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Mathématiques et Médecine Jean Céa. Des limites La médecine et la biologie sont de grandes consommatrices de mathématiques, même si ces dernières restent.

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1 Mathématiques et Médecine Jean Céa

2 Des limites La médecine et la biologie sont de grandes consommatrices de mathématiques, même si ces dernières restent souvent cachées. Dans ce diaporama, nous nous sommes nécessairement limités à quelques exemples. Nous ne parlerons pas de : Génome, Echographie, Chirurgie à distance, Chirurgie assistée par ordinateur, Simulation, Propagation des épidémies, Formation…

3 Plan Modélisation : deux exemples Ecrire avec … le regard Imagerie médicale (Tomodensitométrie, Résonance Magnétique…) Applications de limagerie médicale : Prothèse totale du genou, Neuronavigation, Ablation par radiofréquence. Interface Cerveau Machine - Ecrire et dessiner par la pensée - Commander par la pensée

4 Modélisations

5 Un travail multidisciplinaire La modélisation permet d'analyser des phénomènes réels et de prévoir des résultats. Un modèle n'est pas une loi physique qui a fait ses preuves depuis des siècles. Il est le résultat de tâtonnements, dajustements et dun travail multidisciplinaire. Petit à petit, après de nombreuses confrontations entre le monde réel et le monde virtuel (des simulations) le modèle sera validé ! Les modèles mathématiques servent à effectuer des simulations virtuelles et à éviter des tests réels… coûteux, parfois dangereux ou infaisables ! Dans un modèle, on traduit souvent en termes mathématiques des lois de conservation, des situations déquilibre… doù des relations entre les fonctions inconnues qui décrivent un processus.

6 Le paludisme Contagion : Hommes Moustiques du genre anophèles. Responsable chez lhomme : un parasite (plasmodium) Louis Pasteur ( ) : maladies et microbes. Alphonse Laveran (1880) : le moustique est responsable (Nobel 1908) Ronald Ross (1897) : le cycle du parasite, un modèle très simple. (Nobel 1902)

7 Tant quil y aura des… moustiques A lépoque, les décideurs pensaient que : il y aura toujours des moustiques pour contaminer des hommes, qui contamineront des moustiques... Donc, impossible de débarrasser une région de ses moustiques. Donc, inutile de faire de gros investissements et de mobiliser de la matière grise ! Ross a montré avec son modèle mathématique ceci : il existe un seuil critique, si le nombre de moustiques passe sous ce seuil, alors le paludisme disparaît de lui-même.

8 Paludisme : un modèle mathématique simple Il y a 2 fonctions inconnues : h (t) et m(t), hommes et moustiques infectés au temps t (t >= 0). On étudie les évolutions de ces 2 fonctions entre t et t + t, où t est « petit », positif (destiné à tendre vers 0). Pour h : h(t+ t ) - h(t) = [infectés] - [guéris ou décédés] temps t Regardons le cas des guérisons : si la proportion de guérisons par unité de temps vaut g (nombre entre 0 et 1), alors le nombre total de guérisons entre t et t + t vaut : h (t) * g * t Les infectés et les décédés vont conduire aussi à des expressions avec le facteur t : doù h(t+ t ) - h(t) = […] * t soit (h(t+ t ) - h(t)) / t = […] puis en passant à la limite avec t h(t) = […], il ne reste plus quà expliciter le terme […] !

9 Un système de 2 équations différentielles On montre avec quelques calculs que : h = a. h + b. m + c. m. h m = d. h + e. m + f. m. h a, b, c, d, e, f sont des nombres qui dépendent des paramètres de la modélisation. On suppose quon connait les conditions initiales h 0 et m 0 : h (0) = h 0 m (0) = m 0 Il sagit dun système de 2 équations différentielles à 2 fonctions inconnues h et m. Existence dune solution, calculs… Ajustement des paramètres, validation, exploitation.

10 Le seuil critique de ROSS Les mathématiciens savent calculer de façon approchée les solutions de ces 2 équations (différentielles). On peut donc connaître lévolution de h(t) et de m(t). En cherchant sous quelles conditions h (t) pourrait se rapprocher de 0 quand t devient grand (ce qui signifie que le paludisme va disparaître avec le temps) Ross a mis en évidence un nombre R, le seuil critique du type : R = k. M / H (M = nombre total de moustiques, H = nombre total dhommes) où k dépend des paramètres de la modélisation. Le théorème du moustique (Ronald Ross, 1911) : Si R <= 1 alors la maladie va disparaître. La condition peut sécrire : k. M / H <= 1 ou M <= (1/k). H Politique de santé publique : il suffit de réduire M, pour que le paludisme disparaisse !

