Chapitre 4 Réduction des endomorphismes

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1 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes
ALGEBRE LINEAIRE Chapitre 4 Réduction des endomorphismes

2 Un peu de génétique… AA (pk) aa (rk) Aa (qk)  1/4 1/2 AA aa Aa
Une espèce autogame diploïde Auto-fécondation Un gène bi-allélique Aa : Quelle est l’évolution de la structure génétique de cette population ? AA (pk) aa (rk) Aa (qk)  1/4 1/2 AA aa Aa Une plante est dite autogame quand son propre pollen féconde ses propres ovules. Se dit d’une cellule qui possède 2n chromosomes, c'est à dire que chaque type de chromosome est en 2 exemplaires (= chromosomes homologues). Les chromosomes homologues portent les mêmes gènes mais pas forcément les mêmes allèles.

3 Les équations

4 Objectif  Trouver B’E telle que On dit alors que f est diagonalisable

5 Vecteurs et valeurs propres
Théorème f est diagonalisable ssi il existe une base de E formée de vecteurs propres.

6 Recherche des valeurs propres
Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :

7 Retour à l’exemple en génétique

8 Recherche des vecteurs propres
V est la matrice des coordonnées du vecteur Théorème f est diagonalisable ssi pour chaque valeur propre li de multiplicité ai , on a dim El = ai .

9 Suite de l’exemple

10 La diagonalisation Rq 1 : Les vecteurs propres forment une base. P est bien une matrice de passage Rq 2 : L’ordre des valeurs propres dans D dépend de celui des vecteurs propres dans P.

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12 Fin de l’exemple

13 Chapitre 5 Produit scalaire et orthogonalité
ALGEBRE LINEAIRE Chapitre 5 Produit scalaire et orthogonalité

14 Le produit scalaire canonique
L’espace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n. Notation matricielle :

15 Norme

16 Orthogonalité La base canonique de l’espace euclidien est une base orthonormale :

17 Projecteur orthogonal
Le vecteur projeté de sur est le vecteur :  est colinéaire à et lui est orthogonal.

18 Distance euclidienne

19 La semaine de la rentrée
La semaine prochaine Vacances La semaine de la rentrée  Rendre le DM (si ce n’est pas déjà fait)  Rendre le compte rendu de TD