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1 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire.

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1 1 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

2 Matrice de rigidité locale en 3D (linéaire) 2 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Matrice [H]:

3 Matrice de rigidité locale en 3D 3 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Matrice [B]:

4 Pour un tétraèdre linéaire 4 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

5 Mécanique linéaire 5 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Système discret final où [K] et {F} ne sont pas affectés pas la déformation de la pièce et donc par {U Nd }

6 Non linéarité matérielle 6 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Bilinéaire Élastique non linéaire Plastique

7 Non linéarité géométrique 7 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire On ne peut plus assimiler géométriquement la configuration déformée (coordonnées x i ) à la configuration initiale (coordonnées a i )

8 Non linéarité géométrique 8 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Deux configurations (peuvent agir ensemble) Grands déplacements: U i << L nest plus vrai Grandes déformations: U i,j << 1 nest plus vrai Plus de proportionnalité entre {ε} et {U n(i) } [K] est affectée par la déformation de la pièce et donc par {U nd }

9 Non linéarité géométrique 9 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Grands déplacements

10 Non linéarité géométrique 10 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Charges vives: {F} affecté par la déformation de la pièce et donc par {U nd }

11 Autres non linéarités 11 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Conditions aux limites bilatérales Contact Conditionnement du système variable (déplacements imposés) Influence mutuelle entre plusieurs pièces

12 Non linéarité géométrique: exemple 12 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion E = 1.2x10 9 Pa, L = 10 m Section 1 m x 0.1 m Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire (HPP) m m

13 Non linéarité géométrique: exemple1 13 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Grands déplacements (COSMOS/M) Déformée modèle non-linéaire/linéaire m m m m

14 Non linéarité géométrique: exemple 14 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – N Déplacements en x et y Linéaire Non linéaire m m NN

15 Non linéarité géométrique: exemple 15 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – N Déplacement en y linéaire/non linéaire Linéaire Non linéaire m N

16 Non linéarité géométrique: exemple 16 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire Effort normal et effort tranchant élément

17 Non linéarité géométrique: exemple 17 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Effort normal et effort tranchant élément

18 Non linéarité géométrique: exemple 18 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Forces et moments de réaction

19 Non linéarité géométrique: exemple 19 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Éléments de plaque COSMOS/M Modèle linéaire (HPP) Déplacements semblables

20 Non linéarité géométrique: exemple 20 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle linéaire (HPP) Contraintes Von-Mises Face dessus Face dessous Feuillet moyen

21 Non linéarité géométrique: exemple 21 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Éléments de plaque (COSMOS/M) Modèle non linéaire Déplacements semblables

22 Non linéarité géométrique: exemple 22 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle non linéaire Contraintes Von-Mises Face dessus Face dessous Feuillet moyen

23 Non linéarité géométrique: exemple 23 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Maillée en 3D Modèle non-linéaire (Solidworks) Déplacements semblables

24 Non linéarité géométrique: exemple 24 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Poutre en flexion Comparaison Modèle non-linéaire Contraintes Von Mises

25 Non linéarité matérielle: exemple 25 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Plaque trouée en traction Modèle 2D (dimensions en pouces), contraintes planes Pression P (constante)

26 Non linéarité matérielle: exemple 26 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Plaque trouée (COSMOS/M solveur itératif) Modèle linéaire Modèle non-linéaire (parfaitement plastique à Psi) P = Psi P = Psi P = Psi P = Psi Échelle de couleurs différente

27 Non linéarité matérielle: exemple 27 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Plaque trouée : contraintes résiduelles P = Psi P = Psi Échelle de couleurs différente

28 Formalismes 28 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Eulerien Lagrangien

29 Lagrangien: problématique 29 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Déformations trop importantes

30 Lagrangien: solutions 30 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire R lage Formalisme ALE

31 Tenseur de Green-Lagrange Configurations initiale et déformée GMC Dynamique des structures 31

32 Grandes déformations : exemple 32 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Élément de barre L = 1 E = , A = q = 10 5 DéplacementGreen-Lagrange (linéarisé et non)

33 Grandes déformations : exemple 33 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Élément de barre L = 1 E = , A = q = 10 6 q=10 7 q = 10 8 Green-Lagrange linéarisé (rouge) et non linéarisé (vert)

34 Décomposition polaire 34 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

35 Tenseur de Green-Lagrange: exemple GMC Dynamique des structures 35 Déformation dun carré

36 Tenseur de Green-Lagrange: exemple GMC Dynamique des structures 36 Décomposition

37 Tenseur de Green-Lagrange: exemple GMC Dynamique des structures 37 Décomposition

38 Tenseur des contraintes Configurations initiale et déformée GMC Dynamique des structures 38 [σ] Tenseur de Cauchy

39 Tenseur des contraintes Configurations initiale et déformée GMC Dynamique des structures 39

40 Tenseur des contraintes Formule de Nanson GMC Dynamique des structures 40

41 Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 1 (PK1) GMC Dynamique des structures 41

42 Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 2 (PK2) GMC Dynamique des structures 42

43 Formulations 43 GMC Éléments finis en mécanique non linéaire Lagrangienne totale Lagrangienne réactualisée

44 Méthodes numériques GMC Dynamique des structures 44 Newton-Raphson Newton-Raphson modifiée

45 Méthodes numériques: exemple GMC Dynamique des structures 45 ItérationSubstitutionNewton-Raphson modifiée Ressort non linéaire F=0.2, k=1-u, u 0 =0 Valeur théorique: u =

46 Méthodes numériques: exemple GMC Dynamique des structures 46 ItérationSubstitutionNewton-Raphson modifiée Premier incrément F= Deuxième incrément F= Méthode incrémentale (deux incréments de force) Valeur théorique: u =


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