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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modélisation.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modélisation affine

2 La modélisation affine consiste à déterminer léquation dune droite pour décrire le lien entre deux variables. Introduction On peut construire un modèle affine local, valide sur un petit intervalle, lorsquon connaît le taux de variation moyen et un couple de données. La démarche consiste à trouver léquation dune droite dont la pente est le taux de variation moyen sur lintervalle. On peut également construire par régression un modèle affine prenant en considération lensemble des données expérimentales. Cest un modèle affine global. À laide du modèle, on peut calculer des correspondances qui sont des approximations de la valeur réelle dans cet intervalle.

3 Modèle affine local Déterminer un modèle affine local signifie que lon fait lhypothèse quen prenant des mesures additionnelles dans lintervalle entre deux données expérimentales, les points obtenus seraient alignés. ( x 1 ; y 1 ) ( x 2 ; y 2 ) = y 2 – y 1 x 2 – x 1 y – y 1 x – x 1 = a ( x; y) Un point variable (x; y) est sur la même droite que les points connus si et seulement si le taux de variation est constant. Cela donne : On considère donc que le taux de variation est constant dans lintervalle. Le modèle affine est alors léquation du segment de droite joignant les deux points aux extrémités de lintervalle. On peut alors avoir à trouver léquation du segment de droite dont deux couples sont connus ou dont un couple et le taux de variation (pente de la droite) est connu.

4 Exemple On a réalisé une expérience pour étudier la variation de la vitesse déjection dun fluide par un orifice dans un réservoir. On a utilisé un réservoir de 12 m de hauteur, rempli deau et on a aménagé un petit orifice dans la paroi à la base du réservoir. Lexpérience consistait à mesurer la vitesse déjection du liquide et à dresser un tableau de ces vitesses selon la différence h entre le niveau du liquide et celui de lorifice. On a recueilli les données suivantes : h (m) v (m/s)14,0112,5310,858,866,260,00 À laide des données du tableau, estimer la vitesse déjection lorsque le niveau de la colonne de liquide est à 9 m au-dessus de lorifice.

5 S Exemple À 8 m la vitesse est de 12,53 m/s et à 10 m elle est de 14,01 m/s. Pour estimer la vitesse déjection à une profondeur de 9 m, nous allons faire lhypothèse que la variation est affine dans lintervalle de 10 m à 8 m de profondeur. Il nous faut donc calculer le taux de variation moyen sur cet intervalle, ce qui donne : h (m) v (m/s)14,0112,5310,858,866,260,00 À laide des données du tableau, estimer la vitesse déjection lorsque le niveau de la colonne de liquide est à 9 m au-dessus de lorifice. Pour une hauteur de 9 m, on aurait :

6 S Exemple On peut se poser la question suivante : Le taux de variation est-il constant durant toute lexpérience? En calculant le taux de variation sur lintervalle [4; 6], par exemple, on trouve : h (m) v (m/s)14,0112,5310,858,866,260,00 Le taux de variation nest donc pas constant. La représentation graphique devrait nous permettre de voir pourquoi le taux de variation nest pas constant. Le taux de variation nest pas constant parce que le phénomène à létude nest pas globalement descriptible par un modèle affine puisque les points ne sont pas alignés.

7 S Le taux de variation constant est une caractéristique du modèle affine. Dès que lon peut déterminer, dans une situation donnée, que le taux de variation est constant, on peut conclure que le phénomène est modélisable par une fonction affine. Voyons comment on peut tirer cette conclusion pour des données expérimentales à pas constant. Critère algébrique Supposons que des mesures expé- rimentales ont été prises pour des valeurs à intervalles réguliers de la variable indépendante. y p y y y ppp Si le phénomène est descriptible par un modèle affine. La représentation des couples aura laspect ci-contre. Cela permet dobtenir le critère algébrique suivant : ypyp = f(x + p) – f(x)f(x) p = a On remarquera quil est simple de faire appliquer ce critère en utilisant un tableur électronique comme Excel. y constant

8 S Considérons à nouveau les données obtenues en utilisant une résistance à différentes températures. Application du critère algébrique –20 – ,2 19,4 21,5 23,7 25,7 28,0 T (°C) R () RipRip – 0,22 0,21 0,22 0,20 0,23 R(T i ) – 0,216T i 21,52 21,56 21,50 21,54 21,38 21,52 Identification des variables Définition du lien entre les variables La variable indépendante est la température T (°C) et la variable dépendante est la résistance R (). En appliquant le critère algébrique, on constate que les rapports sont relativement constants. Le lien entre les variables est donc de la forme : R(T) = 0,216T + b, doù b = R(T) – 0,216T 0,21621,50Moyenne Définition du lien entre les variables R(T) = 0,216T + 21,50 Le modèle est donc : Calculer la résistance à 15°C. Utilisation du modèle On doit déterminer limage de 15°C. Cela donne : R(15) = 0, ,50 = 24,74 La résistance sera de 24,7. S À quelle température la résistance est-elle de 26 ? On doit déterminer la préimage de 26. Cela donne : 0, ,50 = 26 La résistance est de 26 à une température de 20,8 °C. 0,216 = 4,50 T = 20,83

