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Master - Automatique - Chap. VI : 1 Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires invariants (SLI) - Représentation détat VI-1 Introduction VI-2.

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1 Master - Automatique - Chap. VI : 1 Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires invariants (SLI) - Représentation détat VI-1 Introduction VI-2 Représentation détat VI-3 Obtention des équations détats VI-7 Commandabilité et Observabilité dun SLI VI-4 Solution générale des équations d'états VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la représentation d'état ( Matrice de transfert)

2 Master - Automatique - Chap. VI : 2 VI-1 Introduction Nous allons dans les chapitres VI et VII introduire un nouvel outil pour létude des systèmes : LA REPRESENTTION DETAT Cet outil utilise lalgèbre linéaire (calcul matriciel) dont les principaux avantages sont : Un même formalisme pour les systèmes analogiques ou échantillonnés. Un même formalisme pour les systèmes mono- ou multi-variable. Une analyse interne des systèmes. Lutilisation généralisée de lordinateur. VI-2 Représentation détat Equation détat Equation dobservation Prenons par exemple un système dordre n : es équation différentielle dordre n n équations du 1er ordre + s=f(e,x)

3 Master - Automatique - Chap. VI : 3 A : matrice de dynamique ou matrice détat B : matrice de commande C : matrice dobservation D : matrice de transfert direct avec : n n n q q p n p D sera nulle pour un système physique réel A, B, C et D constitue la représentation détat Exemple 1 1er Ordre C R s e v variable détat : v (tension aux bornes du condensateur) équation dobservation : p : entrées q : sorties

4 Master - Automatique - Chap. VI : 4 2ème Ordre K Amortissement (f) y M e(t) Equation du mouvement : Prenons les variables suivantes : On prend pour variables celles qui définissent les CI Pour un système le vecteur d'état n'est pas unique : il existe une infinité de représentation pour un même système. Exemple 2 :

5 Master - Automatique - Chap. VI : 5 Exemple 3 : d1d1 h1h1 h2h2 d2d2 S1S1 S2S2 q1q1 q2q2

6 Master - Automatique - Chap. VI : 6 VI-3 Obtention des équations détats a.directement (voir exemples précédent) b.A partir de la transmittance Principe : Transmittance schéma bloc variables d'états = sortie des intégrateurs réécrire n équations différentielles du 1er ordre On part de la forme normalisée : 1 ère Réalisation Compagne (Matrice de commandabilité) VI-3-1 Cas Continu On peut poser :et On revient maintenant dans le domaine temporel : et

7 Master - Automatique - Chap. VI : 7 1/p e(t) anan b n-1 a n-1 b n-2 1/p a n-2 b1b1 1/p a0a0 x(t) xx (n-1) Schéma de la transmittance : x (n) x (n-2) b0b0 a1a s(t) x1x1 x n-1 xnxn x2x Intégrateur

8 Master - Automatique - Chap. VI : 8 Equation d'état : 1 ère Forme Compagne Si D=O et Equation d'observation :

9 Master - Automatique - Chap. VI : 9 On part de la forme normalisée : 2 ème Réalisation Compagne (Matrice d'observabilité)

10 Master - Automatique - Chap. VI : 10 1/p e(t) a0a0 b0b0 a n-2 b n-2 1/p a n-1 b n-1 1/p anan s(t) x1x1 x2x2 xnxn Schéma de la transmittance : Equation d'observation :

11 Master - Automatique - Chap. VI : 11 Equation d'état : 2 ème Forme Compagne Si D=O et

12 Master - Automatique - Chap. VI : 12 Réalisation Diagonale ou modale ou de Jordan Ici on va décomposer la transmittance F(p) en éléments simples. Cas de n pôles simples e(t) pipi + + xixi Intégrateur graphe Donc le graphe de F(p) sera décrit par une succession de ces graphes élémentaires

13 Master - Automatique - Chap. VI : 13 e(t) p1p1 + + x1x1 anan s(t) r1r1 pnpn + + xnxn + + rnrn Equation d'état : Equation d'observation :

14 Master - Automatique - Chap. VI : 14 Cas d'un pôle multiple : p 1 d'ordre Quel est le graphe de p1p1 + + E(p) p1p1 + + p1p1 + + cellules Le graphe de sera la cascade de -1 cellules Donc le graphe final sera

15 Master - Automatique - Chap. VI : 15 e(t) anan s(t) p1p1 + + p1p1 + + p1p p x r +1 pnpn + + xnxn + + rnrn x x -1 x1x1

16 Master - Automatique - Chap. VI : 16 Equation d'état : Equation d'observation : Bloc de Jordan

17 Master - Automatique - Chap. VI : 17 Exemple : Soit la transmittance suivante : 1 ère Réalisation compagne : 2 ème Réalisation compagne :

18 Master - Automatique - Chap. VI : 18 Réalisation Modale :

19 Master - Automatique - Chap. VI : 19 VI-3-2 Cas Discret Equation détat Equation dobservation Continu : Equation détat Equation dobservation Discret : e(t) A + + x D s(t) + + CB ekek A + + D sksk CB Retard d'un échantillon = + +

