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Chapitre 2 : Equilibre interne, éléments de réduction sur une poutre 2.1 Actions de liaison Une structure est souvent formée dun ensemble de sous- structures.

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1 Chapitre 2 : Equilibre interne, éléments de réduction sur une poutre 2.1 Actions de liaison Une structure est souvent formée dun ensemble de sous- structures assemblées entre elles par des liaisons. Ces liaisons assurent un blocage relatif de deux sous- structures (ou plus)

2 En 2D on distingue: La liaison articulée simple caractérisée par une rotation relative libre des deux extrémités de barres une translation relative nulle des deux extrémités de barres Dans le cas de deux barres leffort de liaison est réduit à une force ( deux composantes ou deux inconnues)

3 Attention à la représentation de cette force de liaison, elle napparaît que lorsque la structure est coupée R R α α ou RyRy RxRx RxRx RyRy Ne jamais représenter les deux solides liés avec les efforts

4 La liaison articulée multiple: plus de deux solides sont liés entre eux au niveau de cette articulation une rotation relative libre des extrémités de toutes les barres liées à larticulation une translation relative nulle des extrémités de toutes les barres liées à larticulation Dans ce cas les inconnues de liaison sont plus difficiles à calculer.

5 Prenons lexemple dune liaison articulée à 3 barres On peut la transformer en R 1y R 1x R 2y R 2x R 1x R 1y R 2x R 2y

6 R 3y R 3x R 1x R 1y R 2x R 2y Avec R 3y = R 1y + R 2y et R 3x = R 1x + R 2x Il y a 4 inconnues de liaisons avec 3 barres On peut ajouter R 1x et R 1y dune part et R 2x et R 2y si NB est le nombre de barres liées au niveau de larticulation le nombre dinconnues de liaison sera 2(NB - 1)

7 Si la liaison articulée est fixée sur un appui le nombre dinconnues de liaison se calcule ainsi: 2 inconnues4 inconnues 3 inconnues

8 on distingue ensuite : La liaison encastrement simple caractérisée par une rotation relative nulle des deux extrémités de barres une translation relative nulle des deux extrémités de barres Dans le cas de deux barres les efforts de liaison sont composés dune force (deux composantes) et dun couple soit 3 inconnues de liaison

9 Attention comme dans le cas précédent les efforts de liaison napparaissent que lorsque la structure est coupée ou R R α α M M RyRy RxRx RxRx RyRy M M Ne jamais représenter les deux solides liés avec les efforts

10 La liaison encastrée multiple: plus de deux solides sont liés entre eux au niveau de cette liaison une rotation relative nulle des extrémités de toutes les barres liées à larticulation une translation relative nulle des extrémités de toutes les barres liées à larticulation si NB est le nombre de barres liées au niveau de la liaison encastrée le nombre dinconnues de liaison sera 3(NB - 1)

11 Si la liaison encastrée est fixée sur un appui le nombre dinconnues de liaison se calcule ainsi: 3 inconnues6 inconnues 5 inconnues4 inconnues

12 2.2 Degré dhyperstaticité dun système Un système est hyperstatique lorsque le nombre déquations issues du principe fondamental de la statique est inférieur au nombre dinconnues de liaison Le degré dhyperstaticité correspond à la différence entre le nombre dinconnues de liaison et le nombre déquations, il est indépendant du chargement. Pour déterminer le degré dhyperstaticité dun système il faut : Compter le nombre de barres, soit n ce nombre En déduire le nombre déquations de la statique 3n (trois équations par barre pour un cas plan) Calculer le nombre dinconnues de liaison par la méthode indiquée en 2.1, soit i ce nombre

13 Si i < 3n le système est hypostatique, cest un mécanisme Si i = 3n le système est isostatique, les équations de la statique sont suffisantes pour calculer les inconnues de liaison. Ce sont les structures que nous étudierons cette année. Si i > 3n le système est hyperstatique, les équations de la statique ne sont plus suffisantes pour calculer les inconnues de liaison. Il faut écrire dautres équations pour résoudre le problème. Ce sont les structures que nous étudierons lannée prochaine Le degré dhyperstaticité vaut i – 3n

14 Voyons quelques exemples de détermination du degré dhyperstaticité sur des structures Nb dinconnues de liaison = 7 Nb déquations 3 * 2 = 6 Hyperstatique de degré Nb dinconnues de liaison = 8 Nb déquations 3 * 2 = 6 Hyperstatique de degré 2

15 3 3 3 Nb dinconnues de liaison = 9 Nb déquations 3 * 2 = 6 Hyperstatique de degré Nb dinconnues de liaison = 6 Nb déquations 3 * 2 = 6 Isostatique portique à trois articulations

16 2 2 3 Nb dinconnues de liaison = 9 Nb déquations 3 * 3 = 9 Isostatique Nb dinconnues de liaison = 12 Nb déquations 3 * 3 = 9 Hyperstatique de degré3 3

17 arbalétrier Nb dinconnues de liaison = 13 Nb déquations 3 * 4 = 12 Hyperstatique de degré 1 Portique simple articulé en pied

