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Concept de fonction ou modélisation fonctionnelle ? Quelques pistes de réflexion pour lenseignement secondaire et/ou universitaire Pierre Henrotay Pierre.

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Présentation au sujet: "Concept de fonction ou modélisation fonctionnelle ? Quelques pistes de réflexion pour lenseignement secondaire et/ou universitaire Pierre Henrotay Pierre."— Transcription de la présentation:

1 Concept de fonction ou modélisation fonctionnelle ? Quelques pistes de réflexion pour lenseignement secondaire et/ou universitaire Pierre Henrotay Pierre Job Maggy Schneider CDS, 9 décembre 2011

2 Plan de lexposé Le caractère unificateur du concept de fonction Le caractère unificateur du concept de fonction Deux faits divers qui illustrent des carences dans lenseignement Deux faits divers qui illustrent des carences dans lenseignement Une étude critique des transpositions didactiques habituelles Une étude critique des transpositions didactiques habituelles Approfondissement de lexemple de la désintégration radioactive Approfondissement de lexemple de la désintégration radioactive Des modèles qui donnent lieu à une étude plus théorique Des modèles qui donnent lieu à une étude plus théorique Conclusion Conclusion

3 Un concept unificateur De nombreux chercheurs (Artigue, Robert, …) soulignent le caractère unificateur et généralisateur du concept de fonction, associé à un nouveau formalisme De nombreux chercheurs (Artigue, Robert, …) soulignent le caractère unificateur et généralisateur du concept de fonction, associé à un nouveau formalisme Mais pensent ce caractère unificateur au niveau des fondements des mathématiques, le concept de fonction étant défini comme triplet particulier densembles et recouvrant aussi bien des transformations géométriques que les fonctions de lanalyse ou les opérateurs entre espaces fonctionnels Mais pensent ce caractère unificateur au niveau des fondements des mathématiques, le concept de fonction étant défini comme triplet particulier densembles et recouvrant aussi bien des transformations géométriques que les fonctions de lanalyse ou les opérateurs entre espaces fonctionnels

4 Un rôle unificateur au niveau de la modélisation déjà Le concept de fonction peut être vu comme concept unificateur au niveau des fondements des mathématiques, cest-à-dire dans une organisation déductive, mais aussi à un niveau plus « élémentaire », comme outil de modélisation et de catégorisation de phénomènes extra ou intra- mathématiques lexemple du calcul intégral

5 Des problèmes qui relèvent de la même catégorie fonctionnelle

6 Les fonctions sont des outils de classement des problèmes Pour Archimède, ces problèmes sont distincts même sils relèvent tous deux de la méthode dexhaustion Pour nous, cest le même problème : primitive dune fonction du second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure « Mais pour quon ait le droit de voir là un calcul intégral, il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géométriques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature de lintégrand sous-jacent. Au XVII e siècle, nous allons le voir, la recherche dune telle classification devient peu à peu lun des principaux soucis des géomètres » (Bourbaki)

7 Les fonctions sont des outils de classement des problèmes En amont dune définition générale du concept de fonction dans un projet de fondement : une classification algébrique de modèles fonctionnels paramétrés qui donnera prise aux techniques de dérivation et de primitivation… En amont dune définition générale du concept de fonction dans un projet de fondement : une classification algébrique de modèles fonctionnels paramétrés qui donnera prise aux techniques de dérivation et de primitivation… Possibilité dune initiation à un tel regard dès les premières années du secondaire : cf. lingénierie relative aux problèmes de suites de nombres figurés (Krysinska) Possibilité dune initiation à un tel regard dès les premières années du secondaire : cf. lingénierie relative aux problèmes de suites de nombres figurés (Krysinska)

8 La modélisation fonctionnelle comme parent pauvre de lenseignement Deux faits divers qui désignent un « manque à enseigner » : Question testée par la commission des outils dévaluation relative aux compétences terminales en mathématiques Question testée par la commission des outils dévaluation relative aux compétences terminales en mathématiques Question posée à lépreuve du baccalauréat français de 2003 Question posée à lépreuve du baccalauréat français de 2003

