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1 Un champ prend une valeur différente en chaque point une infinité de degrés de liberté calcul en tout point impossible de façon purementnumérique. Solution.

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1 1 Un champ prend une valeur différente en chaque point une infinité de degrés de liberté calcul en tout point impossible de façon purementnumérique. Solution : décrire le champ par une fonction analytique comportant un nombre fini de paramètres. Exemple : T = Ae x où A et sont des nombres. Chapitre 6 : Méthodes de calcul de champs

2 2 Forme des solutions du modèle champ Sauf pour des problèmes très simples (voir cours de physique de bac), on ne peut trouver une solution exacte couvrant tout le domaine de calcul. Le plus souvent, on subdivise le domaine de calcul en sous-domaines et on donne sur chacun séparément une expression du champ. Sur chaque sous-domaine, une solution peut être exacte (vérifiant toutes les équations) ou approchée (ne satisfaisant une ou plusieurs équations que de façon approchée) De même, les conditions de raccordement aux frontières des sous- domaines peuvent être satisfaites de façon exacte ou de façon approchée. Attention : on parle ici de solutions « exactes » par rapport au modèle, pas par rapport à la « réalité ».

3 3 Solutions analytiques exactes - champs uniformes - champs à une dimension - autres champs à haute symétrie (cylindrique, sphérique …) - superposition ( dipôle), juxtaposition, méthode des images - calcul par séparation des coordonnées (ex. entrefer épais) - calcul par transformation conforme (ex. coeff. de Carter) - expression trouvée de façon heuristique (souvent variation autour d une expression trouvée par une autre méthode) Il existe des catalogues de solutions (moins connus que par le passé … par manque de temps ? … par aversion pour « les maths » ? ) Une utilisation que nous avons déjà rencontrée des solutions exactes est la détermination de paramètres de type « circuit ».

4 4 Champ uniforme Exemple le plus simple : calcul simplifié du champ dans un élément en forme de prisme (entrefer, colonne magnétique, dent…). On suppose le potentiel magnétique constant sur chaque base du prisme et les surfaces latérales imperméables au champ (pas deffets de bord). donc La relation constitutive (du point de vue circuit magnétique) se déduit de celle du matériau soit, dans le cas linéaire

5 5 Exemple de calcul simple appliqué à un électroaimant de levage

6 6 Connaissant le champ, on peut calculer linductance On peut aussi calculer la force en intégrant dans les entrefers la seule composante pertinente du tenseur de Maxwell, soit

7 7 Améliorations - Prise en compte de la réluctance du noyau de fer ( tronçons rectilignes par formules rappelées en CM3) - Prise en compte des réluctances de coin et de T (voir CM3) - Prise en compte de la saturation (indispensable si loptimisation conduit à des valeurs de champ pour lesquelles la valeur choisie pour nest plus réaliste, ce qui est probable car elle cherche à réduire la quantité de fer du noyau) -Prise en compte des effets de bord dans les entrefers - Prise en compte du champ de fuite à travers le bobinage, qui vient augmenter la saturation dune partie du noyau et augmenter linductance du bobinage. - …….

8 8 Cas des surfaces encochées On remplace lensemble dents- encoche par un volume plein, mais en ajoutant une réluctance de surface R 0.

9 9 Calcul du champ associé aux aimants montés en surface On suppose la magnétisation orientée selon Ox Alors, B est dirigé dans la direction 0x Donc B est uniforme ! Pour ce qui est de léquation en H, on a en labsence de courant rot H = 0 qui est satisfaite pour tout champ limité à H x (x).

10 10 Nous allons calculer le champ en fonction de la force magnétomotrice Dans les aimants, H a est uniforme puisque B lest. Il en est de même dans lentrefer proprement dit où H e = B / 0. On obtient donc

11 11 jointe à la relation constitutive des aimants R(B a, H a ) = 0 fournit la valeur de B, et donc de H e et H a. )

12 12 En particulier, pour les aimants terres-rares, on a une relation linéaire B = B r + a H a Donc Grâce à la linéarité, on peut distinguer un champ « dû » à laimant et un champ « dû » à la force magnétomotrice.

