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Les familles de fonctions Situations et Modèles mathématiques.

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1 Les familles de fonctions Situations et Modèles mathématiques

2 Une fonction est une relation entre deux éléments. Chaque fonction possède donc son propre modèle. - le salaire en fonction du temps; - laire dun disque en fonction de son rayon; - lampérage en fonction de la résistance; - la température dun corps en fonction du temps; Plusieurs situations concrètes peuvent être représentées par des fonctions. Exemples : - etc.

3 Fonction polynomiale de degré 0 Fonction polynomiale de degré 1 f(x) = ax 0 f(x) = a f(x) = x 1 f(x) = x ou fonction constante ou fonction linéaire de variation directe Fonction polynomiale de degré 1 f(x) = x 1 + b f(x) = x + b ou fonction linéaire de variation partielle y x y x y x

4 y x Fonction rationnelle Fonction inversement proportionnelle f(x) = a x y x

5 Fonction polynomiale de degré 2 f(x) = x 2 ou fonction quadratique Fonction partie entière f(x) = [ x ] y x y x

6 Fonction exponentielle Fonction valeur absolue Fonction périodique f(x) = c x f(x) = x Fonction racine carrée f(x) = x y x y x y x y x

7 Examinons quelques situations.

8 On veut représenter le salaire dun ouvrier en fonction de ses heures de travail pour une semaine. Nous dirons quil gagne 10 $ de lheure et que sa semaine de travail comporte 40 heures. Le graphique ci-contre illustre cette situation. Salaire ($) 5Heures 50 Forme déquation la plus simple : f(x) = x

9 En électricité, plusieurs phénomènes peuvent être représentés par des fonctions linéaires de variation directe. Courbe de la tension en fonction du courant Courant (A) 0,25 0,50 0,75 1 Tension (V)

10 Aux Etats-Unis, la mesure de la température ne se fait pas en degré Celsius mais avec une autre unité de mesure, soit le degré Fahrenheit. Il existe une formule permettant de convertir les degrés Celsius en degré Fahrenheit; cette formule est : 5 0 F = 9 0 C La représentation graphique ce cette fonction est illustrée ci-contre. 20 0C0C 25 0F0F Conversion de température La conversion de température des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est une fonction linéaire de variation partielle. Forme déquation la plus simple : f(x) = x + b

11 Dans une loto, plus on achète de billets et plus on a de chances de gagner. Tu demandes donc à tes amis de participer à lachat des billets lors dun tirage de $. Tu aimerais savoir quel montant recevra chacun en fonction du nombre de participants. Cette situation représente une fonction inversement proportionnelle (appelée aussi fonction rationnelle). Plus le nombre de participants sera élevé et plus le montant gagné par chacun sera petit. Seulement une partie du plan cartésien est utilisé, mais le modèle sapparente au modèle de la fonction inversement proportionnelle. Partage dune somme dargent de $ Nombre de participants 2 Somme gagnée (K$) 2 Forme déquation la plus simple : f(x) = a x

12 Le coût dutilisation dun stationnement public est de 2,00 $ de lheure ou partie dheure. On sintéresse à la relation entre les heures de stationnement et le coût. Cette situation sexplique comme suit. Si on reste 30 minutes, le coût est aussi de 2,00 $. Si on reste 1 heure + une minute, le coût augmente subitement à 4,00 $ pour toute la deuxième heure Dès la première minute à laquelle on entre dans le stationnement, le coût est automatiquement de 2,00 $. et ainsi de suite. Coût de stationnement Temps (heures) Coût ($) Cest le modèle de variation en escalier. On lappelle ainsi car le graphique ressemble à un escalier. Il représente la fonction appelée partie entière. Forme déquation la plus simple : f(x) = [ x ]

13 Un ballon de football est botté dans les airs. La hauteur H du ballon (en mètres) selon le temps (en secondes) est donnée par la règle H(t) = -2t t Temps (sec) Hauteur (m) Botté dun ballon de football Ici encore, on ne représente quune partie de la parabole soit la partie positive puisque la situation est une situation réelle. Ce type de courbe sappelle une parabole. Forme déquation la plus simple : f(x) = x 2

14 Au début d'une expérience, il y avait 20 bactéries. Depuis, l'augmentation des bactéries double à chaque heure. On veut connaître le nombre de bactéries après 6 heures. Voici une table de valeurs représentant cette situation. Heures Bactéries Heures Développement de bactéries Nombre de bactéries Cette table de valeurs et ce graphique représentent le modèle exponentielle. Au début, la relation progresse assez lentement, mais par la suite, elle augmente très rapidement. Forme déquation la plus simple : f(x) = c x

15 On voudrait connaître la longueur du côté dun carré en fonction de son aire. Ici, il faut extraire la racine carré des différentes aires que peut avoir un carré. Aires et côtés de carrés Aire (m 2 ) Côté (m) Forme déquation la plus simple : f(x) = x

16 Fréquence dun courant alternatif (110 V) Temps (sec) Tension (V) V V 1 60 Lélectricité que nous recevons dans nos maisons à une tension de 110 Volts et le courant est alternatif. Il varie donc constamment de Volts à – 110 Volts. La courbe ci-contre représente un cycle. Ce cycle a une durée de 1/60 de seconde, il se répète donc 60 fois dans une seconde. Cette situation sapparente donc à la fonction périodique. Une des formes déquation la plus simple de ce genre de situation : f(x) = sin x Temps (sec) Tension (V) V V 1 60

17 Il existe encore dautres fonctions, nous ne les avons pas toutes abordées. Conclusion Chaque modèle mathématique illustre une multitude de situations ou de phénomènes de la vie courante. Cependant, ces situations ne correspondent le plus souvent quà une partie du modèle. Une bonne connaissance de lalgèbre est essentielle pour pouvoir utiliser adéquatement toutes les notions gravitant autour du concept de fonctions. Chaque fonction possède ses propres propriétés (domaine, codomaine, intervalles de croissance et de décroissance, etc.); être capable de les analyser est donc essentiel.


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