9 Il nest pas simple expérimentalement dobtenir des données à pas constant. De plus, lorsquon obtient des données à partir dune expérience de laboratoire, dun sondage ou dune recherche, même si le phénomène peut être décrit par un modèle affine, il faut sattendre à ce quil y ait une différence entre les valeurs observées et les valeurs décrites par le modèle. Méthode Aucun modèle nest une description exacte dun phénomène expérimental. Lorsquon étudie la relation entre les variables dun phénomène pour lequel on dispose de données empiriques, la représentation graphique se révèle un moyen efficace pour déceler si le phénomène est descriptible par un modèle affine car, visuellement, il est facile de détecter si le nuage de points suggère une droite.

10 Méthode des moindres carrés Cette méthode consiste à calculer : Les paramètres a et b de la droite cherchée sont alors obtenus en solutionnant le système déquations :, la moyenne des valeurs de la variable indépendante; x, la moyenne des carrés des valeurs de la variable indépendante; x2x2, la moyenne des valeurs de la variable dépendante; y, la moyenne des produits des valeurs des deux variables.xy y = ax + b xy = ax 2 + bx En pratique, on détermine les valeurs moyennes dans un tableau en utilisant de préférence un tableur électronique.

11 Méthode des moindres carrés En pratique, on détermine les valeurs moyennes dans un tableau en utilisant de préférence un tableur électronique. Et en résolvant les équations : y = ax + b xy = ax 2 + bx on obtient les expressions suivantes : a =a = n x i y i – ( x i )( y i ) n x i 2 – ( x i ) 2 b =b = y i – a x i n Il nest pas pertinent pour le moment de démontrer ces résultats, nous les utiliserons directement. En posant :

12 S Exemple Le tableau ci-contre donne la solubilité du bromure de potassium dans leau en fonction de la température de leau. La température T est donnée en degrés centigrades et la concentration c est donnée en grammes de soluté par cent grammes deau. Établir le lien entre les variables Représentons dabord graphiquement les données. Le représentation graphique permet de faire lhypothèse que le lien est affine. Nous utiliserons la méthode des moindres carrés ,9 57,8 63,7 69,2 74,0 78,7 83,8 88,6 T i cici

13 S Exemple En complétant le tableau pour déterminer les paramètres, on obtient : S ,9 57,8 63,7 69,2 74,0 78,7 83,8 88,6 T i cici T i c i T i ,7 En substituant dans les expressions définissant les paramètres, on obtient : a =a = n x i y i – ( x i )( y i ) n x i 2 – ( x i ) 2 b =b = y i – a x i n a = – , – b = 8 = 0, – 8 = 52, Le modèle affine est alors : c(T) = 0,520T + 52,77

14 Mesures de la précision du modèle On peut mesurer la précision du modèle obtenu en calculant pour chaque valeur de la variable indépendante la différence entre la valeur observée (c i ) et la valeur donnée par le modèle mathématique (c m ), ces différences sont appelées les résidus. La somme des carrés des résidus est la mesure de précision du modèle mathématique. Le coefficient de corrélation est également une mesure de la précision du modèle. Il est donné par : r =r = n x i y i – ( x i )( y i ) n x i 2 – ( x i ) 2 n y i 2 – ( y i ) 2 Cela peut sembler affolant à première vue, mais quatre de ces sommes sont déjà effectuées en dressant le tableau pour déterminer les paramètres a et b. Il ne reste quà calculer la somme des carrés des y i. S

15 ,9 57,8 63,7 69,2 74,0 78,7 83,8 88,6 T i cici Calcul des résidus 52,77 57,97 63,17 68,37 73,57 78,77 83,97 89,17 R c i – c m –0,87 –0,17 0,53 0,83 0,43 –0,07 –0,17 –0,57 Effectuons le calcul des résidus pour le modèle c(T) = 0,520T + 52,77 2,2992 Somme des carrés cmcm R2R2 0,7569 0,0289 0,2809 0,6889 0,1849 0,0049 0,0289 0,3249 Méthode des moindres carrés On constate que la somme des carrés des résidus est inférieure à celle des deux autres modèles. Cela signifie que ce modèle donne une bonne description du lien entre les variables. En fait, on peut démontrer que la méthode des moindres carrés donne toujours le modèle pour lequel la somme des carrés des résidus est minimale.