9 Question testée par la commission des outils dévaluation Un détecteur à scintillations est utilisé pour mesurer la radioactivité dun échantillon. Lactivité dun échantillon est évaluée par le nombre dimpulsions par minute que reçoit le détecteur; elle varie avec le temps et peut être décrite par un type de fonction que tu as étudié. On te demande de construire un graphique à partir des données du tableau, puis de déterminer une fonction qui modélise le phénomène et ensuite de discuter ladéquation de ton modèle aux données fournies. (Dans certaines versions, on fait référence au modèle exponentiel) Temps t (en jours) Activité A (impulsion/min)

10 Question testée par la commission des outils dévaluation Résultats négatifs des tests : Difficultés des élèves : à identifier un modèle adéquat, le cas échéant à identifier un modèle adéquat, le cas échéant à exploiter la régularité numérique du tableau à exploiter la régularité numérique du tableau à paramétriser le modèle ou à le faire convenablement à paramétriser le modèle ou à le faire convenablement à ajuster le modèle et exploiter le tableau pour juger de son adéquation à ajuster le modèle et exploiter le tableau pour juger de son adéquation

11 Question testée par la commission des outils dévaluation Interviews des élèves et des professeurs qui permettent de supposer un « manque à enseigner » que lanalyse de la transposition didactique standard permettra de confirmer : « Je ne savais pas comment mettre l'énoncé et le problème demandé en rapport avec la théorie et les exercices faits en classe ». (un élève) « Je ne savais pas comment mettre l'énoncé et le problème demandé en rapport avec la théorie et les exercices faits en classe ». (un élève) « Avant ce test, je n'avais jamais proposé ce type dexercices à mes élèves. Les résultats le prouvent... Il me faudra mieux préparer mes élèves à ce type d'exercices ». (un professeur) « Avant ce test, je n'avais jamais proposé ce type dexercices à mes élèves. Les résultats le prouvent... Il me faudra mieux préparer mes élèves à ce type d'exercices ». (un professeur)

12 Question proposée à lépreuve 2003 du baccalauréat français Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence. Dans ce (…) modèle, on note f(t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en millions d'individus). La fonction f est donc solution de l'équation différentielle : y ' = ay (où « a » est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales). Résoudre cette équation différentielle, sachant que f(0) = N 0 On note T le temps de doublement de la population bactérienne. Démontrer que, pour tout réel t positif : f(t) = N 0 2 t/T

13 Question proposée à lépreuve 2003 du baccalauréat français Polémique suscitée par cette question, jugée « en rupture » par rapport aux pratiques enseignantes : « [… le problème posé] na rien de standard. Dabord, il essaie de refléter certaines des intentions nouvelles des programmes, en se situant dans un contexte dévolution de population en biologie. (…) Ce qui a été fortement critiqué, cest la façon dont le problème a été inutilement compliqué, dès le début, par lintroduction de nombreux paramètres. Lusage des paramètres est au lycée très réduit et les élèves ne sont pas habitués à effectuer des calculs impliquant plusieurs paramètres ». (M. Artigue) On retrouve ici le même « manque à enseigner »

14 Une démarche à enseigner Dans les deux faits divers décrits, il sagit de choisir un modèle fonctionnel parmi dautres; choisir un modèle fonctionnel parmi dautres; le paramétrer convenablement; le paramétrer convenablement; ajuster les paramètres; ajuster les paramètres; soit à partir dun tableau ou dun graphique, soit à partir dune équation différentielle et de ses conditions spécifiques Traiter, si possible, des aspects proprement expérimentaux mentionnés par les « scientifiques » ou professeurs de sciences : hypothèses qui permettent la formulation de léquation différentielle; mise à lépreuve des paramètres comme constantes expérimentales

15 Exponentielles et Logarithmes Fonctions reines des Sciences Evidente omniprésence de ces fonctions, à côté des fonctions trigonométriques Dans les manuels de Math : une profusion dexemples dapplication Question légitime : Les élèves sortant de lenseignement secondaire maîtrisent-ils ces notions fondamentales ? Sont-ils formés à identifier ces familles de fonctions comme outils de modélisation ? 15

16 Que disent les programmes (CF) ? Compétences (extrait) Modéliser des problèmes de manière à les traiter au moyen des fonctions logarithmique et exponentielle Modéliser des problèmes de manière à les traiter au moyen des fonctions logarithmique et exponentielle Interpréter un graphique en le reliant au problème quil modélise Interpréter un graphique en le reliant au problème quil modélise Dégager les propriétés communes dune famille de fonctions Dégager les propriétés communes dune famille de fonctions Conseils méthodologiques (extrait) On traitera quelques applications, par exemple : problèmes démographiques, économiques ou scientifiques On traitera quelques applications, par exemple : problèmes démographiques, économiques ou scientifiques 16

