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La notation scientifique Écriture et opérations. Écriture.

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1 La notation scientifique Écriture et opérations

2 Écriture

3 La notation scientifique est une forme décriture servant à représenter des nombres très grands ou très petits. a. 10 n avec 1 a < 10 et n Z Pour bien comprendre cette forme décriture, il faut connaître la principale caractéristique de la notation décimale.

4 La notation décimale est lécriture utilisée par la majorité des gens. Exemples : 2 500 $ 2,5 kg 75 ans 8 frères et soeurs 2 automobiles 45,7 cm Elle est très pratique pour écrire des nombres parce quelle est facile à utiliser.

5 La caractéristique principale de la notation décimale est que : chaque position des chiffres représente un multiple de 10. 1 Lunité : Unité de milliard :1 000 000 000 Unité de million :1 000 000 Centaine de mille :100 000 Dizaine de mille : 10 000 Unité de mille : 1 000 Centaine : 100 Dizaine : 10 Dixième : 0,1 Centième : 0,01 Millième :0, 001 Millionième :0, 000 001 Vers : linfiniment grand G : giga : M : méga : k :kilo : : micro : n :nano : Milliardième : 0, 000 000 001 da : déca : h :hecto : d : déci : c : centi : m :milli : Vers : linfiniment petit

6 Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on peut donc les écrire en utilisant la base 10. = 10 -4 = 10 9 = 10 6 = 10 5 = 10 4 = 10 3 = 10 2 = 10 1 = 10 0 = 10 -1 = 10 -2 = 10 -3 Remarque :Un exposant négatif signifie donc une petite quantité. G : giga M : méga : micro = 10 -6 n :nano 0,01 0, 001 0, 000 1 1 1 000 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 0,1 0, 000 001 0, 000 000 001 = 10 -9 k :kilo da :déca h :hecto d :déci c :centi m :milli

7 a. 10 n avec 1 a < 10 et n Z Dans la définition mathématique de la notation scientifique : signifie donc un nombre écrit en utilisant la base 10; le 10 étant pris dans la famille des entiers, soit Z; lexposant a. 10 n avec 1 a < 10 et n Z ce nombre doit être écrit égal ou plus grand que 1 et inférieur à 10. Lécriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter la même quantité que son écriture en notation décimale.

8 Exemple 1 : Écrire 23 643 en notation scientifique. Dans 23 643 la virgule est à la fin : 23 643,0 Étape 1 : Déplacer la virgule entre le 2 et le 3; 2 3 6 4 3 0, Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions, 1 2,364 3 < 10 mais il nest pas égal à 23 643 Pour le rendre égal à 23 643, il faut le multiplier par 10 000. 23 643 = 2,364 3 X 10 000 Soit le nombre de positions traversées par la virgule. Étape 2 : cest-à-dire 10 4. 23 643 = 2,364 3 X 10 4

9 Exemple 2 : Écrire 0,000 034 en notation scientifique. Étape 1 : Déplacer la virgule entre le 3 et le 4;0 000 03 4, Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions, 1 3,4 < 10 mais il nest pas égal à 0,000 034. 0,000 034 = 3,4 X 0,000 01 Soit le nombre de positions traversées par la virgule. Étape 2 : Pour le rendre égal à 0,000 034, il faut le multiplier par 0,000 01. cest-à-dire 10 -5 0,000 034 = 3,4 X 10 -5

10 Remarque Déplacer la virgule vers la gauche, fait augmenter lexposant de la base 10. 2 3 6 4 3 0, Déplacer la virgule vers la droite, fait diminuer lexposant de la base 10. 23 643,0 X 10 0 2,364 3 X 10 4 0 000 03 4, 0,000 03 4 X 10 0 3,4 X 10 -5

11 Exercices Transforme les nombres suivants en notation scientifique. 1,676 5 X 10 13 16 765 000 000 000: Remarque Les calculatrices peuvent afficher différentes écritures pour la notation scientifique : 1,676 5 E 13. Le E remplace la base 10. 1,676 5 13. Lespace remplace la base 10. 1,676 5 10 13 ; Tu dois donc bien connaître le fonctionnement de ta calculatrice.

12 Exercices Transforme les nombres suivants en notation scientifique. 156 000 : 234 000 000 000 000 : 946 080 000 000 000 000 : 0,0456 : 0,000 000 12 : 0,000 000 000 000 000 000 160 218 : 0, 000 000 000 456 : 1,56 X 10 5 2,34 X 10 14 9,460 8 X 10 17 4,56 X 10 -2 1,2 X 10 -7 1,602 18 X 10 -19 4,56 X 10 -10

13 À linverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on lécrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement : 2,3 X 10 5 =2,3 X 100 000 =230 000 Remarque 230 000,0 Notation décimale 2 3 0 0 0 0 0 Notation scientifique 2,3 X 10 5 230 000,0 Notation décimale Notation scientifique 2,3 X 10 5 2 3 0 0 0 0 0,,