16 S Exemple Le constructeur dhabitations pour lequel vous travaillez a décidé dévaluer le coût de chauffage des maisons quil construit afin de se servir de ce renseignement dans sa publicité. Il a fait relever, pour des périodes de 24 heures, la consommation moyenne de mazout en fonction de la température extérieure. Les relevés ont été faits en fonction de la température moyenne durant ces 24 heures. Les données obtenues ont été compilées dans le tableau ci-contre : S –13 –8 – ,0 44,0 36,8 28,0 18,0 6,8 TQ –676,0 –352,0 –147,2 56,0 144,0 102,0 T2T TQ 0185,6–873,2542 Trouver, par la méthode des moindres carrés, le modèle affine décrivant la relation entre la température et la quantité de mazout consommée. a =a = n T i Q i – ( T i )( Q i ) n T i 2 – ( T i ) 2 b =b = Q i – a T i n a = 6 (–873,2) – 0 185, – 0202 b = 6 = –1,611 – (–1,611) 6 = 30,93 Le modèle affine est alors : Q(T) = –1,611T + 30,93 On peut alors calculer les paramètres : Température (°F) Mazout consommé (L) –12–8–44812 T Q

17 –13 –8 – ,0 44,0 36,8 28,0 18,0 6,8 TQ –676,0 –352,0 –147,2 56,0 144,0 102,0 T2T TQ 7148,48 S Calcul du coefficient de corrélation Considérons le tableau obtenu à lexemple précédent. r =r = n T i Q i – ( T i )( Q i ) n T i 2 – ( T i ) 2 n Q i 2 – ( Q i ) , , ,24 784,00 324,00 46,24 Q2Q2 Pour calculer le coefficient de corrélation, il nous manque la somme des carrés de la variable indépendante. Déterminons cette somme. Calculons le coefficient : r =r = 6 (–873,2) – 0 185,6 0 –873, ,58 – (185,6) – 0 2 = –0,9998

18 Interprétation du coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation linéaire r est un nombre compris entre –1 et 1 (–1 r 1). Lorsque r = 0 (corrélation nulle), le modèle affine nest pas du tout indiqué pour modéliser le phénomène. Lorsque r est proche de 1 ou de –1, le regroupement des points dans le voisinage de la droite est important. r > 0 corrélation positive r = 1 corrélation positive parfaite r < 0 corrélation négative r = –1 corrélation négative parfaite

19 Droite de tendance La droite de régression permet de construire des modèles simples qui sont utilisés pour analyser des situations ou pour décrire une tendance. On lappelle alors droite de tendance. On distingue deux cas dans lanalyse de tendance, selon que les valeurs estimées sont à lintérieur ou à lextérieur de lensemble des données observées. Lorsque les prévisions portent sur des valeurs à lintérieur de lintervalle des données, le processus est appelé interpolation. Généralement, les estimations provenant dune interpolation sont plutôt fiables. Lorsque les prévisions portent sur des valeurs à lextérieur de lensemble des données, le processus est appelé extrapolation. Il faut noter que la fiabilité est plus grande lorsquon fait des prédictions pour des valeurs proches de lensemble des données observées. Les prédictions portant sur des valeurs éloignées de cet intervalle donnent une estimation qui, sans être à rejeter, doit être considérée de façon plus critique.

20 Lors dune expérience de polarimétrie du sucrose, on a noté langle de rotation des solutions étalon dans une cellule de 2,00 dm. Les couples obtenus sont donnés dans la tableau ci- contre. La concentration c est en grammes par 100 mL et langle de rotation est en degrés. Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre la concentration et langle de rotation en utilisant la méthode des moindres carrés. S Exemple S a =a = n c i i – ( c i )( i ) n c i 2 – ( c i ) 2 b =b = i – a c i n a = ,05 – 60,5 80, ,25 – 60,5 2 b = 5 = 1, – 5 = 0, Le modèle affine est alors : (c) = 1,30c + 0,38 On peut calculer les paramètres : Concentration (g/100 mL) Angle de rotation (degrés) c ,25 – 60,5 2 Calculons le coefficient de corré- lation : r =r = n c i i – ( c i )( i ) n c i 2 – ( c i ) 2 n i 2 – ( i ) 2 r =r = = 0, ,05 – 60,5 80, ,3 – 80,4 2 On a une corrélation positive très forte. Le modèle affine est donc très approprié dans cette situation. SS Déterminons la préimage de 15,85 par ce modèle. (c) = 1,30c + 0,38 = 15,85 doù c = 11,9. La concentration qui donne un angle de rotation de 15,85° est de 11,9 g/100 ml. Conclusion i 2 27,04 125,44 259,21 441,00 723, ,30 20,88 89,6 192,2 336,0 551,45 ci2ci2 16,0 64,0 144,0 256,0 420,25 c i i 1191,05 900,25 60,580,4 4,0 8,0 12,0 16,0 20,5 ? 5,2 11,2 16,1 21,0 26,9 15,85 cici i

21 Conclusion On peut utiliser le modèle affine de diverses façons pour déterminer de linformation supplémentaire à partir de données expérimentales. On peut déterminer un modèle affine local et déterminer dautres correspondances par interpolation. Par le calcul des résidus et du coefficient de corrélation, on peut chiffrer la précision du modèle et lintensité du lien affine entre les variables. On peut représenter graphiquement les données et juger visuellement de la pertinence dun modèle affine global que lon obtient ensuite par régression.

22 Exercices Calcul différentiel, applications en sciences de la nature section 1.4, p. 29 et 34. Lecture Calcul différentiel, applications en sciences de la nature section 1.3, p.15 à 28.


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