17 Que disent les programmes (FESeC) ? Où va-t-on ? (extrait) Ces outils permettent de résoudre des problèmes scientifiques (radioactivité, pH, acoustique, médecine, biologie), sociaux (démographie, écologie), économiques (calcul d'annuités) Ces outils permettent de résoudre des problèmes scientifiques (radioactivité, pH, acoustique, médecine, biologie), sociaux (démographie, écologie), économiques (calcul d'annuités) Résoudre un problème Interpréter un graphique en le reliant au problème quil modélise Interpréter un graphique en le reliant au problème quil modélise Résoudre un problème issu des mathématiques, des sciences, de léconomie, … au moyen des fonctions logarithmes et/ou exponentielles Résoudre un problème issu des mathématiques, des sciences, de léconomie, … au moyen des fonctions logarithmes et/ou exponentielles 17

18 Une transposition classique aujourdhui Séquence traditionnellement suivie (Math 4H et 6H) : Séquence traditionnellement suivie (Math 4H et 6H) : Fonctions réciproques Fonctions réciproques Exponentielle Exponentielle Logarithme Logarithme 18

19 Une transposition classique aujourdhui Exponentielle Exponentielle Rappels sur les puissances Rappels sur les puissances Proposition détendre aux exposants irrationnels Proposition détendre aux exposants irrationnels Détail des propriétés (acceptées) Détail des propriétés (acceptées) Etude de « la » fonction Etude de « la » fonction Etablissement de la dérivée Etablissement de la dérivée proportionnalité à « la » fonction proportionnalité à « la » fonction définition et existence du nombre dEuler définition et existence du nombre dEuler Logarithme Logarithme Définitions, propriétés, dérivée… via la fonction réciproque de lexponentielle Définitions, propriétés, dérivée… via la fonction réciproque de lexponentielle 19

20 Une transposition classique aujourdhui Equations et inéquations exponentielles et logarithmiques Equations et inéquations exponentielles et logarithmiques Etudes de fonctions Etudes de fonctions Applications Applications Désintégration radioactive Désintégration radioactive Acoustique Acoustique Sismologie Sismologie Intérêts composés Intérêts composés Graphiques lin/log et log/log Graphiques lin/log et log/log 20

21 Regards sur cette transposition Dans lintroduction : Actes de foi répétés demandés aux élèves Actes de foi répétés demandés aux élèves Nécessité du prolongement continu, propriétés Nécessité du prolongement continu, propriétés Tentatives dappel à lintuition Tentatives dappel à lintuition essais de légitimation pas toujours évidents essais de légitimation pas toujours évidents recours à des SA et SG mais omniprésence des rationnels recours à des SA et SG mais omniprésence des rationnels Difficulté des élèves à Difficulté des élèves à Y voir plus quun produit Y voir plus quun produit Distinguer des puissances (dérivée en ) Distinguer des puissances (dérivée en ) Franchir lobstacle : puissances négatives et fractionnaires Franchir lobstacle : puissances négatives et fractionnaires Travailler la notion de réciproque Travailler la notion de réciproque 21

22 Regards sur cette transposition Malaise vis-à-vis du mot « fonction » Malaise vis-à-vis du mot « fonction » Peu de réflexion sur « famille » Peu de réflexion sur « famille » Or des possibilités sont offertes Or des possibilités sont offertes Equations et inéquations : strict aspect calculatoire ? Equations et inéquations : strict aspect calculatoire ? Etude de fonction plutôt que de classes paramétrées Etude de fonction plutôt que de classes paramétrées Longue énumération dapplications Longue énumération dapplications Quel intérêt réel, puisque peu ou pas travaillé ? Quel intérêt réel, puisque peu ou pas travaillé ? Parfois artificiel (intérêts composés) ou anecdotique (origine du jeu déchec) – ici les SG suffisent Parfois artificiel (intérêts composés) ou anecdotique (origine du jeu déchec) – ici les SG suffisent Accepté, pas ou peu modélisé Accepté, pas ou peu modélisé 22