13 13 Application à lentrefer dune machine rotative. Considérons les deux couronnes comme infiniment perméables. Dire que la perméabilité des corps ferromagnétiques est infinie revient à dire que dans ces corps H = 0. On a donc, entre nimporte quel point du fer rotorique et nimporte quel point du fer statorique, la même intégrale Si les pôles sont symétriques, on doit avoir :

14 14 Il reste à décomposer le champ en série de Fourier et à garder seulement la fondamentale si on veut faire le calcul « au premier harmonique ». Si lépaisseur totale de lentrefer, soit g = e + e a, est petite par rapport à la largeur des aimants, on peut calculer le champ B de la même façon quaux transparents précédents. Il sagit cette fois dune solution approchée ! On trouve facilement La méthode convient mal au calcul des harmoniques car leur « longueur donde » devient vite petite par rapport à g = e + e a. Bc douvrages ignorent ce fait… !

15 15 Le champ dentrefer calculé ci-dessus pour une machine rotative ne vérifie exactement aucun des deux volets déquations de Maxwell ! On peut laméliorer un peu de façon à avoir div B = 0 : il suffit de considérer que B r ne dépend pas de r, donc que mais on garde le problème que rot H 0 Pour obtenir une solution exacte, il faut considérer le calcul du champ comme un problème 2D

16 16 Champ à une dimension Exemple : champ magnétique dans une encoche rectangulaire Supposons une densité de conducteurs uniforme. On a Le potentiel vecteur na quune composante, A z. Nous supposons que A z = A 0 sur la ligne de séparation y=0 tracée entre lentrefer et lencoche. A 0 est le potentiel vecteur associé au champ dentrefer. Nous supposons encore que les dents et la couronne ont une perméabilité magnétique infinie (H = 0 ).

17 17 Sachant que, en y=b, H x = 0 par la continuité de la composante tangentielle de H, on obtient Essayons une solution où le champ est horizontal ( seule la composante H x est différente de 0 ). Léquation se réduit alors à

18 18 Pour calculer le flux du bobinage, cherchons le potentiel vecteur. Il obéit à léquation soit Tenant compte de la condition A z = A 0 en y = 0, on obtient

19 19 Le premier terme correspond au flux principal, et le second au flux de fuite à travers lencoche. Ce dernier correspond à une inductance de fuite Il est maintenant facile de calculer le flux du bobinage correspondant à la traversée de cette encoche. où L est la longueur de lencoche. On obtient Cas des encoches de forme quelconque : pouvez-vous vous inspirer de la solution précédente pour trouver une solution approchée ? (à commenter)

20 20 Autres champs à haute symétrie Exemple : champ dans un secteur cylindrique (flux radial) Si le champ ne dépend pas de la coordonnée azimutale, il est purement radial. L étant la hauteur du secteur, a son rayon intérieur, b son rayon extérieur et son ouverture angulaire, on a Donc, pour un matériau doux linéaire Exemple dutilisation : partie dun électroaimant +/- cylindrique.

21 21 Cas particulier : champ homopolaire dans un entrefer cylindrique ou anneau complet. Ce champ ne dépend pas de la coordonnée azimutale ; il est purement radial. L étant la longueur de lentrefer, a son rayon intérieur, b son rayon extérieur, on a, en remplaçant par 2 : Donc, pour un matériau doux linéaire (le vide ?) Le champ B ci-dessus ne dérive pas dun potentiel vecteur unique (sauf si on introduit artificiellement une coupure dans le domaine). Par contre, le champ H dérive dun potentiel scalaire magnétique (force magnétomotrice).

22 22 Calcul par décomposition spectrale Nous avons dit plus haut que, pour une machine hétéropolaire, le calcul du champ dentrefer fait en supposant le champ radial suppose que lentrefer est petit (par rapport aux distances de variation du champ). Même si lhypothèse est correcte pour la fondamentale, ce nest plus le cas pour les harmoniques. On est donc souvent conduit à faire un calcul de champ à deux dimensions (radiale + azimuthale, dans le cas dun entrefer cylindrique). La façon classique dy parvenir est deffectuer une décomposition spectrale selon la coordonnée par rapport à laquelle le champ est périodique.

23 23 Structure de base Le cas le plus fréquent en électrotechnique est celui dun domaine en forme de manchon (domaine cylindrique compris entre un rayon intérieur a et un rayon extérieur b). Cest notamment le cas de lentrefer des machines cylindriques. Par séparation des variables, on peut écrire le champ sous la forme exacte suivante (nous nécrivons quun terme de la série) Soit, en référentiel orthonormé On a en effet alors

24 24 Il faut déterminer les 4 coefficients A, A", B, B par les conditions aux limites. La somme de termes de cette forme est la solution générale dun domaine sans source de champ (cest le cas de lentrefer des machines). Pour le montrer, il suffit de décomposer le champ en série de Fourier selon. Si p est le nombre de paires de pôles, lexpression ci-dessus représente la fondamentale du champ. On peut écrire les harmoniques en remplaçant p par p. Donc ou qui a bien un rotationnel nul.

