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INTRODUCTION Comment structurer la Mécanique des Milieux continus ? géometrie groupe de transformations classe de tenseurs famille de connexions (symboles.

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2 INTRODUCTION Comment structurer la Mécanique des Milieux continus ? géometrie groupe de transformations classe de tenseurs famille de connexions (symboles de Christoffel) groupe affine groupe de Galilée (Mécanique classique) groupe de Poincaré (Relativité Générale) LA MECANIQUE AFFINE

3 GENERALISATION DU CONCEPT DE TENSEUR Les tenseurs sont des objets dont les composantes sont modifiées par une représentation linéaire dun groupe donné de transformations Les tenseurs sont des objets dont les composantes sont modifiées par une représentation linéaire dun groupe donné de transformations groupe orthogonal groupe affine groupe de transformationclasse de tenseur groupe linéaire tenseurs vectoriels tenseurs Euclidiens tenseurs affines

4 TENSEURS AFFINES point fonction affine vecteur TENSEURS VECTORIELS torseur covecteur (forme linéaire)

5 composantes affines de base de lespace vectoriel TORSEUR A VALEUR VECTORIELLE espace vectoriel des fonctions affines espace vectoriel cible convention:

6 GROUPE DE GALILEE translation spatiale rotation changement dhorloge Boost galiléen laisse invariant : le M.R.U. les durées les distances et les angles les volumes

7 TORSEUR DUN ARC T = vecteur des efforts normal et tranchants M =vecteur des moments fléchissants et de torsion translation spatiale: loi de transport : LOI DE TRANSPORT DU MOMENT matrice de produit vectoriel:

8 TORSEUR DUNE PARTICULE MATERIELLE espace temps événement masse spin moment cinétique quantité de mouvement quantité de position boost masse

9 M MILIEUX CONTINUS DE DIMENSION ARBITRAIRE variété sous-variété f CHAMP DE TORSEUR

10 CONNEXION AFFINE affine transformation Galilean transformation connexion galiléenne gravitéeffets de Coriolis connexion affine

11 DIVERGENCE COVARIANTE AFFINE application tangente Divergence covariante affine dun torseur la divergence covariante affine du champ de torseur est nulle principe général POINT DE VUE MECANIQUE milieu continu de dimension arbitraire p son comportement est décrit par un champ de torseur convention: connexion affine

12 Déclinons le principe général… Dynamique des points matériels Statique des poutres et arcs Dynamique des milieux 3D Dynamique des coques

13 PLUS A PROPOS DES PARTICULES MATERIELLES... espace temps principe général événement conservation de la masse loi de Newton théorème du moment cinétique

14 Déclinons le principe général… Dynamique des points matériels Statique des poutres et arcs

15 PLUS A PROPOS DES ARCS... Pas de forces distribuées (seulement des forces concentrées) EQUILIBRE STATIQUE = vecteur tangent U principle général équilibre des forces équilibre des moments T = vecteur des efforts normal et tranchants M =vecteur des moments fléchissants et de torsion

16 Déclinons le principe général… Dynamique des points matériels Statique des poutres et arcs Dynamique des milieux 3D

17 DYNAMIQUE DES CORPS 3D mêmes coordonnées sur et convention: densité contraintes principales densité contraintes dynamiques quantité de mouvement boost

18 la divergence affine du champ de torseur est nulle principe général conservation De la masse conservation de la quantité de mouvement dérivée particulaire Équations dEuler DYNAMIQUE DES CORPS 3D

19 Déclinons le principe général… Dynamique des points matériels Statique des poutres et arcs Dynamique des milieux 3D Dynamique des coques

20 VARIABLES DE COQUES idéalisation dun corps mince et lisse corps 3D densité de masse contraintes de cisaillement transversales quantité de mouvement contraintes dans le plan translation intégration sur lépaisseur w shell densité surfacique de masse efforts tranchants efforts de membrane efforts cinétiques moments fléchissants et de torsion moment cinétique

21 DYNAMIQUE DES COQUES a = 1 ère b = 2 ème formes fondamentales principle général relations de symétrie nouveaux Christoffel la divergence affine du champ de torseur est nulle dans le plan tangent hors du plan temps efforts cinétiques

22 CONCLUSIONS J.-M. SouriauC. Vallée É. Cartan (1923) La Mécanique affine La structure de la mécanique est révélée par létude dun objet unique le torseur, qui peut se décliner de différentes manières.


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