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Cours 10 2.2 DÉRIVÉ ET LINÉARISATION. Au dernier cours, nous avons vu Taux de variation moyen Dérivée en un point.

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1 Cours DÉRIVÉ ET LINÉARISATION

2 Au dernier cours, nous avons vu Taux de variation moyen Dérivée en un point

3 Aujourdhui, nous allons voir Comment trouver une droite qui donne une bonne approximation dune fonction. La fonction dérivée La dérivée de

4 Supposons quon ait une fonction, f(x), qui modélise un phénomène. Supposons aussi que ce qui nous intéresse est de comprendre ce phénomène lorsque les valeurs de x sont près de a. Dans ce cas, on peut simplifier grandement les choses en trouvant une approximation de la fonction avec une droite.

5 Exemple: Trouver la droite donnant une bonne approximation de la fonction, près de La pente de cette droite est donnée par

6 On a que la pente de la droite est Reste à trouver lordonnée à lorigine de la droite. Il nous faudrait un point

7 En général la linéarisation de la fonction autour du point a comme penteet passe par le point Quon peut écrire plus simplement comme

8 Faites les exercices suivants Section 2.2 # 8

9 Exemple: Soit

10 On peut donc trouver une fonction qui donne la dérivée en nimporte quel point. On nomme cette fonction la fonction dérivée ou tout simplement la dérivée. Dans lexemple précédant, la fonction était et sa fonction dérivée était doù

11

12 Notations Soit une fonction On note la dérivée de cette fonction: Exemple:

13 Faites les exercices suivants Section 2.2 # 9 à 11

14 Un vrai zéro Trouvons la dérivée de fonction simple. Soit La dérivée dune fonction constante est 0.

15 Exemple: Trouver la dérivée de la fonction Objection votre honneur! Jinvoque le droit à la paresse!

16 Binôme Regardons les différentes puissances dun binôme.

17 Triangle de Pascal Blaise Pascale ( ) Yang Hui ( )

18 Comprendre pourquoi ça marche nécessiterait de comprendre la combinatoire.

19 Mais on va quand même essayer de comprendre; Cest-à-dire que le deuxième terme est

20 Prenons lexemple de Comment obtenir le terme en ? Dautant de façon que jai de choisir un a. Donc 5, car jai 5 termes.

21 Faites les exercices suivants Section 2.2 # 12

22 Exemple:

23 Théorème: Preuve: Tous les termes ont du «h» Avec ce quon a vu.

24 Exemple:

25 Remarque: Le dernier théorème reste vrai même si lexposant nest pas entier. Cest-à-dire Or, la preuve est plus compliquée. Dans les exercices, vous allez démontrer

26 Exemple: Une minute!

27 Faites les exercices suivants Section 2.2 # 13

28 Aujourdhui, nous avons vu Linéarisation Fonction dérivée La dérivé de

29 Devoir: Section 2.2


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