18 On peut aussi reprendre le problème en considérant que les 4 barres ne forment quun seul solide Nb dinconnues de liaison 2+2 = 4 Nb déquations 3 * 1 = 3 Hyperstatique de degré 1 2 2

19 Voici un autre type de portique Nb dinconnues de liaison si on considère un ensemble de 3 barres = 10 Nb déquations 3 * 3 = 9 Hyperstatique de degré Poteau en béton Portique en lamellé collé

20 On peut aussi prendre le problème différemment, en ne considérant que deux solides Nb dinconnues de liaison si on considère un ensemble de 2 solides = 7 Nb déquations 3 * 2 = 6 Hyperstatique de degré On retrouve le même résultat

21 2 6 Nb dinconnues de liaison = 28 Nb déquations 3 * 7 = 21 Hyperstatique de degré Nb dinconnues de liaison = 21 Nb déquations 3 * 7 = 21 Isostatique Treillis plan isostatique

22 Nb dinconnues de liaison = 15 Nb déquations 3 * 4 = 12 Hyperstatique de degré Si on fait une coupure complète dune barre on retrouve un système isostatique Nb dinconnues de liaison = 15 Nb déquations 3 * 5 = 15 Si on fait une coupure complète dune barre on libère trois degrés de liberté

23 2.3 Exemples de calculs dactions de liaison 2m 1m 3m 1m A B C D E 8kN/ml 12kN/ml Vérifier lisostaticité du système Calculer les actions de liaisons en A B C D et E

24 2.4 Eléments de réduction sur une poutre: Définition dune poutre Cest un élément dont une dimension est prépondérante par rapport aux deux autres. Cest pourquoi on peut la représenter par un simple trait Il faut que sa section ne varie pas brusquement, sinon problème de concentration de contrainte Il faut aussi que son rayon de courbure ne soit pas trop petit

25 Pour voir ce qui se passe dans une poutre, il faut la couper et remplacer la partie coupée par des efforts et des moments équivalents placés au point de coupure.

26 Le moment de toutes les « forces » à gauche de la coupure par rapport à la coupure sappelle le moment fléchissant M La projection sur laxe de la poutre de toutes les forces situées à gauche de la coupure sappelle leffort normal N La projection sur la perpendiculaire à laxe de la poutre de toutes les forces situées à gauche de la coupure sappelle leffort tranchant V N,V et M portent le nom déléments de réduction (vient de réduire un système de forces) ou de sollicitations.

27 Nous venons de donner les définition de N,V et M en conservant la partie droite et en coupant la partie gauche: on dira dans ce cas quon prend les efforts de gauche Mais daprès le principe daction réaction on peut faire le contraire, conserver la partie gauche et couper la partie droite : on dira dans ce cas quon prend les efforts de droite Attention au convention de signe qui sont opposées...

28 pas si opposé que cela, dans les deux cas un effort normal de compression sera positif

29 Et pour le moment fléchissant il suffira de retenir: moment fléchissant positif si la fibre inférieure est tendue Fibre tendue Pour leffort tranchant cest moins facile à retenir

30 On repère la position de la coupure par son abscisse sur la poutre par exemple x x Les valeurs de N, V et M, en ce point de coupure, sont donc des fonctions de x que lon représente par des courbes dans un repère dont laxe des abscisses est laxe de la poutre, laxe des ordonnées permet de tracer N(x), V(x) et M(x). x V(x), N(x) ou M(x)

31 Si la structure nest pas une simple droite le repère va suivre lallure de la ligne moyenne de la structure. Leffort normal et leffort tranchant sont tracés dans un repère direct, par contre les ingénieurs génie civil, surtout ceux qui font du béton armé, aiment bien représenter le moment fléchissant dans un repère indirect (axe des ordonnées dans lautre sens) Pourquoi?

32 La convention de signe du moment est moment positif = fibre inférieure tendue les armatures sont placées du côté de la fibre tendue, en bas de la poutre pour un moment positif, alors que la courbe est tracée au dessus de la ligne moyenne. Il est apparu plus judicieux de choisir une autre convention de représentation permettant de placer plus simplement les armatures M(x)

33 Tout le monde ne partage pas ce point de vue, dans beaucoup douvrages de rdm le moment fléchissant est tracé dans un repère direct. Ces choix de conventions sont plutôt des habitudes, si on combine toutes les possibilités de convention, même en se limitant au 2D, on trouve 8 conventions possibles: N> 0 en compression ou N >0 en traction V>0 vers le haut ou ou V>0 vers le bas pour les efforts de gauche M>0 pour fibre inférieure tendue ou M>0 pour fibre supérieure tendue Aucune na la suprématie sur les autres, il faut savoir jongler avec chacune, si on veut comprendre les ouvrages écrits. Préciser si besoin au début de la note de calcul la convention choisie. Pour éviter de répéter à chaque fois cette convention nous utiliserons celle utilisée par les ingénieurs BA. N> 0 en compression V>0 vers le haut pour les efforts de gauche M>0 pour fibre inférieure tendue, représenté dans un repère indirect


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