25 25 Nous allons décomposer le problème en considérant séparément les deux termes des sommes ci-dessus (donc un champ daxe direct et un champ daxe en quadrature). Nous nous limitons au premier terme dans les calculs ci- dessous (champ daxe direct ). Par un changement de paramètre, nous allons écrire les expressions sous la forme dun circuit magnétique équivalent. Pour cela, nous considérons, pour chaque valeur du rayon r, lamplitude fmm r de la force magnétomotrice soit Nous définissons aussi un flux par pôle, L m étant la longueur magnétique du domaine

26 26 Ces grandeurs sont aisément reliées aux champs et Les équations précédentes permettent décrire une relation entre les flux et les fmm en r = a et r = b.

27 27 où sont la perméance principale et la perméance de fuite du domaine (par unité de longueur). Les équations peuvent se mettre sous la forme dun circuit

28 28 Cas de lentrefer Ce modèle sapplique à lentrefer proprement dit (avec = 0 ). On peut inclure à lentrefer des domaines adjacents ayant le même (frette). Couronnes et domaine extérieur On peut aussi lappliquer, séparément, à dautres parties à symétrie cylindrique mais avec un différent de 0, ce qui est le cas des couronnes si on suppose le matériau magnétique linéaire. Le domaine situé au-delà des couronnes peut aussi être modélisé de la même façon, en faisant tendre a vers linfini ou b vers 0 selon le cas, ce qui permet de tenir compte du champ à lextérieur de la machine.

29 29 Aimants montés en surface Un cas particulier important est celui des aimants montés en surface. Les aimants terre-rare ayant une perméabilité proche de celle du vide, on peut les incorporer à lentrefer pour calculer les champs dont les aimants ne sont pas la source. On peut faire mieux si les aimants sont jointifs (au moins approximativement) en considérant quils forment un domaine à perméabilité magnétique uniforme (en pratique proche de ). Lentrefer et les aimants sont alors représentés par un double circuit en.

30 30 Calcul en présence de sources de champ dans le domaine de calcul Si lentrefer (au sens large, cest-à-dire tout le domaine de calcul dans lequel on effectue une décomposition spectrale) contient des conducteurs parcourus par un courant ou des aimants, on peut recommencer le calcul de champ en en tenant compte. Si on sintéresse uniquement aux flux et aux fmm aux frontières des différentes parties, on peut garder le modèle précédent en le complétant par des sources de flux ou de fmm (ci-contre exemple de prise en compte de laimantation) Attention : le lien entre les grandeurs de ce circuit et les champs nest plus le même dans la région qui contient les sources !

31 31 Calcul du champ dû aux aimants La magnétisation des aimants est une source de champ. Si on calcule la magnétisation par rapport au vide, on doit considérer que la zone des aimants a une perméabilité 0, mais la magnétisation nest pas rigoureusement constante. Si on considère comme précédemment une perméabilité différente de celle du vide, il faut définir laimantation en conséquence ! Lavantage est quelle est alors constante dans le cas des aimants terre-rare. Un cas « simple » est celui des aimants à magnétisation parallèle à leur axe et dont la géométrie est décrite ci-contre. En effet, le modèle gaussien permet alors de remplacer la magnétisation par une charge magnétique de surface située uniquement au niveau des rayons intérieur et extérieur des aimants.

32 32 Considérons le rayon c = r 4 et louverture = 4 (le calcul est similaire en c = r 3 et = 3 mais avec un signe opposé). La densité de charge magnétique équivalente nest pas constante. Elle vaut Il sagit dune source de flux magnétique.

33 33 Décomposons cette densité en série de Fourier. En supposant quil y a p paires de pôles, on obtient En intégrant chaque terme sur sa demi-période, on obtient des flux équivalents

34 34 Attention ! Le champ H calculé dans le modèle gaussien est partout exact, mais le champ B calculé à lintérieur de laimant dans ce modèle ne lest pas. Si nécessaire, on peut obtenir le B réel à partir de H et de la relation constitutive de laimant. On obtient pour lentrefer et les aimants le circuit équivalent ci- contre. Si les aimants sont fixés directement sur la couronne rotorique, et si on néglige la réluctance de celle-ci, fmm a est nulle et on na besoin de la source de flux inférieure pour calculer le flux circulant dans cette couronne.

