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1 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes ALGEBRE LINEAIRE.

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1 1 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes ALGEBRE LINEAIRE

2 2 Un peu de génétique… Une espèce autogame diploïde Auto-fécondation Aa Un gène bi-allélique Aa : Quelle est lévolution de la structure génétique de cette population ? AA (p k )aa (r k )Aa (q k ) 1/4 1/2 1/4 AAaaAAAaaa

3 3 Les équations

4 4 Objectif Trouver B E telle que On dit alors que f est diagonalisable

5 5 Vecteurs et valeurs propres Théorème f est diagonalisable ssi il existe une base de E formée de vecteurs propres.

6 6 Recherche des valeurs propres Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :

7 7 Retour à lexemple en génétique

8 8 Recherche des vecteurs propres V est la matrice des coordonnées du vecteur Théorème f est diagonalisable ssi pour chaque valeur propre i de multiplicité i, on a dim E = i.

9 9 Suite de lexemple

10 10 La diagonalisation Rq 1 : Les vecteurs propres forment une base. P est bien une matrice de passage Rq 2 : Lordre des valeurs propres dans D dépend de celui des vecteurs propres dans P.

11 11

12 12 Fin de lexemple

13 13 Chapitre 5 Produit scalaire et orthogonalité ALGEBRE LINEAIRE

14 14 Le produit scalaire canonique Lespace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n. Notation matricielle :

15 15 Norme

16 16 Orthogonalité La base canonique de lespace euclidien est une base orthonormale :

17 17 Projecteur orthogonal Le vecteur projeté de sur est le vecteur : est colinéaire à et lui est orthogonal.

18 18 Distance euclidienne

19 19 La semaine prochaine Vacances La semaine de la rentrée Rendre le DM (si ce nest pas déjà fait) Rendre le compte rendu de TD


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