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Quest-ce que le hasard ? Cest une bonne question … Dieu ne joue pas aux dés ! Tu paries ?

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1 Quest-ce que le hasard ? Cest une bonne question … Dieu ne joue pas aux dés ! Tu paries ?

2 Jouons ça à Pile ou Face… En réalité, la majorité des lancers se situe à peu près dans la zone : 35 w 40; et v est autour de 0,2. Et la pièce a plutôt tendance à atterrir dans la même position que celle où elle a été lancée. Cest ainsi dans sensiblement 50,5 % des cas (et non 50%). Sur un grand nombre de lancers, ce défaut déquilibre (appelé biais statistique) est sensible ! Vitesse de rotation w v / g Vitesse ascensionnelle / champ de pesanteur Noir : nombre pair de demi-tours Blanc : nombre impair de demi-tours

3 Le hasard, cest simple comme un coup de dés ? Que devient alors la probabilité de tomber sur un nombre donné ? … Dé équilibré : cube parfait Dé pipé : 4 des faces ont été rabotées La question est ouverte et non résolue à ce jour ! Dé Bizarre ! Quelle probabilité y a-t-il de tomber sur un triangle ? « Un coup de dés jamais nabolira le hasard » S. MALLARMÉ

4 Un jeu de cartes mélangé est-il au hasard ? Les joueurs de bridge ont pour habitude de mélanger un jeu quatre fois successivement, pour que les cartes se retrouvent bien dans un ordre aléatoire. Lorsque les tournois de bridge ont commencé dutiliser des distributions de cartes au hasard réalisées par ordinateur, certains joueurs se sont plaints que les mains quils recevaient nétaient pas… habituelles, et sans doute pas assez aléatoires… En 1992, le Professeur Persi DIACONIS, de lUniversité de STANFORD, montre quil faut battre au moins 7 fois un jeu de 52 cartes pour obtenir une répartition des cartes vraiment uniforme. Cest beaucoup plus que ce que lhabitude recommandait. Et certains joueurs de bridge savaient lutiliser. En fait, Persi DIACONIS a montré, sur ce problème, un résultat encore plus subtil, appelé Phénomène de rupture. Une nouvelle fois, on voit quil nest pas facile davoir du VRAI HASARD !... En fait, cest lordinateur qui avait raison !

5 Un jeu de cartes mélangé est-il au hasard ? En fait, le phénomène de rupture est le suivant : 2 ème 3 ème 4 ème 5 ème 6 ème 7 ème 1 er battage Mélange parfait Mélange nul Jusquau 7 ème battage, le mélange nest pas bon : le jeu ressemble encore à celui du départ. Phénomène de RUPTURE Tout dabord, si vous mélangez votre jeu de cartes 6 fois, la distribution que vous obtenez nest pas uniforme : il y a encore trop de suites de cartes qui sont semblables à celles qui existaient avant les mélanges. Ensuite, si vous mélangez 7 fois, le mélange que vous avez réalisé est bon : par rapport au jeu avant les mélanges, vous obtenez une distribution de cartes très proches de laléatoire pur. Enfin, si vous mélangez plus de 8 fois (ou bien 8 fois), vous naméliorez pas notablement laléatoire du mélange. Tout se passe donc comme si, jusquau 6ème mélange inclusivement, le jeu nétait pas vraiment mélangé et que le 7ème mélange le mélangeait vraiment totalement. Cest le phénomène de rupture (cut-off phenomenon).

6 Laquelle est « au hasard » ? Voici quatre répartitions de 900 points dans un carré. Certaines sont biaisées pour que les points ne soient pas trop proches ; dautres le sont pour que les points se rapprochent. Daprès J.P. DELAHAYE LIntelligence et le Calcul Ed. BELIN. Pour la Science

7 Laquelle est « au hasard » ? … /...Mais en réalité, toutes les quatre sont au hasard. En revanche, dans une seule dentre elles, les points sont choisis uniformément dans le carré, et de façon indépendante.

8 Marche au hasard Une marche au hasard est obtenue par une suite de tirages à PILE ou FACE. Sur cet exemple, on saperçoit que lun des joueurs perd pendant 92% du temps et ne gagne que 8% du temps. La partie est-elle déséquilibrée ? Examinons dautres exemples …/…

9 Quelques marches, au hasard...

10 Quelques marches,au hasard ? En réalité, et malgré les apparences, ces déséquilibres sont normaux. Lors d'un grand nombre de parties de PILE ou FACE, la proportion du temps pendant lequel chaque joueur gagne suit sensiblement une loi spécifique : la loi de l'arcsinus Sur la figure ci-contre, sont représentées la fonction de répartition (courbe bleue) et la densité (courbe noire) de cette loi. (Le 0 en abcisse, correspond à 50 % du temps passé en gagnant) Cette loi est par nature déséquilibrée. Ou bien on perd presque tout le temps ; Ou bien on gagne presque toujours... Cest vraiment trop injuste !

11 Coupons un bâton en trois morceaux, au hasard... x y z x y z Un TRIANGLE est POSSIBLE Aucun TRIANGLE Nest POSSIBLE Quelle probabilité avons-nous de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux ainsi obtenus ? (*) x y z x z Pour un bâton de longueur égale à 1 unité, il est possible de former un triangle si, et seulement si, chacun des trois morceaux x, y et z est de longueur plus petite que ½... x + z y y + x z z + y x... En effet, ceci permet de vérifier les inégalités triangulaires. * Essayez avec des spaghetti ! Allez, disciple ! Je sers la science et cest ma joie !

12 Coupons un bâton en trois morceaux, au hasard... La vraie difficulté de cette question, cest de savoir ce quon veut dire par : AU HASARD... z x y Z = 1 Y = 1 X = 1 x + y + z = 1 On choisit donc les trois longueurs x, y et z positives et telles que x + y + z = 1. Ceci revient (cf. figure) à choisir uniformément un point de coordonnées ( x, y, z ) sur un triangle équilatéral tracé dans lespace. Un premier sens quon peut donner, consiste à dire quon choisit, sur notre bâton, deux points de coupures de façon uniforme et indépendamment lun de lautre.

13 Dire que former un triangle est possible revient alors à dire que le point choisi se trouve à lintérieur du triangle des milieux (en rouge sur la figure) du triangle (ABC). Coupons un bâton en trois morceaux, au hasard... NON OUI C AB C A B Y = ½ Z = ½ Z = 1 Y = 1 X = 1 Y = ½ X = ½ Z = ½ On peut former Un triangle P = p = ¼ = 25 % Le rapport des surfaces du triangle rouge au triangle noir (ABC) nous donne alors la réponse :

14 Une autre manière de faire – et de comprendre ce : « au hasard » – serait de choisir nos deux points de coupure dans lordre de lecture. Coupons un bâton en trois morceaux, au hasard bis !... Tchak ! On choisit tout dabord la première coupure, celle de gauche, de façon uniforme sur la longueur du bâton. Puis on choisit la seconde coupure, uniformément, à droite de la première. Tchak ! Lieux possibles de la seconde coupure Naturellement, on devine que le résultat est le même que le précédent. Cependant... IL NEN EST RIEN ! Le calcul précis, à laide dune ou deux intégrales, montre qualors : On peut former Un triangle P = p = ln(2) – ½ 19,3 %


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