35 35 Cas dune couronne encochée On peut aussi prendre en compte la réluctance de surface du type « Carter », ainsi quune perméance de fuite correspondant à lencochage, sous la forme dun circuit en. Si nécessaire, détails sur le site du cours. Autres expressions spectrales du champ dentrefer On trouvera dans le syllabus quelques références relatives à des géométries ou des méthodes non traitées ici.

36 36 Champ dû aux enroulements situés dans des encoches Pour trouver le champ « dû » au bobinage placé dans des encoches, une simplification possible est de considérer que Le bobinage est concentré à la surface de lentrefer, au niveau de louverture des encoches. La zone des dents, des encoches et de la couronne est remplacée par une zone de perméabilité magnétique infinie Alors, la condition aux limites du champ correspond à une densité de courant de surface sinusoïdale. Cest logique car, si on ne considère quune composante de la série de Fourier du champ, on ne doit considérer que la composante correspondante de la densité de conducteurs ! Pour trouver les coefficients dans lexpression du champ, on va donc passer par une décomposition en série de Fourier de la densité de conducteurs !

37 37 Pour rappel, J = N a i a Pour le calcul des champ, on peut décomposer directement J en série, mais il est plus utile de décomposer les N a en série car le résultat peut être réutilisé pour le calcul des flux !

38 38 Coefficients de filtrage On a souvent à faire la somme de m sinusoïdes de même amplitude A mais décalées chacune dun angle par rapport à la précédente. On peut représenter ce problème sous forme de phaseurs : En prenant le « centre du faisceau » comme origine, on a où est la coordonnée t ou ou….

39 39 La somme est une série géométrique. Pour leffectuer, multiplions et divisons par la différence entre la racine carrée de la raison et son inverse

40 40 avec Interprétation : on somme les sinusoïdes sans tenir compte de leur déphasage, et on applique un facteur correctif au résultat. Vérification : si m = 1, on retrouve bien lamplitude de la seule sinusoïde présente.

41 41 Dans le cas des machines électriques, on doit souvent faire la somme de grandeurs périodiques. Dans une machine à entrefer cylindrique, on a des grandeurs de période 2 / p décalées dun angle géométrique. Si on les décompose ces grandeurs en série de Fourier, on peut appliquer un facteur de filtrage pour chaque harmonique. Soit le rang de lharmonique considéré, on a Le décalage angulaire est proportionnel à lordre de lharmonique

42 42 On obtient En général, la fondamentale est moins atténuée que les harmoniques, doù le nom de coefficient de filtrage. La formule ci-dessus convient aussi bien pour traiter le cas daimants décalés que de bobines décalées. Dans le cas particulier dun bobinage triphasé, sil y a m faisceaux identiques par phase et par pôle, on aura soit Identique au livre de référence sachant que seuls les impairs sont à considérer dans ce cas

43 43 Considérons maintenant le cas où une grandeur est répartie uniformément sur un angle e. On peut trouver le coefficient de filtrage en passant à la limite m avec (m-1) e = e. On obtient Remarque 1 : dans le calcul du champ daimant fait précédemment, on ne pouvait appliquer cette formule puisque la densité de charge magnétique nétait pas constante. Remarque 2 : on est parfois amené à multiplier plusieurs coefficients de filtrage (pouvez-vous en donner un exemple ?).

44 44 Les coefficients de filtrage du bobinage sont aussi utilisable pour calculer le flux de celui-ci une fois le champ connu, car on a

45 45 Exemple de décomposition en série Si on a n spires par phase, donc n/p conducteurs actifs par phase et par pôle. Si ces n/p conducteurs sont concentrés sur une ligne sans dimension, on a en prenant comme origine laxe de lenroulement (cas de la surface extérieure de lentrefer) : où les fonctions ( ) sont des deltas de Dirac. Par décomposition en série, on obtient avec où R est le rayon au bord de lentrefer

46 46 On peut corriger la valeur des N s par deux coefficients de filtrage Pour tenir compte de la répartition des conducteurs entre plusieurs encoches éventuellement pour tenir compte de la largeur de louverture dencoche

47 47 Calcul de linductance dun bobinage Rappel Attention ! Lors du calcul du flux dû à un bobinage, les coefficients de filtrage interviennent deux fois : une fois pour calculer le champ associé au bobinage, et une fois pour calculer le flux que ce champ produit dans le bobinage. On sattend donc à trouver le carré des coefficients de filtrage dans lexpression des inductances.

