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ELG3575 2. La série de Fourier trigonométrique et la transformée de Fourier.

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1 ELG La série de Fourier trigonométrique et la transformée de Fourier

2 Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe Supposons que le signal x(t) est un signal réel. C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. Le conjugué complexe du coefficient de Fourier X n * est donné par :

3 La série de Fourier trigonométrique Si le signal x(t) est réel, la partie réelle du coefficient X n est donnée par :

4 La série de Fourier trigonométrique 2 Donc la partie imaginaire du coefficient X n quand x(t) est réel est : Nous pouvons exprimer la série de Fourier exponentielle complexe comme :

5 La série de Fourier trigonométrique 3 Si x(t) est réel, X -n = X n *,

6 Exemple donc X 0 = 0, Re{X n } = 0 et Im{X n } = -2A/ n pour les valeurs impaires de n. Donc b n = 4A/ n pour les valeur impaires de n.

7 Exemple suite La sommation représente les N premières harmoniques de x(t).

8

9 Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique

10 Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est paire Supposons que x(t) est une fonction paire. C'est-à-dire que x(t) = x(-t). Remplaçons –t par u et dt par –du dans le premier intégral de lexpression

11 La série de Fourier trigonométrique dune fonction paire

12 Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est impaire Nous pouvons démontrer que si x(t) est une fonction impaire (x(t) = -x(-t)), a 0 et a n sont 0.

13 Composantes paire et impaire Si x(t) est réel et périodique,

14 Composantes paire et impaire

15 Exemple Pour le signal x(t) démontré ci-dessus, trouvez sa série de Fourier trigonométrique.

16 Solution La période de ce signal est T = 4, donc la fréquence fondamentale f o = ¼. La série de Fourier trigonométrique est donc :

17 Solution

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20 Introduction à la transformée de Fourier Prenons un signal périodique Alors Si, x(t) est apériodique, la « période » de x(t) est T où T et f 0 0. Donc 1/T devient df, nf o devient f et la sommation devient une intégrale.

21 La transformée de Fourier La fonction X(f) est la transformée de Fourier de x(t). X(f) décrit le contenu spectral de x(t). X(f) = F {x(t)} x(t) = F -1 {X(f)} =

22 Exemple Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = (t). Solution La transformée de x(t) est :

23 Exemple 2 Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = (t). Solution

24 Exemple 3 Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = (t). Solution

25 Les propriétés de la transformée de Fourier 1.Linéarité La transformée de Fourier est une fonction linéaire. C'est- à-dire que si X 1 (f) = F {x 1 (t)} et X 2 (f) = F {x 2 (t)}, pour x 3 (t) = ax 1 (t) + bx 2 (t), X 3 (f) = F {x 3 (t)}=aX 1 (f) + bX 2 (f). 2.Décalage temporel Supposons que la transformée de Fourier de x 1 (t) est X 1 (f). La transformée de Fourier de x 2 (t) = x 1 (t-t o ) est 3.Rééchelonnement temporel Si F {x(t)} = X(f), F {x(at)} = (1/|a|)X(f/a). 4.Dualité temps-fréquence Si F {x(t)} = X(f), F {X(t)} = x(-f).

26 Les propriétés de la transformée de Fourier 2 5.Décalage fréquentiel Si X(f) = F -1 {x(t)}, X(f-f o ) = F -1 {x(t) } 6.Convolution en temps Si z(t) = x(t)*y(t), Z(f) = X(f)Y(f). 7.Multiplication en temps Pour z(t) = x(t)y(t), sa transformée de Fourier Z(f) = X(f)*Y(f). 8.Dérivation temporelle F { } = 2 fX(f) 9.Intégration temporelle F

27 Les propriétés de la transformée de Fourier 3 10.Transformée du conjugué complexe F {x*(t)} = X*(-f)

28 Des exemples Trouvez la transformée de Fourier du signal x(t) = 2 (t-3) + 3 (2t). –Solution F { (t-3)} = 1×e -j6 f (propriété 2) F { (2t)} = (1/2)sinc(f/2) (propriété 3) F {2 (t-3) + 3 (2t)} = 2e -j6 f + (3/2)sinc(f/2) (propriété 1) On sait que (t) = (t)* (t). Trouvez F { (t)} –Solution F { (t)} = sinc(f) × sinc(f) = sinc 2 (f) (propriété 6)

29 Des exemples Trouvez F {cos(2 f o t)} et F {sin(2 f o t)} –Solution cos(2 f o t) = F {1}= (f) (propriété 4) F {1× } = (f-f o ) et F {1× } = (f+f o ) (propriété 5) Alors F {cos(2 f o t)} = (1/2) (f-f o ) +(1/2) (f+f o ) (propriété 1) Aussi on peut démontrer que F {sin(2 f o t)} = (1/2j) (f-f o ) - (1/2j) (f+f o )


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