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Comportement du solides déformable Résistance des matériaux (RDM) AGIR Chaîne dinformation Chaîne dénergie ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER ALIMENTER DISTRIBUER.

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1 Comportement du solides déformable Résistance des matériaux (RDM) AGIR Chaîne dinformation Chaîne dénergie ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE Suite

2 I But de la RDM La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de transmission, bâtiments, fusées). Cela permet donc de : Suite Déterminer les dimensions fonctionnelles de la pièce Choisir le matériau constituant la pièce Vérifier la résistance à la "casse" de la pièce : (Dépassement de la limite à la résistance élastique du matériau) Vérifier la résistance à la "déformation" de la pièce Vérifier la résistance à la "fatigue" de la pièce : (Rupture après un certain nombre de cycles de déformation) Optimiser le coût de la pièce par changement des formes, des dimensions, des matériaux,...

3 I But de la RDM Suite Contraintes subies par laile davion Déformations subies par laile davion

4 I But de la RDM Suite Vérification de la résistance dune aile davion

5 I But de la RDM Suite Répartition des contraintes dans la pièce sous charges

6 II Les hypothèses de la RDM Suite 1 La géométrie des pièces : Pour tous les calculs RDM, on utilise le modèle « Poutre » (solides dont une dimension est très supérieure aux deux autres). Si la pièce à étudier ne peut pas être modélisée par une poutre, on utilise le calcul par éléments finis qui ne peut-être que logiciel.

7 II Les hypothèses de la RDM Suite 2 Les matériaux étudiées: Ils doivent être : Isotropes : on admet que les matériaux ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions.. Elle n'est pas vérifiée pour les matériaux tels que le bois, les matériaux composites...etc. Homogènes : On admet que les matériaux ont les mêmes caractéristiques (composition) en tout point. Continus : pas de fissure, pas de creux...

8 3 Les charges appliquées: Les charges sont contenues dans le plan de symétrie Plan de symétrie Elles sont concentrées ou réparties Suite II Les hypothèses de la RDM

9 4 Les déformations : - Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne). - Les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de la poutre Suite

10 III Torseur de cohésion 1 Principe de calcul: Suite

11 III Torseur de cohésion Suite

12 III Torseur de cohésion Deux conventions décriture sont possibles. Conventions 1 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (2) sur la partie (1) ; Conventions 2 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (1) sur la partie (2). Suite

13 III Torseur de cohésion Suite

14 III Torseur de cohésion Equilibre du tronçon (1). Suite

15 III Torseur de cohésion Définition 1 : Le torseur de cohésion au centre de surface G dune surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à gauche de la section droite, somme précédée du signe -. Equilibre du tronçon (1). Suite

16 III Torseur de cohésion Equilibre du tronçon (2). Suite

17 III Torseur de cohésion Equilibre du tronçon (2). Suite Définition 2 : Le torseur de cohésion au centre de surface G dune surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à droite de la section droite, somme précédée du signe +.

18 III Torseur de cohésion Suite 2 Exemple de calcul: Détermination du torseur de cohésion : On décompose la poutre en deux zones : [AC] et [CB]. Zone [AC] : a = 1,2m N ous allons déterminer le torseur de cohésion au centre de surface G1 dune section de poutre située entre A et C, repérée par labscisse x. Le torseur de cohésion au point G1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à gauche de la coupure, somme précédée du signe « - »

19 III Torseur de cohésion Suite 2 Exemple de calcul: Zone [AC] : a = 1,2m

20 III Torseur de cohésion Suite 2 Exemple de calcul: Zone [CB] : b = 3 m Pour la détermination de ce torseur de cohésion, il est préférable dutiliser la définition 2

21 III Torseur de cohésion Suite 3 Composantes du torseur de cohésion N : effort normalMt : moment (ou couple) de torsion Ty : Effort tranchant suivant yMfy : moment fléchissant ou moment de flexion suivant y Tz : Effort tranchant suivant zMfz : moment fléchissant ou moment de flexion suivant z

22 III Les différentes sollicitations simples Suite Une poutre peut être soumise à plusieurs sollicitations qui dépendent de la nature et de la direction des actions mécaniques.

23 III Les différentes sollicitations simples Suite x y Traction Exemples: Tirant Biellette Courroie N N NN N>0

24 III Les différentes sollicitations simples Suite Compression Exemples: Tirant Biellette Ressort x y NN N<0 N N

25 III Les différentes sollicitations simples Suite Cisaillement Exemples: Axe Clavette Goupille Rivet x y T T T T/2

26 III Les différentes sollicitations simples Suite Torsion Exemples: Arbre de transmission Tuyauterie x y Mt

27 III Les différentes sollicitations simples Suite Flexion Exemples: Arbre Axe Plongeoir Aile davion x y T T d

28 IV Traction Suite 1 Essai de Traction: Lessai de traction est une expérimentation qui a pour objet la détermination des caractéristiques de résistance du matériau testé.