11 Le pancréas et le diabète Le pancréas synthétise des produits de sécrétion qui sont libérés dans la circulation sanguine où ils vont agir à distance vers des tissus (ou cellules) cibles. Les produits synthétisés par le pancréas sont, en particulier : - L'insuline favorise la synthèse de glycogène à partir du glucose. Son but principal est la mise en réserve du glucose issu d'une alimentation riche en glucides. - Le glucagon agit en sens contraire, il accélère la production de glucose. Ces deux hormones sont nécessaires à la régulation de la glycémie (concentration du glucose dans le sang). Extrait de :

12 Quest-ce que le diabète ? « Le diabète est une maladie… causée par une carence ou un défaut d'utilisation de l'insuline entraînant un excès de sucre dans le sang (1922). À la longue, lhyperglycémie provoquée par la présence excessive de glucose dans le sang peut entraîner certaines complications, notamment au niveau des yeux, des reins, des nerfs, du cœur et des vaisseaux sanguins. » Dans certains cas, les personnes diabétiques dépendent dinjections quotidiennes d'insuline pour vivre (diabète de type 1).

13 Vers un « pancréas artificiel » Crédit illustration : © Sophia Winters - Fotolia.com - Le capteur est implanté sous la peau. Il mesure en continu (toutes les 5 minutes !) le niveau du glucose quil transmet par un signal. - Le centre de traitement (ordinateur, logiciel) est actuellement de la taille dun Smartphone. Il analyse le signal reçu, utilise un algorithme et décide du taux dinsuline (et éventuellement de glucagon) à injecter. - La pompe à insuline agit selon les ordres reçus (du centre de traitement). Plusieurs centres de recherches à travers le monde cherchent à automatiser et à optimiser le processus dabsorption de linsuline. Des prototypes dun « pancréas artificiel » existent et sont expérimentés, en particulier en France chez le Professeur Éric Renard (Montpellier). La grosse difficulté : le modèle mathématique !

14 Ecrire avec … le regard

15 Comme sil sagissait dun stylo, lutilisateur peut tracer des lettres, des chiffres, des figures, une signature, et même réaliser des dessins avec son regard grâce à une technique très simple incluant un oculomètre et un écran dordinateur. Un oculomètre permet denregistrer les mouvements oculaires en analysant les images de l'œil humain captées par une caméra pour calculer la direction du regard du sujet. Un capteur monté sur une sorte de paire de lunettes. Pour obtenir de lœil des trajectoires lisses, Jean Lorenceau (CNRS/UPMC/Inserm) a eu lidée dutiliser une « illusion visuelle ». Lillusion se produit lorsque, sur un écran, saffichent quelques centaines de disques dont la luminance varie au cours du temps à une fréquence denviron Hertz (Hz) … / … dispositif-pour-ecrire-avec-les-yeux vidéo dispositif-pour-ecrire-avec-les-yeux

16 L'imagerie médicale

17 « Elle regroupe les moyens d'acquisition et de restitution d'images du corps humain à partir de différents phénomènes physiques tels que : Absorption des rayons X (Tomographie-X ou Scanner) Résonance magnétique nucléaire (IRM) Réflexion d'ondes ultrasons (Echographie) … »

18 Plusieurs phases dans limagerie 1. Un phénomène physique. 2. La fonction caractéristique des tissus mous du corps humain, comme, les os, le cerveau, la moelle épinière, les viscères, les muscles ou les tendons. 3. Le calcul mathématique de cette fonction en sappuyant sur la physique. 4. Le stockage des valeurs de cette fonction pour un ensemble de points. 5. Lextraction de données pour la construction mathématique et informatique dimages et de vues diverses.

19 Tomographie-X, scanner-X Tomodensitométrie

20 Dernier cri dans la tomodensitométrie : le CT-scan à double source. (Wikipedia)

21 Quand un rayon X traverse notre corps ( une tranche planaire de notre corps, représentée par lensemble K) Le rayon X arrive en E avec une certaine énergie, il traverse K pour sortir en S. En tout point M du segment ES, il perd de lénergie. Cette perte est caractéristique du milieu traversé : os, muscle, air, graisse… Fonction f (atténuation dénergie ): A tout point M de K, on associe un nombre f(M). Cest latténuation de lénergie de tout rayon X qui passe par M.

