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Probabilités et Statistiques Année 2010/2011

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Présentation au sujet: "Probabilités et Statistiques Année 2010/2011"— Transcription de la présentation:

1 Probabilités et Statistiques Année 2010/2011

2 Cours n°10 Convergence vers la loi normale Retour sur Monte Carlo (calcul dintervalles de confiance) Convergence dune somme de loi B(p/n)

3 Loi dune somme de v.a. i.i.d ? Probas-Stats 1A3 Décembre 2010

4 Loi dune somme de v.a. i.i.d ? Probas-Stats 1A4 Décembre 2010

5 Théorème de la limite centrée Probas-Stats 1A5 5 T HEOREME. [de la limite centrée] Soient X 1, …, X n des v.a. i.i.d. On ne précise pas la loi. On suppose seulement que var(X i ) existe. Soit μ := E(X 1 ), σ 2 := Var(X 1 ) et M n := (X 1 + … + X n )/n Alors pour n grand, M n est approx. de loi N(μ, σ 2 /n) Décembre 2010

6 Commentaires Probas-Stats 1A6 Remarquer la généralité des hypothèses sur la loi des X i ! On peut même alléger lhypothèse dindépendance … Formulation rigoureuse avec la convergence en loi : Z n -> Z en loi ssi F Zn (x) F Z (x) en tout point x pour lequel F Z est continue. Contre-exemple si var(X i ) nexiste pas. Loi de Cauchy : f(t) = (1/π)×1/(1+t 2 ) Proposition : si les X i sont i.i.d. et de loi de Cauchy, alors pour tout n, M n est de loi de Cauchy. Décembre 2010

7 Historique Probas-Stats 1A7 De Moivre (1733) : cas de la loi B(p) avec p=1/2 Laplace (1812) : cas de la loi B(p), p quelconque Lévy (1920) : cas général Décembre 2010

8 Somme de v.a. – convolution Rappel : soient X et Y deux v.a. supposées indépendantes et continues. Alors X+Y admet la densité : Probas-Stats 1A8 Décembre 2010

9 Fonction caractéristique Qui dit convolution dit transformée de Fourier !En proba., on a la fonction caractéristique Si X est continue, on reconnaît la forme de la transformée de Fourier : Probas-Stats 1A9 Décembre 2010

10 Fonction caractéristique Propriétés fondamentales : Si X et Y sont indépendantes, -> Transforme les convolutions en produit X et Y ont même loi ssi -> La fonction caractéristique caractérise la loi Théorème (Paul Lévy) Pour montrer que en loi, il suffit de montrer que, Probas-Stats 1A10 Décembre 2010

11 Schéma de preuve du TLC Probas-Stats 1A11 Décembre 2010 Z de loi N(0,1) Variables aléatoiresFonctions convergence en loi Convergence simple

12 Démo (sur un exemple) Exercice : montrer que Indication : montrer que φ N(0,1) est solution de léqua. diff. z(t)= - t z(t) avec z(0) = 1 Soient X 1, …, X n i.i.d de loi U([-a,a]), avec a=3 Remarque : a est choisi pour que var(X i )=1 Montrer que Démo générale Probas-Stats 1A12 Décembre 2010

13 Application: intervalles de confiance Probas-Stats 1A13 Décembre 2010 Loi normale N(0,1)Loi normale N(μ,σ 2 /n) % En pratique, on remplace σ par lécart-type des X i

14 Méthode de Monte Carlo (MC) Nom donné au calcul de quantités probabilistes par simulation Probabilité, espérance, variance, quantile, … Base théorique : loi des grands nombres Exemple. Calcul de pi (voir TD) En utilisant un disque En utilisant la fonction g : x -> (1-x 2 ) 1/2 Probas-Stats 1A14 Décembre 2010

15 Calcul dintégrale par Monte Carlo Probas-Stats 1A15 U1U1 U2U2 U 10 g(U 1 ) g(U 2 ) g(U 10 ) … … … g Décembre 2010

16 Probas-Stats 1A16 g g(U 1 ) g(U 2 ) … … g(U 10 ) U1U1 U2U2 U 10 … g(U 100 ) U 100 Décembre 2010 Calcul dintégrale par Monte Carlo

17 Remarque de base : si U est uniforme sur [0,1], Loi des grands nombres : M n = ( g(U 1 )+…+g(U n ) ) / n -> avec U 1,…, U n i.i.d. de loi unif. sur [0,1] Probas-Stats 1A17 Décembre 2010 Calcul dintégrale par Monte Carlo

18 Variance dune somme et vitesse de convergence Ici X i = g(U i ) var(M n ) = σ 2 / n avec σ 2 = var(g(U i )), donc σ (M n ) = σ (g(U)) / n TLC et intervalle de confiance est un int. de conf. approché à 95% de Probas-Stats 1A18 Décembre 2010 Calcul dintégrale par Monte Carlo

19 Commentaires Une partie en 1/n Une partie qui dépend de g -> on peut réduire la variance en changeant g (de sorte que lintégrale reste la même) Voir TD 9 et TD 10 Probas-Stats 1A19 Décembre 2010 Calcul dintégrale par Monte Carlo

20 Convergence de la loi B(p/n) Problème : loi du nb de spams reçus sur une période T ? Une solution On découpe [0, T] en n intervalles Sur chaque intervalle I k := [(k-1)T/n, kT/n], on suppose : Quil y a au plus 1 spam Que la probabilité de recevoir un spam est proportionnelle à la durée T/n Que les spams sont reçus de façon indépendantes Loi du nb de spams à n fixé ? Quand n -> + ? Probas-Stats 1A20 Décembre 2010

21 Schéma de raisonnement Probas-Stats 1A21 Décembre 2010 Z de loi LOI (à trouver) Variables aléatoiresFonctions avec X i ~ B(p/n) Convergence simple


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