23 Elèves compétents ou pas ? Des résultats négatifs Krysinska (2007) – Hypothèse On a les indices dune absence denseignement relatif à la modélisation fonctionnelle et dun rapport institutionnel adéquat aux signes qui permettent de loutiller : graphiques, tableaux et formules paramétrées On a les indices dune absence denseignement relatif à la modélisation fonctionnelle et dun rapport institutionnel adéquat aux signes qui permettent de loutiller : graphiques, tableaux et formules paramétrées Cest le prix payé par limportance attachée à létude de fonction, qui ne rend pas apte à modéliser Cest le prix payé par limportance attachée à létude de fonction, qui ne rend pas apte à modéliser 23

24 Des applications scientifiques à profusion 24 Une bien longue liste… pour se donner bonne conscience ?

25 Regards sur une application couramment proposée Application couramment choisie comme illustration des exponentielles : la désintégration radioactive Application couramment choisie comme illustration des exponentielles : la désintégration radioactive Inévitablement suivie dexercices sur la datation par le 14 C Inévitablement suivie dexercices sur la datation par le 14 C Extrait choisi : Extrait choisi : « La loi de Rutherford et Soddy décrit la désintégration des éléments radioactifs au cours du temps : Cette loi est déduite de lhypothèse que le nombre datomes diminue en fonction du temps, proportionnellement au nombre datomes et à lintervalle de temps » … Réécriture rapide en : 25

26 Regards sur une application couramment proposée Peu de précautions prises : N est a priori un entier, t un intervalle fini N est a priori un entier, t un intervalle fini Le nombre de noyaux qui se désintègrent nest pas observable directement (on ne connaît dailleurs pas la quantité initiale) Le nombre de noyaux qui se désintègrent nest pas observable directement (on ne connaît dailleurs pas la quantité initiale) Il sagit dun phénomène aléatoire (Von Schneidler 1905, Congrès de Liège pour la radiologie) Il sagit dun phénomène aléatoire (Von Schneidler 1905, Congrès de Liège pour la radiologie) on suppose la probabilité de désintégration constante avec le temps et identique pour tous les noyaux, présents en grand nombre on suppose la probabilité de désintégration constante avec le temps et identique pour tous les noyaux, présents en grand nombre la rencontre des lois binomiale et de Poisson est en général pour bien plus tard la rencontre des lois binomiale et de Poisson est en général pour bien plus tard 26

27 Regards sur une application couramment proposée Le contexte expérimental et historique est éclipsé Le contexte expérimental et historique est éclipsé 1903 Rutherford et Soddy « Radioactive Change » Lactivité (à lépoque, le nombre de particules émises/s) diminue avec le temps de façon prévisible Lactivité (à lépoque, le nombre de particules émises/s) diminue avec le temps de façon prévisible lobservation expérimentale est une mesure de la variation dun taux sur un intervalle de temps lobservation expérimentale est une mesure de la variation dun taux sur un intervalle de temps Le résultat : le taux de désintégration relatif est constant dans le temps; donc en réalité : on relie des accroissements à des accroissement s Le résultat : le taux de désintégration relatif est constant dans le temps; donc en réalité : on relie des accroissements à des accroissement s Rutherford &Soddy : Rutherford &Soddy : Cest un phénomène complexe car on a affaire à plusieurs chaînes (familles) radioactives Cest un phénomène complexe car on a affaire à plusieurs chaînes (familles) radioactives 27

28 Regards sur une application couramment proposée La datation au 14 C est également présentée sans précautions particulières, or : Elle repose sur un « principe dactualisme » : le rapport 14 C/ 12 C est supposé constant Elle repose sur un « principe dactualisme » : le rapport 14 C/ 12 C est supposé constant Elle suppose quà la mort, il ny a plus dapport en 14 C Elle suppose quà la mort, il ny a plus dapport en 14 C Elle est imprécise au-delà de plusieurs périodes, vu les petites quantités concernées Elle est imprécise au-delà de plusieurs périodes, vu les petites quantités concernées Elle ignore certaines variabilités dans la production du 14 C Elle ignore certaines variabilités dans la production du 14 C 28

