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Cours 23 POLYNÔME DE TAYLOR. Aujourdhui, nous allons voir Trouver une approximation dune fonction.

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Présentation au sujet: "Cours 23 POLYNÔME DE TAYLOR. Aujourdhui, nous allons voir Trouver une approximation dune fonction."— Transcription de la présentation:

1 cours 23 POLYNÔME DE TAYLOR

2 Aujourdhui, nous allons voir Trouver une approximation dune fonction

3 Les fonctions apparaissent naturellement dans beaucoup de situations où on modélise un phénomène de la vie. Les fonctions qui en découlent ne sont pas toujours très simple, ce qui peut rendre lanalyse du phénomène difficile voir impossible. Or, rare sont les phénomènes étudiés dont la précision des mesures sont infini. Ça serait bien si on pouvait trouver une façon de trouver une fonction simple à partir dune fonction compliquée mais que les deux fonctions aient les mêmes valeurs à une certaine précision près.

4 On a vu dans le cours de calcul différentiel quon peut utiliser la dérivée pour donner une approximation linéaire dune fonction.

5 La droite tangente à une fonction est une approximation raisonnable de la fonction pour les valeurs de x qui sont près de a. Naturellement remplacer un fonction par une droite simplifie grandement les calculs. Or lapproximation est grossière voir inutilisable dès quon prend des valeurs trop loin de a. La droite est un peu trop simple. Quelles sont les fonctions les plus simples dun point de vue du calcul différentielle? Les polynômes!

6 Une constante

7

8

9 Polynôme de Taylor dordre n le reste

10 Exemple: Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 0

11 Exemple: Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 1

12 Exemple: Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 1

13 Exemple: Trouver le polynôme de degré 5 de la fonction suivante autour de 0

14 Faites les exercices suivants Calculer le polynôme de Taylor de degré 5 autour de 0 des fonctions suivantes 1) 2)

15 Regardons maintenant le reste.

16 Pour pouvoir faire ce quon a fait jusquà présent il fallait que la fonction ainsi que ses dérivées soient continue sur lintervalle. Mais si est continue sur lintervalle alors elle possède un maximum et un minimum. Posons et tels que

17

18 Mais

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20

21 Exemple: Quel est notre marge derreur si on évalue à laide du polynôme de Taylor de degré 5 autour de 0

22 Faites les exercices suivants Évalué à laide du polynôme de Taylor de autour de à deux décimales près.

23 Ça serait bien dutiliser cette approche pour trouver une approximation de. Pour ça, il faut trouver une fonction qui vaut lorsquévalué en une certaine valeur et dont les dérivées ce calcul bien. Développons son polynôme de Taylor autour de 0

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27 Bien que relativement près de Cette approche nest pas optimale puisque le reste Mais

28 Aujourdhui, nous avons vu Polynôme de Taylor Le reste Approximation à laide du polynôme de Taylor

29 Devoir: Feuille # 1 à 5


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