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1.c. Correction paraxiale (Davis) 1/4 Utilisation du vecteur potentiel A et potentiel scalaire Φ. Equation dHelmohtz pour Ψ : Changements de variables.

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1 1.c. Correction paraxiale (Davis) 1/4 Utilisation du vecteur potentiel A et potentiel scalaire Φ. Equation dHelmohtz pour Ψ : Changements de variables : w 0 : waistl : longueur de diffraction (1) (2) (3) (4)

2 1.c. Correction paraxiale (Davis) 2/4 Léquation dHelmohtz pour Ψ devient : Avec s=w 0 /l Décomposition en série de Ψ car w 0 >>λ et s<<1 : Si on ne prends que les deux premiers ordres de Ψ pour les intégrer dans léquation ci-dessus on obtient : Ordre 0 : tous les termes en s 0 Ordre 2 : tous les termes en s 2

3 1.c. Correction paraxiale (Davis) 3/4 Pour lordre zéro, on retrouve bien léquation paraxiale pour Ψ 0. Solution du mode fondamental : Avec :et

4 1.c. Correction paraxiale (Davis) 4/4 On considère le champ électrique dun faisceau laser tel que donc on peut réduire léquation (2) : => On effectue un changement de variable sur léquation : => La composante transverse de E implique seulement les puissances paires de s alors que la composante longitudinale, les puissances impaires de s.

5 Résultat satisfaisant les équations de Maxwell Utilisation du vecteur Hertz: qui satisfait léquation dHelmholtz, on exprime et en fonction de est polarisé linéairement à partir de Zx on peut déduire les composantes Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz 2.a. Résultat exact vectoriel

6 Les calculs de résolution se font de manière spectrale (transformée de Fourrier) et on pose une condition limite en z=0 tel que Zx soit une gaussienne. Les résultats montrent que contrairement à lapproximation paraxiale scalaire pour une polarisation linéaire en x les composantes Ey et Ez ne sont pas nulles 2.a. Résultat exact vectoriel

7 2.b. Mise en évidence du paradoxe 1/2 Equation de propagation de E : (a) Avec Or pour trouver cette solution on a supposé divE=0 et en général on suppose que Ex dépend de x,y,z =>divE0 Mise en évidence du second paradoxe :

8 2.b. Mise en évidence du paradoxe 2/2 On obtient léquation dHelmohtz pour ψ à partir de (a): Approximation paraxiale : Maintenant nous allons voir comment faire pour éviter les 2 approximations qui ont été faites : divE et

9 2.c. Correction vectorielle de lapproximation 1/3 On suppose un champ se propageant selon z : Daprès Maxwell on a : Si maintenant on calcule les termes réels de cette équation.

10 2.c. Correction vectorielle de lapproximation 2/3 On effectue les changements de variables habituels, on obtient ensuite des équations pour le mode transverse (ξ,η) et longitudinal (ζ) en fonction de F ζ et. Si on décompose en série de s, F ζ et

11 2.c. Correction vectorielle de lapproximation 3/3 Les équations finales permettent de résoudre le paradoxe pour les 2 premiers ordres => E nest que transverse. Pour les ordres supérieurs, une petite composante longitudinal apparaît. Il existe une procédure pour calculer les ordres supérieurs de la correction.

12 2.d. Comparaisons des différentes approximations : : PSA : Approximation paraxiale Scalaire PVA: Approximation paraxiale Vectorielle

13 à: 2.d PSA : Approximation paraxiale Scalaire PVA: Approximation paraxiale Vectorielle

14 Pour les approximations sont acceptables Pour les approximations sont imprécises On est dans le cas lorsquon focalise un faisceau gaussien avec une lentille de très forte convergence, pour lutilisation des lasers semis conducteurs pour lesquels le waist est comparable à la longueur donde 2.d Conclusions

15 3.a Cas de la polarisation croisée I. Modèle 2D connu Polarisations et incidence de Brewster –Faisceau incident polarisé P linéairement –P: il y a un champ électrique dans le plan dincidence –Angle de Brewster –Coefficient de réflexion:

16 3.a Cas de la polarisation croisée II. Modèle 3D Faisceau incident polarisé linéairement et très fortement focalisé On est dans le cas Le faisceau comporte des composantes en x,y et z

17 Les calculs et lexpérience montrent que si on se place à incidence de Brewster avec un faisceau Gaussien « exact » polarisé P, il existe alors un faisceau réfléchit polarisé P et S Preuve que le faisceau incident nest pas polarisé strictement linéairement Dans le cas TEM 01 TEM 10 3.a Cas de la polarisation croisée II. Modèle 3D

18 3.a Modèle 3D Polarisation radiale Le rayon réfléchit obtenu est la composition dune onde TEM 10 et TEM 01 dénergies différentes Permet des focalisations en un point plus net quavec dautres polarisations


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