelconque sur le sol, on peut constater que toutes ses faces sont représentées par des parallélogrammes.(figure 6)

14 Pour dautres polyèdres, des pyramides par exemple, lexpérience montre quon rend la construction dune vue perspective plus facile en plaçant une arête de la base parallèlement à la ligne de terre. Cependant, il existe une position dans laquelle deux faces sont représentées par des carrés, comme dans la réalité. Ceci se produit lorsque la face avant du cube est parallèle au tableau. C'est donc cette position que nous allons privilégier. (figure 7).

15 EX. 1 : solides en vrac Pour chacun des solides, donne le nombre de sommets, d'arêtes et de faces.

16 EX. 2 : avec un cube a.Donne le nombre de sommets, le nombre d'arêtes et le nombre de faces de ce cube. b. Quelle est la nature de la face PNST ? c. Quelle est la nature de la face POIN ? d. Quelles sont les faces cachées du cube ? e. Nomme la (ou les) face(s) parallèle(s) à la face POIN. f. Nomme la (ou les) face(s) perpendiculaire(s) à la face PNST. g. Cite toutes les arêtes de même longueur que l'arête [PO]. h. Combien d'arêtes ne sont pas visibles ? Nomme-les. i. Si on pose ce cube sur la face NIES, les faces POIN et OUEI étant visibles, quelles sont alors les faces cachées de ce cube ?

17 EX. 3 : Vrai ou Faux On considère le pavé droit ci-contre. Pour chaque question, indiquer si elle est vraie ou fausse. a.Les faces ABCD et EFGH sont parallèles. b. La face ABCD est un carré. c. L'angle GHD mesure 120° environ. d. ABC est un triangle rectangle et isocèle en B. e. L'angle BEF mesure moins de 90°. f. L'angle ABF est un angle droit. g. Les arêtes [AB] et [BF] sont parallèles. h. Les arêtes [EH] et [BF] sont sécantes. i. Les arêtes [CG] et [FG] ne sont pas perpendiculaires. j. La face ADHE est un rectangle.

18 EX. 4 : perspective et cube Un cube a une arête de 10 cm. a.A main levée, dessiner ce cube en perspective cavalière et coder votre dessin. b. Construire sur papier quadrillé une représentation en perspective cavalière à léchelle ½ et un angle de fuite de 60°. EX. 5 : perspective sur quadrillage Reproduire puis compléter les dessins suivants pour obtenir des représentations en perspectives cavalières dun pavé droit.

19 EX. 6 : les patrons du cube Dessiner tous les patrons dun cube darête 2 cm. EX. 7 : patrons dun pavé ?

20 La perspective cônique a été inventée par Filippo Brunelleschi en Cette invention a ouvert la voie à la Renaissance artistique. Il sagit dune projection selon un faisceau de droites passant par un même point.

21 1/ Le problème de Pascal Un bateau séloigne du rivage. Quand le bateau séloigne, le point E séloigne du point D et le point C se rapproche indéfiniment du point P sans jamais latteindre. Le point P est appelé point de fuite de la trajectoire de C sur la vitre

22 Supposons maintenant que deux bateaux naviguant de front séloignent du rivage toujours perpendiculairement à celui-ci. Le premier E1 est celui de Pascal : lobservateur le voit en regardant droit devant lui. Le second E2 navigue en parallèle, par exemple à droite de E1. Si lobservateur suit les deux bateaux avec des marqueurs sur la vitre, quelles trajectoires va-t-il obtenir ?

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24 Bien avant Pascal, les peintres ont utilisé une vitre disposée verticalement devant eux pour y dessiner ce quils voyaient au travers. Un tel dispositif est appelé fenêtre dAlberti, du nom du premier auteur qui a exposé les principes de la perspective. La figure 6 montre une personne en train de dessiner un cube sur une fenêtre dAlberti. Pour que le paysage à dessiner soit bien déterminé, il faut que loeil de lobservateur demeure fixe. Cest pourquoi la dessinatrice de la figure 6 regarde au travers dun oeilleton. Un peintre qui représente une route fuyant vers lhorizon ou des lignes de carrelage parallèles ou les poutres parallèles dun plafond, peut pour y arriver se servir – effectivement ou mentalement –, dune fenêtre dAlberti.

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26 Règle du point de fuite : Tout ensemble de parallèles doit être représenté sur un tableau par des segments convergeant en un même point de fuite (sauf si les droites à représenter sont parallèles à la vitre !).

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28 Tableaux et dessins respectant cette règle : Dans le tableau La Profanation de lhostie ci-contre (figure 7) de peintre Paolo Ucello, on relève un seul point de fuite, tant pour les lignes de carreaux que pour les poutres de plafond.

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30 Tableaux et dessins ne respectant pas cette règle : La figure 8 ci-dessous montre la dernière cène de Duccio Di Buoninsegna (Sienne, v – Sienne, v.1318/19), dans laquelle on vérifie l'existence de différents points de fuite pour un même ensemble de parallèles.

31 Tracé dun carrelage : Le tableau de Paolo Uccello (figure 7) nous invite à examiner un deuxième problème que se sont posé les peintres de la Renaissance : Il sagit du tracé dun carrelage. Pour dessiner un carrelage à travers une fenêtre dAlberti, il suffit tout simplement de suivre avec un marqueur les joints du carrelage tels quon les aperçoit à travers la fenêtre. Mais supposons quon ne dispose pas dune fenêtre dAlberti et quon ait dessiné une première rangée de carreaux comme sur la figure 9. On a respecté la règle du point de fuite expliquée ci-dessus. Mais comment ensuite déterminer la largeur de la deuxième rangée de carreaux, puis la largeur de la troisième, et ainsi de suite? Alberti rapporte que certains peintres prenaient pour largeur de la deuxième rangée les deux tiers de la largeur de la première, et pour largeur de la troisième les deux tiers de la largeur de la deuxième, et ainsi de suite en progression géométrique. Cette méthode aboutit-elle à un dessin conforme à celui que donnerait une fenêtre dAlberti ?

32 La figure 12 montre le carrelage vu du dessus, et sur lequel on a dessiné un réseau de diagonales. Celles-ci sont évidemment parallèles, donc convergent vers un point de fuite. Prolongeons-les jusquà ce point (figure 13). La figure fait alors apparaître quelques sommets de carreaux de la deuxième et de la troisième rangée. On dessine alors les joints du carrelage qui sont parallèles à la vitre et qui passent par ces points. Comme le montre la figure 14, on peut recommencer ce processus et dessiner ainsi le carrelage sur une profondeur aussi grande que lon veut.

33 Règle « dAlberti » : Dans la représentation dun carrelage en perspective à point de fuite, les points situés en diagonale des carreaux doivent être alignés.

34 Dans cette peinture, le carrelage na pas été dessiné selon la règle dAlberti. En effet, la figure ci-dessous montre, sur un agrandissement dune partie de ce carrelage, que les diagonales des carreaux ne convergent pas vers le même point de fuite.

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38 Fin du diaporama


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