20 Master - Automatique - Chap. VI : 20 VI-4 Solution générale des équations d'états Equation détat Solution = Solution générale sans entrée (e=0) + Solution particulière avec entrée (e) a - Solution générale sans entrée (e=0) où t 0 est l'instant initial La matrice s'appelle la matrice de transition d'état Propriétés de : VI-4-1 Cas Continu

21 Master - Automatique - Chap. VI : 21 Calculs de : Par le calcul de la série : Si A est diagonale : Par la transformée de Laplace : La méthode consiste donc à calculer la matrice puis à prendre la transformée de Laplace inverse de chacun des termes de la matrice

22 Master - Automatique - Chap. VI : 22 Par le théorème de Caley-Hamilton : Le théorème exprime que toute matrice carrée A est solution de l'équation caractéristique : Donc : A n s'exprime donc en combinaison linéaire de I,A, A 2, …, A n-1. Il en découle que le développement : est limité au degré n-1 : Les coefficients i vérifient pour chaque valeur propre i l'équation : b - Solution particulière pour e 0 On utilise la technique classique de variation de la constante, donc on cherche une solution particulière de la forme :

23 Master - Automatique - Chap. VI : 23 on sait que : Donc la solution est : Généralement on peut toujours se ramener à t 0 =0 : Si de plus on a e(t) causale :

24 Master - Automatique - Chap. VI : 24 c – Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle Réponse impulsionnelle : VI-4-2 Cas Discret a – Régime libre b – Solution Globale

25 Master - Automatique - Chap. VI : 25 Si e est causale c – Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle Calcul de A k : Prenons la TZ de (1) :

26 Master - Automatique - Chap. VI : 26 En utilisant les deux expressions connues de x k on obtient : VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la représentation d'état ( Matrice de transfert) On considère le système suivant : e est de taille p s est de taille q n ordre du système En prenant la TL :

27 Master - Automatique - Chap. VI : 27 Dans le cas général F(p) sera une matrice : q p Remarque importante: Les éléments de la matrice ont tous le même dénominateur égale à : Donc les valeurs propres de la matrice dynamique A sont solutions de l'équation et sont aussi les pôles de la transmittance VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné F(p) A,B, C, D B0B0 ekek sksk T s(t) F(Z) A e, B e, C e, D e Réalisation à l'aide d'une des trois méthodes décrites

28 Master - Automatique - Chap. VI : 28 Calcul de A e,B e, C e, D e : On sait que le système continu A, B, C, D a pour solution : BeBe AeAe On utilise un bloqueur d'ordre zéro donc e( ) est constant entre les instants k et k+1, et vaut e k DeDe CeCe Si le système A, B, C, D est invariant le système A e, B e, C e, D e est invariant également Donc B e ne dépend pas de k

29 Master - Automatique - Chap. VI : 29 VI-7 Commandabilité et Observabilité dun SLI Définition : Commandabilité ou Gouvernabilité Un système déquationsest commandable à linstant t 0 si : Quelque soit les états x(t 0 ) et x(t) pour t>t 0, il existe une loi de commande e(t 0 à t) capable de transférer le système de x(t0) à x(t). On dit donc que le système est commandable à linstant t 0 Le système est complètement commandable ou commandable sil lest quelque soit t 0 (Cas des systèmes invariants) Définition : observabilité Un système A, B, C, D est observable à linstant t 0 : Sil existe un instant t> t 0 tel que x(t 0 ) puisse être déterminé à partir de la connaissance de s(t 0 à t) quelque soit e(t). Le système est complètement observable ou observable sil lest quelque soit t 0 (Cas des systèmes invariants)

30 Master - Automatique - Chap. VI : 30 VI-7-a Critère de Commandabilité Le système A, B, C, D est commandable si en représentation diagonale B na pas de ligne nulle. Si la ligne i de la matrice b est nulle implique que x i ne dépend daucunes entrées e j Critère général de Commandabilité On construit la matrice de commandabilité : Le système est commandable si C est de rang n ou encore sil existe un déterminant n×n 0

31 Master - Automatique - Chap. VI : 31 VI-7-b Critère dObservabilité Le système A, B, C, D est observable si en représentation diagonale C na pas de colonne nulle. Si la colonne j de la matrice C est nulle implique quaucunes des sorties (s 1 à s q ) ne dépendra de x j Critère général dObservabilité On construit la matrice dobservabilité : Le système est observable si est de rang n ou encore sil existe un déterminant n×n 0

32 Master - Automatique - Chap. VI : 32 VI-7-c Deux cas de perte dObservabilité 1 – Par échantillonnage (concerne les systèmes possédant au moins une paire de pôles complexes conjugués) Prenons lexemple dun deuxième ordre échantillonné par un bloqueur dordre zéro. B0B0 ekek T s(t) sksk 1 ère Réalisation Compagne Système continu On constate bien que le système A, B, C, D est observable, car est de rang 2 donc Observable Système échantillonné

33 Master - Automatique - Chap. VI : 33 1 ère Réalisation Compagne Calculons le déterminant de pour discuter de lobservabilité du système : La distance verticale entre les deux pôles complexes conjugués ne doit pas être un multiple de e E S 2 – Par compensation de pôles et zéros

34 Master - Automatique - Chap. VI : 34 Perte dobservabilité si un zéro est égale à un pôle 1 ère Réalisation Compagne


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