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1 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire.

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1 1 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

2 Matrice de rigidité locale en 3D (linéaire) 2 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Matrice [H]:

3 Matrice de rigidité locale en 3D 3 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Matrice [B]:

4 Pour un tétraèdre linéaire 4 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

5 Mécanique linéaire 5 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Système discret final où [K] et {F} ne sont pas affectés pas la déformation de la pièce et donc par {U Nd }

6 Non linéarité matérielle 6 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Bilinéaire Élastique non linéaire Plastique

7 Non linéarité géométrique 7 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire On ne peut plus assimiler géométriquement la configuration déformée (coordonnées x i ) à la configuration initiale (coordonnées a i )

8 Non linéarité géométrique 8 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Deux configurations (peuvent agir ensemble) Grands déplacements: U i << L nest plus vrai Grandes déformations: U i,j << 1 nest plus vrai Plus de proportionnalité entre {ε} et {U n(i) } [K] est affectée par la déformation de la pièce et donc par {U nd }

9 Non linéarité géométrique 9 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Grands déplacements

10 Non linéarité géométrique 10 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Charges vives: {F} affecté par la déformation de la pièce et donc par {U nd }

11 Autres non linéarités 11 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Conditions aux limites bilatérales Contact Conditionnement du système variable (déplacements imposés) Influence mutuelle entre plusieurs pièces

12 Non linéarité géométrique: exemple 12 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion E = 1.2x10 9 Pa, L = 10 m Section 1 m x 0.1 m Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire (HPP) m m

13 Non linéarité géométrique: exemple1 13 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Grands déplacements (COSMOS/M) Déformée modèle non-linéaire/linéaire m m m m

14 Non linéarité géométrique: exemple 14 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – 15 000 N Déplacements en x et y Linéaire Non linéaire m m NN

15 Non linéarité géométrique: exemple 15 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – 15 000 N Déplacement en y linéaire/non linéaire Linéaire Non linéaire m N

16 Non linéarité géométrique: exemple 16 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire Effort normal et effort tranchant élément

17 Non linéarité géométrique: exemple 17 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Effort normal et effort tranchant élément

18 Non linéarité géométrique: exemple 18 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Forces et moments de réaction

19 Non linéarité géométrique: exemple 19 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Éléments de plaque COSMOS/M Modèle linéaire (HPP) Déplacements semblables

20 Non linéarité géométrique: exemple 20 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle linéaire (HPP) Contraintes Von-Mises Face dessus Face dessous Feuillet moyen

21 Non linéarité géométrique: exemple 21 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Éléments de plaque (COSMOS/M) Modèle non linéaire Déplacements semblables

22 Non linéarité géométrique: exemple 22 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle non linéaire Contraintes Von-Mises Face dessus Face dessous Feuillet moyen

23 Non linéarité géométrique: exemple 23 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée en 3D Modèle non-linéaire (Solidworks) Déplacements semblables

24 Non linéarité géométrique: exemple 24 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Comparaison Modèle non-linéaire Contraintes Von Mises

25 Non linéarité matérielle: exemple 25 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Plaque trouée en traction Modèle 2D (dimensions en pouces), contraintes planes Pression P (constante)

26 Non linéarité matérielle: exemple 26 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Plaque trouée (COSMOS/M solveur itératif) Modèle linéaire Modèle non-linéaire (parfaitement plastique à 40 000 Psi) P = 10 000 Psi P = 12 000 Psi P = 15 000 Psi P = 20 000 Psi Échelle de couleurs différente

27 Non linéarité matérielle: exemple 27 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Plaque trouée : contraintes résiduelles P = 12 000 Psi P = 20 000 Psi Échelle de couleurs différente

28 Formalismes 28 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Eulerien Lagrangien

29 Lagrangien: problématique 29 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Déformations trop importantes

30 Lagrangien: solutions 30 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Remaillage Formalisme ALE

31 Tenseur de Green-Lagrange Configurations initiale et déformée GMC 6001- Dynamique des structures 31

32 Grandes déformations : exemple 32 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Élément de barre L = 1 E = 0.21 10 12, A = 0.1 10 -3 q = 10 5 DéplacementGreen-Lagrange (linéarisé et non)

33 Grandes déformations : exemple 33 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Élément de barre L = 1 E = 0.21 10 12, A = 0.1 10 -3 q = 10 6 q=10 7 q = 10 8 Green-Lagrange linéarisé (rouge) et non linéarisé (vert)

34 Décomposition polaire 34 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

35 Tenseur de Green-Lagrange: exemple GMC 6001- Dynamique des structures 35 Déformation dun carré

36 Tenseur de Green-Lagrange: exemple GMC 6001- Dynamique des structures 36 Décomposition

37 Tenseur de Green-Lagrange: exemple GMC 6001- Dynamique des structures 37 Décomposition

38 Tenseur des contraintes Configurations initiale et déformée GMC 6001- Dynamique des structures 38 [σ] Tenseur de Cauchy

39 Tenseur des contraintes Configurations initiale et déformée GMC 6001- Dynamique des structures 39

40 Tenseur des contraintes Formule de Nanson GMC 6001- Dynamique des structures 40

41 Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 1 (PK1) GMC 6001- Dynamique des structures 41

42 Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 2 (PK2) GMC 6001- Dynamique des structures 42

43 Formulations 43 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire Lagrangienne totale Lagrangienne réactualisée 0.2601154286

44 Méthodes numériques GMC 6001- Dynamique des structures 44 Newton-Raphson Newton-Raphson modifiée

45 Méthodes numériques: exemple GMC 6001- Dynamique des structures 45 ItérationSubstitutionNewton-Raphson modifiée 10.2000000000 20.25000000000.26666666670.2400000000 30.26666666660.27619047610.2576000000 40.27272727280.27639311050.2663577600 50.27500000000.27639320220.2709464563 60.27586206900.27639320220.2734119822 70.27619047620.27639320220.2747541120 Ressort non linéaire F=0.2, k=1-u, u 0 =0 Valeur théorique: u = 0.2763932023

46 Méthodes numériques: exemple GMC 6001- Dynamique des structures 46 ItérationSubstitutionNewton-Raphson modifiée Premier incrément F=0.1 10.1000000000 20.111111111100.11250000000.1100000000 30.11250000000.11270161290.1121000000 Deuxième incrément F=0.2 10.22535211260.24180109270.2125664100 20.25818181820.27407596920.2451844787 30.26960784320.27638131870.2601154286 Méthode incrémentale (deux incréments de force) Valeur théorique: u = 0.2763932023


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