14 1,5 X 10 -3 =1,5 X 0,001 =0,001 5 Notation décimale 0 001 5, Notation scientifique 1,5 X 10 -3 0,001 5 Notation décimale 0 001 5, Notation scientifique 1,5 X 10 -3 À linverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on lécrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement : Remarque :

15 Exercices Transforme les nombres suivants en notation décimale. 1,27 X 10 6 :1 270 000 4,5869 X 10 3 :4 586,9 1,2 X 10 10 : 12 000 000 000 2,5 X 10 -3 :0, 002 5 3,475 X 10 20 : 347 500 000 000 000 000 000 1,897 X 10 -10 :0, 000 000 000 189 7 2, 49573 X 10 -12 :0, 000 000 000 002 495 73

16 Quelques symboles unité de milliard :1 000 000 000G :giga := 1 X 10 9 unité de million :1 000 000M :méga := 1 X 10 6 millionième :0, 000 001 : micro : = 1 X 10 -6 unité de mille :1 000k :kilo : = 1 X 10 3 n : nano : milliardième :0, 000 000 001= 1 X 10 -9

17 Quelques symboles La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de 1 528 MW. 1 528 MW = 1 528 X 1 000 000 = 1 528 000 000 watts La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance de 16 GW. 16 GW = 16 X 1 000 000 000 = 16 000 000 000 watts La construction de la première phase du projet du barrage de la Baie-James a coûté 13,7 G$. 13,7G$ = 13,7 X 1 000 000 000 = 13 700 000 000,00 $

18 La mémoire des ordinateurs a évolué. Il y a environ 20 ans, elle se calculait en Mo. 1 Mo =1 mégaoctets 1 X 1 000 000 =1 000 000 octets. 1 X 10 6 octets. Il y a environ 10 ans, elle se calculait en Go. 1 Go =1 gigaoctets 1 X 1 000 000 000 =1 000 000 000 octets. 1 X 10 12 octets. Aujourdhui, elle se calcule To. 1 To =1 téraoctets 1 X 1 000 000 000 000 = 1 000 000 000 000 octets. 1 X 10 9 octets.

19 1 m

20 1 km

21 1 Mm

22 1 Gm

23 1 mètre

24 1 mm

25 1 m

26 1 nm

27 La technologie évolue très rapidement. Observe des réalisations faites au m (micromètre). 1 m = 0,000 001 m = 0,001 mm

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30 La technologie évolue très rapidement. Observe des réalisations faites au nm (nanomètre). 1 nm = 0,000 000 001 m = 0,000 001 mm

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34 Les opérations

35 Les opérations effectuées avec la notation scientifique se regroupent en deux catégories : 1) la multiplication et la division; 2) laddition et la soustraction. Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.

36 La multiplication Exemple : 200 X 3 000 6 X 10 5 2 X 10 2 X 3 X 10 3 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale : Calculer : Reconvertir en notation scientifique : Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long. 600 000

37 Il est plus rapide dutiliser certaines lois sur les exposants. 2 X 10 2 X 3 X 10 3 Étape 1 : Multiplier les nombres accompagnant les bases 10. 2 X 3 = 6 Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication des bases semblables : - on récupère la base; - on additionne les exposants; 10 2 X 10 3 =10 2+3 =10 5 Étape 3 :On regroupe le tout : 6 X 10 5 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple :2 X 10 8 X 4 X 10 6 = 8 X 10 14

38 Exercices Calcule les quantités suivantes : 1,5 X 10 5 X 3 X 10 6 =4,5 X 10 11 4 X 10 34 X 2 X 10 6 =8 X 10 40 2,5 X 10 5 X 5 X 10 3 =1,25 X 10 9 Attention : 2,5 X 5 = 12,5et10 5 X 10 3 = 10 8, mais 12,5 nest pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique : 1 a < 10 On doit donc terminer lécriture : 12,5 X 10 8 = 1,25 X 10 9

39 Calcule les quantités suivantes : 2,3 X 10 7 X 5,6 X 10 2 =1,288 X 10 10 1,7 X 10 4 X -2,3 X 10 5 =-3,91 X 10 9 4,81 X 10 5 X 3,4 X 10 6 = 1,6354 X 10 12 Attention La loi concernant la multiplication et la division de nombres positifs et négatifs sapplique aussi en notation scientifique. -3,4 X 10 6 X 1,2 X 10 4 = - 4,08 X 10 10 -2,1 X 10 5 X - 4,3 X 10 2 = 9,03 X 10 7

40 Calcule les quantités suivantes : 2 X 10 6 X 3 X 10 -4 = 6 X 10 2 Attention 2 X 10 6 X 3 X 10 -4 10 6 X 10 -4 = 10 6+ -4 =10 6 - 4 = 10 2 3,1 X 10 7 X 5,2 X 10 -3 =1,612 X 10 5 2,4 X 10 10 X 3 X 10 -4 = 7,2 X 10 6

41 La division Exemple : 400 000 ÷ 200 2 X 10 3 ( 4 X 10 5 ) ÷ ( 2 X 10 2 ) On pourrait transformer ces quantités en notation décimale : Calculer : Reconvertir en notation scientifique : Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long. 2 000