48 48 Comparaison avec lexpression de linductance principale donnée dans « le livre » pour m = 1 (donc sans coefficient de filtrage) Le calcul approché du champ (champ radial) fournit Identique à lexpression du livre si p = 1 Par ailleurs, compte tenu de ce qui précède, Donc

49 49 On retrouve lexpression du livre car le crochet vaut 1. Cest un détour par rapport au calcul du livre, mais la méthode permet de faire le calcul pour un enroulement distribué (m > 1), ce qui serait très difficile à faire autrement. Mais, si on utilise le calcul analytique exact, la série ne converge pas. Cest normal car les conducteurs concentrés ont une inductance infinie !

50 50 Le calcul approché de linductance est donc suspect. En ce qui concerne le calcul exact, on peut bricoler arrêtant la série lorsque la longueur donde des harmoniques devient petite par rapport à la largeur des encoches. Lutilisation des coefficients de filtrage avec la méthode spectrale exacte permet de résoudre ce paradoxe de façon bien plus élégante : il suffit en effet dintroduire un coefficient de filtrage prenant en compte la largeur non nulle des encoches pour que la série redevienne convergente même dans le cas du calcul exact ! Attention : le calcul de linductance de fuite dans les encoches nest pas inclus dans les expressions ci-dessus. Il est à faire séparément !

51 51 Prise en compte des couronnes et des dents Ayant considéré que les noyaux magnétiques ont une perméabilité infinie pour le calcul du champ « dû » aux conducteurs, on est amené à considérer la force magnétomotrice qui apparaît à cause de la réluctance des dents et de la couronne comme une source de champ supplémentaire : le calcul se fait alors par itérations. Dans le calcul de la correction, lusage des coefficients de filtrage peut aussi être utile. Ces coefficients servent donc pour tous les types de source de champ (aimants, courants, reluctance des pièces magnétiques…)

52 52 Calcul de champ par transformation conforme Certains problèmes peuvent être étudiés par transformation conforme. Ce nest possible que les matériaux linéaires, isotropes et homogènes. On peut dresser un catalogue de telles solutions (trouvées dans la littérature ou développées personnellement). Les expressions des réluctances de surface correspondant à lencochage (Carter…) sont obtenues de cette façon. Autres exemples utiles déjà rencontrés : la réluctance de coin, lépanouissement de flux au bord dun entrefer, le calcul de la force en tenant compte de lépanouissement de flux.

53 53 Calcul de la force dattraction entre deux surfaces magnétiques parallèles en tenant compte de leffet de bord Pour une force magnétomotrice imposée entre les deux pôles, la force se calcule comme sil ny avait pas deffet de bord, mais en allongeant BC dune longueur Attention ! Ces formules ne peuvent pas être utilisée pour calculer le flux ou la réluctance dentrefer ! Si p tend vers linfini, on a Pouvez-vous le montrer ?

54 54 Méthode de contrôle des erreurs dues au modèle de calcul

55 55 Solutions analytiques approchées sophistiquées Une solution peut vérifier une équation d évolution - au sens fort (c est-à-dire exactement) - au sens faible (produit scalaire nul avec des fonctions de test vérifiant l équation duale) - fonctionnellement (comme solution d un problème variationnel mais avec contraintes supplémentaires) Si une solution vérifie au sens fort toutes les équations d évolution, le ligurien fournit une estimation de sa précision. La densité de Ligurien est définie par = W m (B) + W cm (H) – B.H symétrie restaurée entre B et H

56 56 La densité de Ligurien est toujours positive, donc aussi son intégrale (le ligurien). Le ligurien est nul ssi la solution est exacte ! Méthode rationnelle : On définit une expression approchée de B en fonction dun nombre limité de paramètres à déterminer. On procède de même pour H. Puis on cherche la valeur des paramètres qui minimise le ligurien.

57 57 Aspects « numériques » du calcul

58 58 Introduction Il existe des logiciels de calcul de champ dusage général, capables de traiter une grande variété de structures. Certains profitent de la physique particulière à lélectromagnétisme. Dautres ont une méthode de solution plus générale (ce qui leur permet dutiliser un seul solveur même si multiphysique)

59 59 Comparaison Programme maison Bien adapté à un problème Pas de prix dachat Source disponible Fournit les grandeurs désirées et leur définition est connue Possibilités dextension et adaptation Calcul rapide permettant loptimisation Moins derreurs de discrétisation (moins aléatoires) car il peut profiter de solutions analytiques Programme dusage général Peut traiter de nombreux problèmes Pas de temps décriture et mise au point (seulement apprentissage) Certification de qualité possible Moins derreurs géométriques Facilités graphiques

60 60 Si on veut réaliser un logiciel capable de calculer le champ dans une grande variété de structures, on est amené - Subdiviser finement le domaine de calcul - Utiliser sur chaque élément une expression approchée standard du champ, le plus souvent un polynôme. Cest le principe du calcul par éléments finis. Il existe dautres méthodes générales, mais elles sont moins utilisées.

