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A LA DÉCOUVERTE DES NOMBRES DE B ERNOULLI Par Cardoso Filipe, Hublet Magali, Petit Elise & Soares Francisco Dédra-math-isons, 22 avril 09 Collège Saint-MichelProfesseur.

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1 A LA DÉCOUVERTE DES NOMBRES DE B ERNOULLI Par Cardoso Filipe, Hublet Magali, Petit Elise & Soares Francisco Dédra-math-isons, 22 avril 09 Collège Saint-MichelProfesseur responsable : M. Bolly

2 Q UESTION DE DÉPART On peut montrer que :

3 Peut-on écrire Sous forme dun polynôme En clair, comment arriver à ces coefficients

4 S OMME DES N PREMIERS ENTIERS Posons légalité Si on remplace successivement X par 1, 2,…, n

5 … + __________________________________

6 S OMME DES N PREMIERS CARRÉS Par la même méthode, on arrive à :

7 S OMME DES N PREMIERS CUBES Pour On obtient :

8 T RIANGLE DE P ASCAL

9 B INOME DE NEWTON On veut généraliser le produit suivant : Pour ce faire, observons les résultats quand n vaut 1,2,3,…

10 Coefficients des termes = suite des nombres du triangle de Pascal

11

12 Suite de termes de type (n et p entiers naturels) : ET = terme ligne n colonne p

13 On arrive donc à :

14 Grâce à la méthode vue précédemment, on obtient :

15 En changeant légèrement le tableau, on a :

16 Première observation: (pour k 1 car un terme en k = 1) Donc, coefficient = Coefficient = ?

17 Liste des coefficients pour : En multipliant par 6, on obtient: 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36

18 On les retrouve dans le triangle de Pascal : k+1/ p

19 On peut écrire les coefficients sous la forme : On obtient donc, pour k 2 :

20 Le coefficient pour est nul pour tous les polynômes de la liste. Liste des coefficients de pour : En multipliant par 30, on obtient :

21 On obtient : Il existerait donc une suite de nombres particuliers :

22 Les sont appelés « Nombres de Faulhaber » On peut déjà généraliser : Comment calculer ?

23 En posant n = 1 dans la formule de Faulhaber, on a : On obtient alors : Grâce à cette relation fondamentale, on dispose dune série déquations que lon peut résoudre successivement.

24

25 Introduisons la série génératrice exponentielle des nombres de Faulhaber Dautre part,

26 La relation suivante peut donc être vérifiée : Euler introduit une autre série génératrice :

27 Coefficients = Nombres de Bernoulli Etablissons une relation entre les nombres de Bernoulli et ceux de Faulhaber. En comparant les coefficients de B(-x) et de F(x) :

28 Les premiers nombres de Bernoulli sont donc les suivants :

29 On peut donc généraliser la somme des n premières puissances dentiers à laide des nombres de Bernoulli. ( Rappelons que ) Nous sommes à présent capables de répondre à notre question défi initiale…

30

31 Donc :

32 On peut donc écrire ce polynôme de la manière suivante : Et nous sommes tous très contents !


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