22 Des images Si, en chaque point M de K, on connaît le nombre f ( M ), on connaît alors la nature du milieu en M. On pourrait alors construire des images selon un code de teintes pour représenter le milieu : os, muscle, air, graisse... Images 2D dans chaque coupe K, image 3D par des raccordements mathématiques dimages 2D.

23 Un cheminement curieux Notre inconnue est la fonction f. En mathématiques, on a souvent recours à un déplacement de la difficulté. Un problème peut-être difficile à résoudre dans son cadre dorigine, mais, il peut devenir plus simple à comprendre dans un autre cadre. Un exemple avec une transformation : ? f F (F est la transformée de f) f calculée F calculée (mesures physiques) f = transformée inverse de F Dans notre cas, nous utiliserons la Transformation de Radon

24 La transformée de Radon (1917) f ( M ) définie M f ( M ) = o si M nest pas dans K Une droite D ( a, r ) F ( D ) définie D ou pour tout couple ( a, r ) En 1917, Radon associe à une fonction f une fonction F, dite transformée de Radon de f. F(D) = intégrale de f sur ES ; moyenne de f sur ES * (ES) Radon démontre que sa transformation est inversible, autrement dit, connaissant F on peut trouver f.

25 Quand une droite est un rayon X En bleu : une tranche du tunnel du scanner. En jaune clair, une tranche du corps humain à analyser. En rouge : un rayon X qui va de lémetteur au récepteur. Il ny a pas de perte dénergie dans lair, entre lémetteur et E et entre S et le récepteur. Une droite D est un rayon X émis par lémetteur. Balayage de rayons X par les émetteurs. Mouvement hélicoïdal possible. Il se trouve que F(D) est calculable à partir des valeurs de f en E et en S, cest-à-dire à lémission et à la réception. F étant connue, on sait retrouver f mathématiquement

26 Tomodensitométrie, Tomographie X, Scanner Ces techniques utilisent trois outils : Les rayons X : Wilhelm Röntgen, 1895, Nobel de physique en La transformation du mathématicien Radon : Les ordinateurs : besoin dune énorme puissance de calcul. La Tomographie médicale a été développée dans les années 1970 et En 1979, Allan Cormark (physicien) et Godfrey Hounsfield (ingénieur) ont reçu le prix Nobel de médecine pour leurs contributions dans linvention du CT scanner (CT = Computed Tomography) ou la Tomographie X médicale daujourdhui.

27 Imagerie par Résonance Magnétique

28 L'imagerie par résonance magnétique est une technique non invasive. (Champ magnétique, pas de rayons X) On peut observer des tissus avec des contrastes très élevés, meilleurs que ceux obtenus à laide dun scanner. L'IRM utilise la résonance des protons d'un organisme pour récupérer les données qui permettront de construire des images. Ou trouve-t-on ces protons ?

29 Esquisse du fonctionnement de l'IRM (I) Le corps humain est composé en majorité d'eau (H 2 O) Le noyau de lhydrogène est composé dun seul proton. Ces protons réagissent de façon spécifique au champ magnétique. On commence par placer le corps du patient dans un intense champ magnétique (dans le tunnel), puis, on excite les protons à une certaine fréquence à l'aide d'une émission électromagnétique (radio-fréquence, variable selon les points) jusqu'à les mettre en résonance.

30 Fonctionnement simplifié de l'IRM (II) Résonance : cela signifie que les protons vont absorber lénergie du rayonnement. Arrêt de l'excitation : avec une ou plusieurs antennes, on mesure l'énergie rendue par les protons. Le mode de restitution est typique des tissus traversés. On peut donc différencier les points des tissus traversés. re re

31 Applications Prothèse totale du genou Ablation par radiofréquence Neuronavigation

32 Prothèse totale du genou Les mathématiques interviennent surtout avant lopération. Cependant, elles peuvent aussi intervenir pendant lopération dans le cas de la CAO. Scanner préopératoire (IRM ou Scanner-X). Avec les résultats de ce scanner, on fait une modélisation 3D du genou. Le chirurgien aura ainsi une vision complète du genou-fémur-tibia. « Laxe de la PTG et la balance ligamentaire sont les 2 critères les plus importants pour que le résultat clinique soit bon et la durée de vie de la prothèse optimisée. » Le chirurgien devra faire des choix sur son ordinateur, en tenant compte des alignements, des espaces, des tendons… Il choisira bonne taille de la prothèse pour assurer une réussite.