61 61 2D ou 3D ? Le nombre déléments à considérer est beaucoup plus grand lors dun calcul 3D, ce qui augmente le temps de calcul et nuit à la précision du calcul numérique, sans compter le temps dintroduction des données beaucoup plus long. Il est donc conseillé deffectuer le calcul en 2D chaque fois que cest possible, quitte à effectuer une correction pour tenir compte des effets de bord (calcul en dimension 2 ½ ). Deux cas importants (attention : les équations 2D ne sont pas les mêmes) symétrie de translation dans la direction perpendiculaire au plan de calcul symétrie de rotation autour dun axe situé dans le demi plan de calcul.

62 62 En 3 D Nœuds Arêtes Faces Eléments Lélément le plus simple est le tétraèdre. Maillage

63 63 En 2 D Nœuds Arêtes = Faces Eléments Lélément le plus simple est le triangle. Cest la forme utilisée en électrotechnique car elle permet de mailler des domaines de forme compliquée (maillage non structuré) Il existe des relations entre les nombres de nœuds, darêtes et déléments. Voir le site Internet si intéressés. Ces relations viennent de la théorie des graphes. Le problème est lié à la caractéristique dEuler-Poincaré en géométrie différentielle.

64 64 La géométrie des arêtes est facile à programmer

65 65 La géométrie des triangles est facile à programmer Le déterminant est égal au double de laire. On utilise souvent les coordonnées affines Note : 2S = =

66 66 Profiter des symétries pour réduire la taille du problème ! Introduction de la géométrie Conseil : placer lorigine des coordonnées sur laxe de symétrie.

67 67 Eléments en B ou A On sintéresse au cas où le champ B vérifie exactement les équations de Maxwell. Le cas le plus simple est celui où le champ B est uniforme sur chaque élément (éléments de Whitney). Inconvénient : il faut subdiviser plus finement pour une précision donnée, et les graphes sont moins élégants.

68 68 Eléments de faces Les variables indépendantes sont les flux à travers les faces : satisfaire les conditions aux limites est facile. Problème : il faut imposer sur chaque élément une contrainte = 0 Chaque flux influence deux triangles : chaque élément fini est donc formé de deux triangles. La contribution dun flux au champ est simplement

69 69 Eléments de nodaux A deux dimensions, le potentiel vecteur na quune composante. Si on prend comme variables indépendantes les valeurs de ce potentiel aux nœuds, il ny a pas de contraintes à ajouter. Chaque potentiel influence le champ dans tous les triangles qui ont ce nœud comme sommet : lélément fini est donc un polygone. Sur chaque triangle, le potentiel A est un polynôme dordre 1. Le lien entre un des potentiels et le champ est du type

70 70 Eléments finis en H Eléments darête Les variables indépendantes sont les circulations du champ H sur les côtés. Chaque circulation influence le champ dans deux triangles. Lélément fini est donc formé de deux triangles. Linfluence dune des variables sur le champ est décrite ci-dessous (formules sur le site Internet si intéressés) Il y a une contrainte : la somme des trois circulations correspond au courant qui traverse le triangle !

71 71 Mise en équations Avec les logiciels commerciaux, seul un volet des équations dévolution est satisfait exactement, ainsi que les relations constitutives. Le calcul est fait en supposant ces relations linéaires. Les équations sont obtenues par un principe variationnel, mais ce principe nest pas utilisé dans le calcul numérique. On a un grand système déquations linéaires que lon résout par itération. Dans le cas non linéaire, on procède par itérations successives en résolvant un problème linéaire à chaque pas. Pour tester la précision, on doit refaire tout le calcul en affinant le maillage et on vérifie que les champs ou une grandeur énergétique (pas nécessairement définie en accord avec la physique) changent peu. Il y a donc trois itérations imbriquées lune dans lautre. On pourrait arriver à un meilleur contrôle de la précision en utilisant les deux volets déquations dévolution et le ligurien.


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