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Approches non intrusives des éléments finis stochastiques Application en mécanique non linéaire de la rupture B. Sudret (1), M. Berveiller (1,2), M. Lemaire.

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1 Approches non intrusives des éléments finis stochastiques Application en mécanique non linéaire de la rupture B. Sudret (1), M. Berveiller (1,2), M. Lemaire (2) (1) EDF R&D, Dépt. Matériaux et Mécanique des Composants (MMC) (2) Institut Français de Mécanique Avancée (IFMA/LaMI) Séminaire « Mécanique numérique probabiliste »19 Janvier 2005

2 2/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 classification des méthodes une approche simple : la simulation de Monte Carlo Sommaire Propagation des incertitudes en mécanique Méthode des éléments finis stochastiques méthode de projection méthode des moindres carrés Application à létude de nocivité dun défaut dans une tuyauterie

3 3/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 modèle analytique code aux éléments finis … déplacements déformations contraintes endommagement géométrie propriétés matériaux chargement Propagation des incertitudes : principe Paramètres dentrée Modèle de calcul Réponse

4 4/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Propagation des incertitudes : principe Réponse Paramètres dentrée Modèle de calcul Réponse aléatoire Variables aléatoires X ( ) ? déterminé à partir : - dune analyse statistique - du jugement dexpert - …

5 5/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Une brève classification Analyse de sensibilité Variabilité de la réponse Analyse de fiabilité PfPf seuil Probabilité de défaillance Éléments finis stochastiques Représentation complète (EFS) Modèle mécano- probabiliste Modes de défaillance (ex: critère de ruine) Modèle mécanique Matériau Géométrie Chargement Données aléatoires

6 6/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Simulation de Monte Carlo Tirage des variables aléatoires dentrée Tendance centrale : Probabilité de défaillance Réponse

7 7/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Propriétés de la simulation Avantages méthode universelle (problèmes statiques, dynamiques, non linéaires) ne nécessite pas dimplémentation spécifique Simulation représenter une v.a réponse S par lensemble de ses réalisations S ( i ) Remarque Alternative : caractériser lensemble des moments statistiques décomposer S( ) sur une base de lespace des v.a Inconvénients nécessite un gros volume de calcul ~ 10 2 pour évaluer (, ), 10 k+2 pour évaluer P f = 10 -k donne un résultat qualitatif de la densité de la réponse (histogramme)

8 8/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 classification des méthodes une approche simple : la simulation de Monte Carlo Sommaire Propagation des incertitudes en mécanique Méthode des éléments finis stochastiques méthode de projection méthode des moindres carrés Application à létude de nocivité dun défaut dans une tuyauterie

9 9/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Géométrie Physique du problème Prop. matériaux Chargement X (variables/champs aléatoires) Discrétisation spatiale u i = i-ème d.d.l Discrétisation probabiliste v. a. gaussiennes centrées réduites Chaos polynomial Coefficients à déterminer Principe des éléments finis stochastiques

10 10/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Chaos polynomial- Définition Famille de v.a gaussiennes centrées réduites indépendantes Séquence dentiers Polynôme dHermite multidimensionnel Chaos de degré p, dordre M : ensemble des polynômes dHermite multidimensionnels, de degré <= p basé sur M gaussiennes Dimension : Exemple :M = 2, p = 3 : P = 10

11 11/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Méthode de projection Inconnues du problème Base orthogonale du chaos polynomial Réponse (déplacement, déformation, contrainte) Orthogonalité des j : Numérateur : Dénominateur :analytique

12 12/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Évaluation de lintégrale Intégration en M dimensions possible par : Méthode de Monte Carlo brute Méthode de Monte Carlo accélérée (hypercube latin) Quadrature de lintégrale

13 13/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Quadrature dune intégrale simple Poids dintégration Points dintégration Calculé par la théorie des polynômes orthogonaux pour la fonction poids

14 14/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Quadratures des intégrales multiples Requiert K M calculs déterministes à effectuer avec son code préféré Possibilité dutiliser des schémas dintégration optimisés en grande dimension (« cubatures » de Smolyak) Nécessite la transformation des variables dentrée en gaussiennes centrées réduites Produit tensoriel de schémas dintégration uni-dimensionnels

15 15/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 classification des méthodes une approche simple : la simulation de Monte Carlo Sommaire Propagation des incertitudes en mécanique Méthode des éléments finis stochastiques méthode de projection méthode des moindres carrés Application à létude de nocivité dun défaut dans une tuyauterie

16 16/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Méthode des moindres carrés Minimiser au sens des moindres carrés lécart entre solution exacte et approchée sur le chaos polynomial: Évalué par le code EF Inconnues sur lesquelles portent la minimisation Valeurs des j aux points de collocation … conduit à un système linéaire ! Nombre de points de collocation du plan dexpérience

17 17/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Système linéaire Notations : Base du développement Inconnues Réponse exacte pour : matrice (n,P) de terme générique

18 18/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Particularités du système Le membre de gauche ne dépend pas du problème posé, mais uniquement les points de collocation choisis et de la taille du chaos Le calcul additionnel pour obtenir les coefficients dune autre variable de sortie se réduit à un produit matrice / vecteur il peut être inversé une fois pour toutes Le système est de taille petite (P~10-100). Par contre il est mal conditionné nécessité dun solveur adapté

19 19/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Choix des points de collocation optimaux Basé sur les racines des polynômes dHermite : Si lon choisit un chaos de degré p (degré maximal des polynômes de Hermite), on utilise les racines de H p+1 On construit tous les M-uplets de ces racines, soient M p+1 On choisit parmi ces possibilités n<< M p+1 points de collocation : ceux qui sont le plus près de lorigine Réfs : Webster, Isukapalli … Études paramétriques en cours (n=2P – 4P)

20 20/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 classification des méthodes une approche simple : la simulation de Monte Carlo Sommaire Propagation des incertitudes en mécanique Méthode des éléments finis stochastiques méthode de projection méthode des moindres carrés Application à létude de nocivité dun défaut dans une tuyauterie

21 21/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Application en mécanique de la rupture Traction ( t + f ) a = 15 mm Pression (P=15.5 MPa) Critère de défaillance pour l'amorçage du défaut Résistance à la déchirure ductile Force fissurante Evolution de la probabilité damorçage du défaut en fonction de la contrainte de traction t = 62,5 mm R i = 393,5 mm

22 22/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Maillage du tuyau fissuré Fissure circonférentielle

23 23/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Loi de comportement Loi de Ramberg - Osgood

24 24/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Paramètres incertains Décomposition de J sur le chaos polynomial 35 coefficients Méthode des moindres carrés

25 25/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Probabilité damorçage

26 26/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Probabilité damorçage (échelle log)

27 27/27 « Mécanique probabiliste numérique » 19 Janvier 2005 Approches non intrusives : - deux méthodes permettant de calculer les coefficients du développement à partir dune batterie de calculs déterministes outil générique probabiliste externe au code Conclusions Utilisation du chaos polynomial pour représenter la réponse aléatoire dun système mécanique … surface de réponse stochastique Plan dexpérience (points de collocation / points de quadratures) fourni de facto Précision des résultats supérieure à lapproche « Galerkin » des EFS tendance centrale (moyenne, écart-type) queues de distribution (probabilité de dépassement de seuil) Possibilité de distribuer facilement les calculs


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