33 Aide des mathématiques Après ses choix, le chirurgien recevra les guides de coupe à usage unique. Ces guides sadaptent anatomiquement au fémur et au tibia. Ils permettent une première découpe, on peut ensuite poser sans erreur, les guides à 4 découpes adaptées à la prothèse choisie. Beaucoup de mathématiques dans le scanner, dans la modélisation 3D, dans le dessin et la position « anatomique » des guides… Apport : rigueur, réductions des erreurs, efficacité…

34 Rythme Cardiaque Le cœur est un muscle qui fait office de pompe en se contractant environ fois par minute. Le chef dorchestre est le Sinus, situé au-dessus de loreille droite : il envoie des signaux électriques qui se propagent dans les oreillettes, puis dans les ventricules via le Nœud Atrio-Ventriculaire. Quand le cœur fonctionne bien, le rythme est régulier, il est dit sinusal.

35 Anomalies du Rythme Cardiaque Il arrive que des cellules ne fonctionnent pas en rythme et que les signaux soient retransmis de façon anarchique : cest lArythmie. Crédit :

36 La fibrillation auriculaire (atriale) Arythmies la plus fréquentes. Celles qui affectent les oreillettes : la fibrillation auriculaire (ou atriale). Le muscle cardiaque « fibrille », les cellules ne travaillent pas, en même temps et dans le même sens pour expulser le sang. Conséquences de larythmie : -Expulsion insuffisante du sang -Vertiges, Fatigue, Essoufflements, Palpitations, risque d AVC… Soins : médicaments, choc électrique, ablation par radiofréquence… Statistiques : 3,5 % des personnes de plus de 65 ans, 10% des personnes de plus de 80 ans.

37 Le procédé consiste à détecter les zones qui ne fonctionnent pas bien et à les supprimer en les brûlant, cest lablation ! Il se trouve que dans la F.A. ces zones se concentrent aux embouchures des veines pulmonaires dans loreillette gauche. On cherchera donc à isoler (électriquement) ces veines par lablation. Succès : >= 90 %, éventuellement en 2 fois. Principe de lAblation par radiofréquence

38 Via la veine fémorale, on introduit dans loreillette droite un ou plusieurs cathéters (de diagnostic). On traverse la cloison pour aller à loreillette gauche. Cartographie du cœur : Les cathéters sont prolongés par des électrodes qui vont dresser des « électrocardiogrammes » de lintérieur du cœur. Avec un système dimagerie, on visualise la cartographie du cœur. On sélectionne les zones à brûler. Ablation : des cathéters dablation vont faire ce travail. Mise en ouvre de lAblation par radiofréquence (I)

39 On a besoin de « voir » où se trouvent les instruments et les zones défectueuses. Donc, reconstitution 3D du cœur. Au début, on ne disposait que de la scopie, mais « Danger » à cause des rayons X. Guidage des cathéters. Une invention très récente (3 ans ), une révolution : le Guidage Magnétique. Le patient est placé entre 2 grands aimants, les cathéters (dablation) portent 3 petits aimants. Depuis, un ordinateur, on commande les mouvements des cathéters. Intérêt du guidage magnétique : plus précis, mieux contrôlé, plus rapide, pas de rayon X… beaucoup moins daccidents… Durée de lopération : entre 2 et 4 heures. Séjour dans létablissement : 2 nuits Les mathématiques sont dans la reconstitution des images et dans la gestion du mouvement des cathéters … Mise en ouvre de lAblation par radiofréquence (II)

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41 Neuronavigation Le cerveau nest pas uniforme : il comprend des zones dites éloquentes, très sensibles. Un processus pathologique ou une infime lésion chirurgicale y entraînent des symptômes très invalidants. Les lésions profondes ou celles qui bordent une zone éloquente demeurent le défi majeur pour un neurochirurgien. Objectif du neurochirurgien : choisir le trajet le plus court en traversant des tissus non-éloquents.

