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Équations de fermeture des équations fluides dans les magnétoplasmas non-collisionels Approche cinétique / Approche fluide Équations fluides et le problème.

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1 Équations de fermeture des équations fluides dans les magnétoplasmas non-collisionels Approche cinétique / Approche fluide Équations fluides et le problème de leur fermeture Différentes approches dans la littérature Nos résultats (Chust & Belmont, PoP, sous presse 2005) Thomas Chust (CETP/CNRS-UVSQ/IPSL, Vélizy, France) Atelier « Comparaison des théories fluides et cinétique des ondes d'Alfvén à travers l'expérimentation numérique » 7-10 novembre 2005, CIAS, Observatoire de Meudon

2 APPROCHE CINÉTIQUE / APPROCHE FLUIDE du système couplé Vlasov-Maxwell CINÉTIQUE Intégration/ w solution Équation de Vlasov Moments macroscopiques n[t, r, w] et v[t, r, w] Équations de Maxwell f[t, r, w] Système fluide Intégration/ w solution FLUIDE Deux approches différentes pour résoudre le même problème à partir de la même équation En principe équivalentes mais en pratique …

3 SOLUTION DE LÉQUATION DE VLASOV Équation de Vlasov pour une population (ions ou électrons) : Solution : trajectoire 1) Solution dépend de lhistoire spatio- temporelle des champs E et B En pratique, des simplifications sont nécessaires : linéarisation, modèle 1- ou 2-D, évolution quasi-statique, nombre limité de particules … 2) Forme quelconque de f Nombre infini de degrés de liberté

4 ÉQUATIONS FLUIDES Intégration de Vlasov / wÉquations exactes 1) Solution dépend de lhistoire spatio- temporelle des champs E et B En pratique, il faut tronquer le système : une équation de fermeture est nécessaire 2) Système déquations infini (moments) Forme quelconque de f (généralement à lordre, ou )

5 CONDITIONS POUR UNE FERMETURE Collisionel : Forme maxwellienne de f justifiée par la dynamique locale des particules Nombre fini de degrés de liberté Relation locale entre n, et est possible ( ) and Non-collisionel : Possibilité de prédominance de modes fluides (relations de dispersion) Relation fini entre les premiers moments de f est possible seulement si on se limite aux fluctuations qui en première approximation nimpliquent pas tous les degrés de liberté du plasma non-collisionel (opérateur de collision dominant dans léquation de Boltzmann) Pas de constrainte locale sur la forme de f

6 PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES FERMETURES 1)Hypothèses de symétrie (quelles composantes tensorielles garde-t-on libres?) 2)Ordre de la fermeture (fermeture au niveau de,,, etc. ?) 3)Nature de la fermeture (quel type dapproximation ?) Ces 3 différents aspects du problème sont généralement liés … Fermeture « double-adiabatique » CGL : 1) Symétrie gyrotropique 2) Concerne lordre 3 3) Annulation du flux de chaleur Exemple:

7 APPROCHE DE GRAD-MINTZER À N-MOMENTS Principe: Adoption dune expression approchée pour la fonction de distribution en fonction des premiers moments macroscopiques en fonction des moments exacts dordre m p + q + r N-1 avec fonction de distribution de base (ordre 0) Maxwelliennne isotrope: Grad (1958), Schunk (1977) Quelconque: Mintzer (1965) Bi-Maxwellienne: Schunk, Barakat, Demars, Blelly … Flux de chaleur non nul : Leblanc & Hubert … 1) Choix ad hoc des symétries 2) Fermeture à lordre N 3) Approximation dépendant de f 0

8 APPROCHES LINÉAIRES Principe: Calculs exacts à partir dune fonction de distribution dordre 0 et mise en relation des différents moments après approximation de la fonction de réponse du plasma … Belmont & Rezeau (1987), Belmont & Mazelle (1992) Quataerts et al. (2002), Ferrière & André (2002 et après …) Hammett, Snyder et co-auteurs (1990 et après …) Passot, Sulem et co-auteurs (2003 et après …) Modèles formellement fluides des modes miroir, dinterchange … : Modèles « Landau-fluides » :

9 CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (1) Simplification au niveau de la forme de f A l'ordre 0, fonction f gyrotrope Hypothèses intuitives : Pas d'effets de fréquence fini: Pas d'effets de rayon de Larmor fini: Pas de résonance cyclotron: (1) Condition de gyrotropie

10 CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (2) … … avec Hypothèse de compacité : Condition sls de gyrotropie :

11 CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (3) (2) Condition dadiabaticité Condition dadiabaticité : Condition sls de gyrotropie

12 CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (4) (3) Condition dadiabaticité || Condition dadiabaticité || : Fermeture « double-adiabatique » CGL (fermeture gyrotropique-adiabatique)

13 LES LOIS "DOUBLE-ADIABATIQUES" (CGL) Si Comme négligeable dans les conditions de gyrotropie et dadiabaticité (variations temporelles) Ce sont de vraies lois fluides …

14 (variations spatiales ou résonance Landau) Divergence du flux parallèle de chaleur nest plus négligeable Pas de fermeture exacte: modèles Landau-fluides, à N-moments, lois isothermique, polytropiques, … LOIS PHÉNOMÉNOLOGIQUES Si

15 FERMETURE GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE (1) avec Équations fluides pour une espèce : ( quelconque) Tout se joue dans la détermination des coefficients …

16 FERMETURE GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE (2) ( quelconque) Pour une fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale) Directement comparable aux modèles à 16-moments de Barakat & Schunk (1982) Résultats équivalents à ceux de Ramos (2003) Coefficients constants approche de Grad-Mintzer à 8-moments Modèles Landau-fluides: approximation au plus près de la théorie cinétique linéaire

17 FERMETURE GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE (3) (variations spatiales) Si fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale)

18 2) Partie non-gyrotopique de mise à zéro comme avant: 1) Expression entière de (parties gyrotropique et non-gyrotropique) : with FERMETURE GYROTROPIQUE" (1) (pas de restriction sur le flux de chaleur) 3) Partie gyrotropique de calculée comme avant :

19 FERMETURE GYROTROPIQUE" (2) (pas de restriction sur le flux de chaleur) 4) Partie non-gyrotropique de : Résultat pas équivalent aux approches précédentes à lordre le plus bas car ici distinction entre gyrotropie et adiabaticité …

20 Prend en compte les asymétries de f le long de nimporte quel axe (x, y ou z) ? UNE FERMETURE NON-GYROTROPIQUE ? (avec aucune restriction ?) Les approches à N-moments (ex. Barakat & Schunk, 1982) font implicitement ce genre de fermeture Récemment, Goswami, Passot et Sulem (2005) ont utilisé explicitement ce genre dapproximation pour tenir compte deffets correctif dûs aux termes non-gyrotropiques dans les tenseurs de pression et de flux de chaleur. Ramos (2005) également mais juste formellement Valable seulement pour une approche perturbative ?

21 CONCLUSION Fermeture des équations fluides approximation des coefficients Notion de relation de dispersion existence de modes fluides (qualitatifs) En première approximation, la participation dun nombre infini de modes cinétiques (solutions du système Vlasov-Mawell) doit pouvoir se ramener à un nombre fini de modes fluides (solutions du système fluide que lon cherche) Pas de coefficients universels même dans le cas quasi-statique ! Condition de gyrotropie condition dadiabaticité (expansion à deux paramètres: distinguer clairement les échelles temporelles des échelles spatiales)


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