42 Il est plus rapide dutiliser certaines lois sur les exposants. 4 X 10 5 ÷ 2 X 10 2 Étape 1 : Diviser les nombres accompagnant les bases 10. 4 ÷ 2 = 2 Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des bases semblables : - on récupère la base; - on soustrait les exposants; 10 5 ÷ 10 2 =10 5-2 =10 3 Étape 3 :On regroupe le tout : 2 X 10 3 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple :( 9 X 10 14 ) ÷ ( 3 X 10 6 ) = 3 X 10 8

43 Exercices Calcule les quantités suivantes : ( 3 X 10 6 ) ÷ ( 1,5 X 10 4 ) =2 X 10 2 ( 4 X 10 34 ) ÷ ( 2 X 10 6 ) =2 X 10 28 ( 2,5 X 10 8 ) ÷ ( 5 X 10 3 ) =5 X 10 4 Attention 2,5 ÷ 5 = 0,5et10 8 ÷ 10 3 = 10 5, mais 0,5 nest pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique : 1 a < 10 On doit donc terminer lécriture : 0,5 X 10 5 = 5 X 10 4

44 Calcule les quantités suivantes : ( 2,8 X 10 7 ) ÷ ( 5 X 10 2 ) =5,6 X 10 4 ( 1,5 X 10 6 ) ÷ ( 2 X 10 2 ) =7,5 X 10 3 ( 1,02 X 10 8 ) ÷ ( 3,4 X 10 3 ) = 3 X 10 4 ( 8 X 10 6 ) ÷ ( 2 X 10 -4 ) = 4 X 10 10 Attention 8 X 10 6 ÷ 2 X 10 -4 10 6 ÷ 10 -4 = 10 6- -4 =10 6 + 4 = 10 ( 2,4 X 10 10 ) ÷ ( 3 X 10 -2 ) = 8 X 10 11 ( 1,2 X 10 -6 ) ÷ ( 4 X 10 -3 ) =3 X 10 -4

45 Laddition et la soustraction Exemple : 400 000 + 2000 4,02 X 10 5 4 X 10 5 + 2 X 10 3 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale : Calculer : Reconvertir en notation scientifique : 2 000 400 000 + 402 000

46 Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation scientifique, la règle est quelque peu différente. Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10. Pendant le calcul, la condition 1 a < 10 ne sapplique pas. Exemple :4 X 10 5 + 2 X 10 3 4 X 10 5 + 0,02 X 10 5 Transformer le plus petit des nombres : On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10. 4 + 0,02 = 4,02 On récupère la puissance de 10 sans la modifier :10 5 4 X 10 5 + 0,02 X 10 5 On regroupe le tout : 4,02 X 10 5

47 Exercices 3 X 10 6 + 1,5 X 10 4 =3,015 X 10 6 2,5 X 10 6 + 5 X 10 3 =2,505 X 10 6 8,4 X 10 5 - 2,3 X 10 4 =8,17 X 10 5 1,6 X 10 4 - 5,2 X 10 6 =- 5,184 X 10 6 Attention La loi concernant laddition et la soustraction de nombres positifs et négatifs sapplique aussi en notation scientifique.

48 Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans lunité demandée. 1,25 X 10 5 km en m : 1,25 X 10 8 m carselon le tableau des unités de longueur : kmhmdammdmcmmm par 10 pour chaque unité franchie. donc X 1 000 1,25 X 10 5 X 10 3 =1,25 X 10 5 + 3 = ou 10 3 1,25 X 10 8 m Convertir des unités de mesures en utilisant la notation scientifique est simple et rapide,

49 Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans lunité demandée. 3,2 X 10 9 m 3 en cm 3 : 3,2 X 10 15 cm 3, carselon le tableau des unités de volume : km 3 hm 3 dam 3 m3m3 dm 3 cm 3 mm 3 par 1 000 pour chaque unité franchie. donc X 1 000 000 3,2 X 10 9 X 10 6 = 3,2 X 10 15 cm 3 ou 10 6 3,2 X 10 9 + 6 =

50 Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans lunité demandée. 4,71 X 10 12 m 3 en km 3 : 4,71 X 10 3 km 3, carselon le tableau des unités de volume : km 3 hm 3 dam 3 m3m3 dm 3 cm 3 mm 3 par 1 000 pour chaque unité franchie. donc ÷ 1 000 000 000 4,71 X 10 12 ÷ 10 9 = 4,71 X 10 3 km 3 ou 10 9 4,71 X 10 12 - 9 =

51 Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans lunité demandée. 2,7 X 10 9 m 2 en hm 2 : 2,7 X 10 5 hm 2, carselon le tableau des unités de surface : km 2 hm 2 dam 2 m2m2 dm 2 cm 2 mm 2 par 100 pour chaque unité franchie. donc ÷ 10 000 2,7 X 10 9 ÷ 10 4 = 2,7 X 10 5 hm 2 ou 10 4 2,7 X 10 9 - 4 =


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