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276-194 av. J.-C. Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Ératosthène.

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1 av. J.-C. Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Ératosthène

2 Ératosthène est né en 276 av. J.-C. à Cyrène (Shahhat, Libye). Après avoir étudié à Alexandrie et à Athènes, il sinstalle à Alexandrie où il devient directeur de la bibliothèque. Il fait des recherches en géométrie et en théorie de nombres. Il est surtout connu par le crible dÉratosthène qui consiste à éliminer de la liste des nombres tous les multiples des nombres premiers en succession pour ne retenir que les nombres premiers. Le crible, sous une forme modifiée, est encore un instrument important de nos jours en théorie de nombres. Notes biographiques Il a réalisé une mesure assez précise de la circonférence terrestre et il a compilé un catalogue détoiles. Il est devenu aveugle à la fin de sa vie et on croît quil sest laissé mourir de faim. Il est mort à Alexandrie en 194 av. J.-C.

3 Carte de la Méditerranée Cyrène Alexandrie Athènes

4 Comme bibliothécaire dAlexandrie, Ératosthène disposait de tous les renseignements sur les événements curieux observés dans lempire dAlexandre. Cest ainsi quil apprit quau solstice dété, le Soleil se réfléchissait à midi dans leau dun puits profond de Syène (aujourdhui Assouan) non loin de la première cataracte du Nil. À ce moment, le Soleil était donc à la verticale du puits. Le même jour à midi, dans la ville dAlexandrie, située à environ 830 km au nord, lombre dun pilier permettait de déterminer que le Soleil était à 7,5 degrés de la verticale. Circonférence terrestre

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6 En utilisant ces informations et le fait que la mesure de langle au centre est égale à la mesure de larc intercepté, il a fait le calcul suivant : Comme astronome, Ératosthène a construit de nouveaux instruments, a fait plusieurs observations et a utilisé ses connaissances pour une refonte du calendrier. Le vieux calendrier grec basé sur une année de douze mois de trente jours fut remplacé par un calendrier basé sur lannée égyptienne de 365 jours auquel il ajouta une journée supplémentaire à tous les quatre ans.

7 Calendrier Ce calendrier fut adopté par les Romains lorsque Jules César fit appel à un Alexandrin, Sosigène, pour réformer le calendrier romain. Comme contribution exceptionnelle, César donna son nom à ce calendrier qui fut appelé calendrier julien. Ce calendrier fut repris par le monde occidental avec la légère modification que nous omettons les années bissextiles séculaires, sauf celles dont le millésime est divisible par 400. Les travaux dÉratosthène furent repris et poussés plus loin par Strabo (63-15 av. J.-C.) et Poséidon (premier siècle av. J.-C.) puis par Hipparque et Ptolémée.

8 Crible dEratosthène Le crible dÉratosthène est une méthode pour déterminer les nombres premiers en éliminant ceux qui ne le sont pas. On dispose dabord les nombres impairs en tableau (puisque 2 est le seul nombre premier pair), puis on biffe tous les multiples de 3 qui est un nombre premier. Ils sont distribués dans le tableau par intervalles de 3. En pratique, on détecte rapidement des régularités géomé- triques de la distribution des multiples. Le nombre premier suivant est 5, on biffe tous ses multiples. Après quoi, on biffe les multiples de 7, puis ceux de 11, ainsi de suite.

9 Crible dÉratosthène

10 Pour savoir quand sarrêter, il faut simplement se rappeler que les multiples dun nombre premier dont lautre facteur est plus petit que le nombre considéré sont déjà biffés. Ainsi, dans le tableau précédent, tous les multiples de 19 plus petits que 19 2 = 361 ont déjà été biffés. Or, le plus grand nombre du tableau est 321. Il est donc inutile de poursuivre si on najoute pas des nombres dans le tableau. Les nombres qui nont pas été biffés sont donc les nombres premiers plus petits ou égaux à 321.

11 Nombres premiers

12 Une des contributions importantes dÉratosthène, qui était également géographe, est lintroduction des méridiens et des parallèles dans lélaboration des cartes géographiques. Cependant, dans ses relevés géographiques, ni les méridiens ni les parallèles ne sont à égale distance. Pour situer ses méridiens, il a retenu des particularités géographiques, les colonnes dHercule (détroit de Gibraltar), lEuphrate, et la mer Caspienne ou lemplacement de villes importantes, Rhodes, Alexandrie, Carthage, pour situer ses méridiens et parallèles. Méridiens et parallèles La carte de la diapositive suivante est une reproduction du monde habitable selon Ératosthène.

13 Monde habitable

14 Lécliptique Ératosthène a également estimé la distance de la Terre au Soleil à stades et la distance de la Lune à stades. Il a calculé ces valeurs à partir de données prises lors dune éclipse solaire. Selon Ptolémée, Ératosthène aurait calculé langle dincli- naison de laxe de la Terre par rapport au plan de lorbite des planète (plan de lécliptique) et obtenu la valeur de 11/83 de 180°, soit 23°5120¨. Cest cette inclinaison qui explique le phénomène des saisons. Fin Ératosthène


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