29 IV Traction Suite On applique progressivement et lentement à une éprouvette, de formes et de dimensions normalisées, un effort de traction croissant dont lintensité varie de 0 à F jusquà la rupture.. Le tableau ci-contre montre lévolution de la déformation de léprouvette en fonction de la charge appliquée

30 IV Traction Suite 2 Résultats de lessai Allongement en mm F(N) Zone de déformation élastique Zone de déformation plastique Point de rupture F Fe Charge limite élastique e r F Fr : Charge limite à la rupture Graphe de lallongement en fonction de la charge appliquée

31 IV Traction Suite Résistance élastique Re avec R e en MPa, F e en N, S o section de la pièce en mm 2 avec R r en MPa, F r en N, S o section de la pièce en mm 2. Résistance à la rupture Rr

32 IV Traction Suite Coefficient dallongement A% avec Lu longueur ultime après rupture, Lo longueur initiale. avec L allongement total de la poutre; Lo longueur dorigine; L allongement relatif suivant laxe Allongement relatif

33 IV Traction Suite Coefficient de Poisson Pour les matériaux élastiques, la diminution des sections droites est proportionnelle à lallongement relatif, ce coefficient est noté et appelé coefficient de Poisson. Ce coefficient caractérise la déformation transversale. en notant on obtient

34 V Contrainte Suite 1 Définition du vecteur contrainte : Une coupure est effectuée au niveau de la surface (le plan de coupe peut ne pas être perpendiculaire à la ligne moyenne). Considérons un point M de cette surface et d un élément de section droite aussi petit que possible entourant le point M. Soit leffort élémentaire transmis par d exercé par la matière de la partie droite sur la partie gauche de la poutre. On appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale le vecteur : Unités : en MPa ou N/mm 2. La contrainte est homogène à une pression.

35 V Contrainte Suite 2 Contrainte normale et contrainte tangentielle : Soit le repère local affecté à la coupure suivant la section droite de normale. Projetons le vecteur contrainte Cm dans le repère (G x y z) : : Contrainte normale (projection du vecteur contrainte sur la normale à la coupure). : Contrainte tangentielle (projection du vecteur contrainte dans le plan YZ).

36 V Contrainte Suite 3 Contrainte en traction: Lorsquune poutre est sollicitée en traction la contrainte tangentielle est nulle et la contrainte normale vaux : Lexpérience montre quil y a proportionnalité dans la zone élastique entre la contrainte et lallongement relatif. Loi de Hooke : avec en N/mm²(MPa), F en N, S en mm². avec E module de Young en N/mm². (aciers E = Mpa)

37 V Contrainte Suite 4 Condition de résistance Pendant toute la durée de son service, une pièce doit conserver un comportement élastique. Cette condition s'exprime par l'inégalité suivante : Les problèmes d'incertitude sur la valeur de Re, de la contrainte, de la modélisation de l'étude…, nous amènent donc à exprimer la condition de résistance par : avec Re: résistance limite élastique en MPa s: coefficient de sécurité (s>1) Rpe: résistance pratique de limite élastique en Mpa

38 V Contrainte Suite 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt La plupart des pièces industrielles ne sont pas cylindriques, elles possèdent des singularités de formes (perçages, gorges, rainures, filetages…). On définit un coefficient de concentration de contrainte appelé Kt tel que : La contrainte maximale a pour valeur : Avec : = contrainte atteinte au voisinage de la singularité = contrainte moyenne nominale calculée

39 V Contrainte Suite 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt

40 V Contrainte Suite 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt Les valeurs de K t sont expérimentales. Exemple 1 : Pour un filetage triangulaire ISO : K t = 2.5 Exemple 2 : Arbre de section circulaire épaulé.

41 V Cisaillement Suite 1 Relation sollicitation - Contrainte T : effort tranchant en N S : surface de la section en m 2 La contrainte tangentielle engendrée est identique dans toute la section 2 Loi de comportement élastique G : module de Coulomb en Pa : glissement transversal relatif (sans unité)

42 V Torsion Suite 1 Relation sollicitation - Contrainte M t : moment de torsion en Nm I G : moment quadratique polaire de la section en m 4 : distance au centre de la section en m 2 Moment quadratique polaire Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport au point O est : I o = 2. S

43 V Torsion Suite Quelques expressions usuelles 3 Loi de comportement élastique G : module de Coulomb en Pa angle de torsion unitaire en rad/m I G : moment quadratique polaire de la section en m 4

44 V Flexion Suite 1 Relation sollicitation - Contrainte Mf z : moment de flexion en Nm I Gz : moment quadratique de la section par rapport à laxe (Gz) en m 4 y : distance par rapport à laxe (Gz) en m 2 Moment quadratique par rapport à un axe La contrainte normale engendrée est nulle le long de laxe (Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsquon sen éloigne.

45 V Flexion Fin Quelques expressions usuelles 3 Loi de comportement élastique Mf z : moment de flexion en Nm E : module de Young en Pa I Gz : moment quadratique par rapport à laxe z de la section en m 4 f : flèche (écart verticale par rapport à la position sans sollicitation) en m f : dérivée seconde de la flèche par rapport à labscisse x


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