POLYNÔME DE TAYLOR cours 23.

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1 POLYNÔME DE TAYLOR cours 23

2 Trouver une approximation d’une fonction

3 Ça serait bien si on pouvait trouver une façon de trouver
Les fonctions apparaissent naturellement dans beaucoup de situations où on modélise un phénomène de la vie. Les fonctions qui en découlent ne sont pas toujours très simple, ce qui peut rendre l’analyse du phénomène difficile voir impossible. Or, rare sont les phénomènes étudiés dont la précision des mesures sont infini. Ça serait bien si on pouvait trouver une façon de trouver une fonction simple à partir d’une fonction compliquée mais que les deux fonctions aient les mêmes valeurs à une certaine précision près.

4 On a vu dans le cours de calcul différentiel qu’on peut utiliser la dérivée pour donner une approximation linéaire d’une fonction.

5 La droite est un peu trop simple.
La droite tangente à une fonction est une approximation raisonnable de la fonction pour les valeurs de x qui sont près de a. Naturellement remplacer un fonction par une droite simplifie grandement les calculs. Or l’approximation est grossière voir inutilisable dès qu’on prend des valeurs trop loin de a. La droite est un peu trop simple. Quelles sont les fonctions les plus simples d’un point de vue du calcul différentielle? Les polynômes!

6 Une constante

7

8

9 Polynôme de Taylor d’ordre n
le reste

10 Exemple: Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 0

11 Exemple: Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 1

12 Exemple: Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 1

13 Exemple: Trouver le polynôme de degré 5 de la fonction suivante autour de 0

14 Faites les exercices suivants
Calculer le polynôme de Taylor de degré 5 autour de 0 des fonctions suivantes 1) 2)

15 Regardons maintenant le reste.

16 Pour pouvoir faire ce qu’on a fait jusqu’à présent il fallait
que la fonction ainsi que ses dérivées soient continue sur l’intervalle Mais si est continue sur l’intervalle alors elle possède un maximum et un minimum Posons et tels que

17

18 Mais

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21 Exemple: Quel est notre marge d’erreur si on évalue
à l’aide du polynôme de Taylor de degré 5 autour de 0

22 Faites les exercices suivants
Évalué à l’aide du polynôme de Taylor de autour de à deux décimales près.

23 Développons son polynôme de Taylor autour de 0
Ça serait bien d’utiliser cette approche pour trouver une approximation de . Pour ça, il faut trouver une fonction qui vaut lorsqu’évalué en une certaine valeur et dont les dérivées ce calcul bien. Développons son polynôme de Taylor autour de 0

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25

26

27 Bien que relativement près de
Cette approche n’est pas optimale puisque le reste Mais

28 Aujourd’hui, nous avons vu
Polynôme de Taylor Le reste Approximation à l’aide du polynôme de Taylor

29 Devoir: Feuille # 1 à 5