29 Regards sur une application couramment proposée Dans un article de 2006 (repères n° 65, IREM), sur « la mise en avant de la coopération exemplaire entre mathématiciens et physiciens qui a donné lieu à lintroduction de lexponentielle en mathématiques à partir de létude de la radioactivité en physique », Ferrier pose la question : « Y a-t-il eu un mathématicien dans la salle ?» Dans un article de 2006 (repères n° 65, IREM), sur « la mise en avant de la coopération exemplaire entre mathématiciens et physiciens qui a donné lieu à lintroduction de lexponentielle en mathématiques à partir de létude de la radioactivité en physique », Ferrier pose la question : « Y a-t-il eu un mathématicien dans la salle ?» On peut également adjoindre la question réciproque : « Y a-t-il eu un physicien dans la salle ? » On peut également adjoindre la question réciproque : « Y a-t-il eu un physicien dans la salle ? » Il y a un danger à proposer, dans un souci louable dinterdisciplinarité, des exemples certes fondamentaux mais abordés superficiellement ou de façon réductrice Il y a un danger à proposer, dans un souci louable dinterdisciplinarité, des exemples certes fondamentaux mais abordés superficiellement ou de façon réductrice 29

30 Regards sur une application couramment proposée Désintégration: 2 importantes hypothèses sous-jacentes Désintégration: 2 importantes hypothèses sous-jacentes Invariance dans le temps Invariance dans le temps Le nombre de noyaux N(t1+t2) restant au bout du temps t1+t2 est égal à celui restant après t2 à partir dun stock N(t1) Proportionnalité au stock initial Proportionnalité au stock initial Si on double la quantité de matière, on double le nombre de désintégrations On en déduit la relation fonctionnelle : On en déduit la relation fonctionnelle :N(t1+t2)/N(t2)=N(t1)/N(0) Quid dune approche basée sur Quid dune approche basée sur les équations fonctionnelles ? les équations fonctionnelles ? 30

31 Equations fonctionnelles et probabilités Une relation qui peut être revisitée par les probabilités Une relation qui peut être revisitée par les probabilités F(t) = probabilité pour quun noyau se désintègre entre les instants 0 et t F(t) = probabilité pour quun noyau se désintègre entre les instants 0 et t Ne pas vieillir : la probabilité qua un noyau non désintégré à linstant t de se désintégrer dans les s unités de temps suivantes ne dépend que de s Ne pas vieillir : la probabilité qua un noyau non désintégré à linstant t de se désintégrer dans les s unités de temps suivantes ne dépend que de s Probabilité de se désintégrer entre t et t + s = probabilité de ne pas se désintégrer entre 0 et t multipliée par la probabilité conditionnelle de se désintégrer entre t et t + s sachant que le noyau existe encore à linstant t Probabilité de se désintégrer entre t et t + s = probabilité de ne pas se désintégrer entre 0 et t multipliée par la probabilité conditionnelle de se désintégrer entre t et t + s sachant que le noyau existe encore à linstant t Probabilité de ne pas être désintégré à linstant t : G(t + s) = G(t)G(s) avec G=1-F Probabilité de ne pas être désintégré à linstant t : G(t + s) = G(t)G(s) avec G=1-F 31

32 Extraire et étudier les modèles Dans une culture où il ny a pas de limites de croissance, la vitesse daccroissement du nombre de bactéries est proportionnelle à tout moment au nombre de bactéries existantes. Si lon constate que ce nombre double en 4 heures, que vaudra-t-il au bout de 8 heures ? Dans une culture où il ny a pas de limites de croissance, la vitesse daccroissement du nombre de bactéries est proportionnelle à tout moment au nombre de bactéries existantes. Si lon constate que ce nombre double en 4 heures, que vaudra-t-il au bout de 8 heures ? De cet énoncé « scolaire » et dautres analogues (radioactivité, refroidissement dun corps, … ) on fait apparaître un unique modèle : De cet énoncé « scolaire » et dautres analogues (radioactivité, refroidissement dun corps, … ) on fait apparaître un unique modèle : f (x) = k f(x) 32

33 Extraire et étudier les modèles Une exploration graphique : 33

34 Extraire et étudier les modèles Un modèle continu qui suppose des observations de lordre du discret. Par exemple, pour le nombre de bactéries, on observe des rapports constants sur de mêmes intervalles de temps : 34

35 Extraire et étudier les modèles La forme exponentielle, le lien avec lautre équation fonctionnelle et les conséquences dont : 35

36 Construction progressive dun circuit théorique

37 Conclusion Construire les fonctions exponentielles et logarithmiques comme solutions déquations fonctionnelles : pour quels élèves ou étudiants, pour quel niveau, pour quel type de cours ? Vaste sujet de débat 37


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