42 Neuronavigation - GPS Neuronavigation = outil informatique analogue au GPS. Repères : sur la tête du patient, anatomiques ou « pastilles » collées sur la peau. A lIRM, les repères seront visibles, « filmés ». Les tranches enregistrées du cerveau sont transférées vers un PC de la salle dopération. Lorsque le patient est sur la table dopération, on procédera à un « calage » avec laide dune caméra infrarouge pour faire superposer les repères du patient (réel) et ceux sur lIRM (virtuels). Localisation en GPS Limage IRM coïncide alors avec le cerveau. On peut « jouer » avec limage virtuelle : rotation des axes, zooms…

43 Planification préopératoire. Avant toute opération, le chirurgien va optimiser sa stratégie : localisation dune lésion, définition de ses limites, voie dapproche, évitement des zones éloquentes, protection des artères et veines. De plus, il va définir les limites dune craniotomie. Orientation dans le cerveau, signalement de dangers… Applications en neurochirurgie : Tumeurs, Biopsies, Electrodes et Parkinson, Drains… Encore plus loin : danger du changement de forme du cerveau dans certains cas. IRM en temps réel…

44 Interface Cerveau Machine Les diverses étapes

45 Interface cerveau-machine Phase 1 : étalonnage On demande au patient de simuler mentalement une action. Il en résulte des signaux électriques (magnétiques…) émis. Le système « enregistre » pendant cette phase. Mesures des signaux. Elimination du « bruit ». Classification par extraction des caractéristiques essentielles. Stockage « action simulée-signal » dans une base de données

46 Les signaux proviennent de lactivité électrique des neurones. Les techniques non invasives consistent à placer les électrodes sur le cuir chevelu. « Nettoyage des signaux » par élimination du bruit de fond. Il y a une marge plus ou moins grande dincertitude dans leur émission et leur interprétation, bruit qui peut être dû, par exemple, à des activités mentales involontaires du sujet ou à la superposition des champs électriques de larges populations neurales. Des techniques de filtrage spatial et temporel sont nécessaires en prétraitement du signal.

47 La classification des données appelle une extraction dun signal cohérent et stable depuis les données brutes. Tout ce qui permettra une identification facile et sans erreur. Comme un dictionnaire des mots, faciles à retrouver. Stockage dans une base de données information/interface-cerveau-machine information/interface-cerveau-machine

48 Interface cerveau-machine Phase 2 : robotique ou exécution Nous arrivons à la phase robotique avec ses 3 grandes étapes : 1. Capteur dinformations pertinentes. 2. Analyseur et prise de décision 3. Actionneur : actions diverses en fonction de lanalyse des signaux reçus par le capteur. 4. Rétroaction possible. Le patient va imaginer une action. Le système capte les signaux émis par son cerveau. Il les analyse et les compare à ceux qui figurent dans la base de données. Il identifie alors laction imaginée par le patient pendant létalonnage. Le système va émettre une commande afin quun système mécanique (un robot, un clavier sur écran, un fauteuil roulant, une prothèse...) exécute laction identifiée. Il peut y avoir un « retour » dinformation (une rétroaction) au patient afin de consolider le mode de fonctionnement.

49 Un exploit : commander par la pensée (I) Des chercheurs de lUniversité de Pittsburgh (école de médecine – Pennsylvanie) ont permis à une femme paralysée à partir du cou par une maladie neurologique dégénérative de ramasser et de réorienter des objets et même de se nourrir en contrôlant un bras robotisé avec ses pensées. Un degré de nuance et de fluidité encore jamais vu. Taux de 91,6 % de réussite dans ses « actions ».

50 Un exploit : commander par la pensée (II) Il ne lui a fallu que deux semaines pour prendre le contrôle total de la main artificielle (même si elle était en mesure de la déplacer après seulement deux jours) Sa vitesse augmente avec la pratique, ce qui suggère que les algorithmes et le cerveau humain sont capables daméliorer les performances de ce type dinterface cerveau- machine au fil du temps. prothse-linterface-cerveau-machine-pas-de-bras-mais-du- chocolat/ Voir la vidéo 1:35-1:55 et 6:26-8:00 prothse-linterface-cerveau-machine-pas-de-bras-mais-du- chocolat/

51 En conclusion La médecine aujourdhui utilise largement de nombreuses disciplines annexes : Physique, biologie, chimie, mécanique, théorie du signal, informatique et mathématiques ! Les applications sont spectaculaires, mais, attendons la maîtrise complète des gênes et nous serons encore plus émerveillés !

52 MERCI


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