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Mathématiques 9: Lalgèbre. Vocabulaire Expressions algébriques Définition : Une expression algébrique est un ensemble de lettres et de nombres et entre.

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1 Mathématiques 9: Lalgèbre

2 Vocabulaire Expressions algébriques Définition : Une expression algébrique est un ensemble de lettres et de nombres et entre eux il y a un signe qui nous dit quelle est lopération à effectuer. Exemple : - 4x+6 - 2xy+6xy

3 Variable Définition : Une variable est la lettre dans le terme algébrique. Exemple : 3x la variable est x. : 2a la variable est a.

4 Coefficient Définition : Un coefficient est le chiffre qui se retrouve devant une variable dans une expression algébrique. Exemple : 3x+4y les coefficients sont 3 et 4

5 Terme algébrique Définition : Un terme algébrique est un monôme qui est constitué dun coefficient et dun groupe variable. Exemple : 8x² coefficient 8 variable x exposant ²

6 Terme constant Définition : Un terme constant est un terme formé avec quun seul nombre. Il faut indiquer si ce nombre est positif ou négatif. Exemple : 2x + 1 le + 1 est le terme constant.

7 Termes semblables Définition : Un terme semblable doit avoir les mêmes variables soulevées à la même puissance Exemple : 45y et 2y (semblables) 4y et 3y 2 (pas semblables)

8 Les polynômes : - Monôme - Binôme - Trinôme

9 Les monômes Définition : Un monôme est une expression formée dun seul terme. Ce terme peut inclure un coefficient, une ou plusieurs variables et des exposants. Un monôme est un produit de tous ces composants. Exemple : 4a 3 b 2

10 Les binômes Définition : Un binôme est une expression formée de deux termes. Un binôme est une somme ou une différence de deux monômes. Exemple : 4ab 2 + a 2 b

11 Les trinômes Définition : Cest une expression formée de trois termes non semblables. Exemple : 4a² + 6ab² - 4b²

12 Quel est le degré du monôme? le degré dun monôme est la somme de ses exposants. Les exposants pour chaque variable sont 4 et = 6. Ce monôme est de degré 6.

13 Les polynômes Définition : Un polynôme est une expression qui inclut la somme ou la différence de plusieurs termes algébriques et peut inclure un terme constant. Les termes sont organisés en ordre alphabétique et en ordre décroissant des exposants. Exemple : 2x² + 3y² - 6x + 4y +1

14 Le degré dun polynôme est le plus haut degré dans un de ces termes. Il faut déterminer le degré de chaque terme dans le polynôme, et puis le plus puissant est le degré du polynôme. Un terme constant : pas de variable. Un monôme de degré 0. Ce binôme et de dégré 1. La variable x est à la puissance de 1. Les expressions polynomiales de degré un sont linéaires. Ce trinôme est de degré 2. Des polynômes de degré 2 sont quadratiques. Ce polynôme est de 3 e degré. Des polynômes de degré 3 sont cubiques.

15 Polynôme a. b. c. d. Degré Classification par degré Classification par # de termes ZéroConstantMonôme 1LinéaireBinôme 2QuadratiqueBinôme 3Cubique Trinôme

16 Le premier terme doit être positif. Pour changer le signe du premier terme, multiplie tout le polynôme par –1 (utilise la distributivité). *Les termes sont organisé en ordre décroissant des exposants. *Le premier terme est positif.

17 a)Réécris les polynômes en forme standarde b)Identifie-les par le degré et par le nombre de termes. c)Identifie le terme constant

18 Addition des polynômes 3y 2 +6y 7 +y+9 et y 2 +2y 7 +3y+12 Démarche : Laddition de 2 polynômes se fait en additionnant les termes de chaque polynôme qui sont semblables et réduire lexpression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la somme recherchée. Exemple: 3y 2 + 6y 7 + y y 2 + 2y 7 + 3y y 2 + 8y 7 + 4y + 21 Ce polynôme correspond à la somme recherchée.

19 Soustraction des polynômes Démarche: La soustraction des polynômes équivaut à additionner lopposé de chacun des termes deuxième polynôme au premier et à réduire lexpression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la différence recherchée. -3x 2 - 6x + 7 Soustrait de 5x x (5x x – 12) – (-3x 2 – 6x + 7) = (5x x – 12) + 3x 2 + 6x + ( – 7) = 5x 2 + 3x x + 6x + ( - 12) + ( - 7) = 8x x + ( - 19) ou 8x x – 19 Ce polynôme correspond à la différence recherchée. Exemple:

20 Les propriétés des exposants Règles: a m x a n = a m+n (a m ) n = a mn a m ÷ a n =a m-n (ab) n = a n x b n n a a f n Ex: 3 2 x 3 3 = Ex: (3 2 ) 4 = 3 2x4 Ex: 2 8 ÷ 2 5 = Ex: (34) 2 = 3 2 x 4 2 Ex: = 5 4 Ex: 3 =6561 = 3 5 =3 8 =2 3 =9x16=144 =8 =243 =8,9 3 4 = =20,78 a 0 =1 Ex: =1 =1

21 Multiplication de monômes (a 3 b 4 )(a 5 b 2 ) (a 3 a 5 )(b 4 b 2 ) Regrouper les bases semblables Pour multiplier des monômes, additionne les exposants. solution: a 8 b 6 Quel propriété?La commutativité

22 Multiplie (5a 4 b 3 )(2a 6 b 5 )

23 À toi! 1. (a 2 b 3 )(a 9 b) Solution: a 11 b 4 2. (3a 12 b 4 )(-5ab 2 )(a 3 b 8 ) Solution: -15 a 16 b 14

24 Multiplication dun polynôme par un monôme Démarche: Distribuer--- il faut multiplier chacun des termes du polynôme par le monôme. Exemple: ( 7ab) (5a 2 + 6b + 12) = (7ab × 5a 2 ) + (7ab × 6b) + (7ab × 12) = 35a 3 b + 42ab ab

25 Division des monômes a7b5a4ba7b5a4b Regrouper les bases semblables Pour diviser, Soustrais les exposants solution: a 3 b 4 (a )(b ) a7a4a7a4 b5b1b5b1

26 Division des monômes -30x 3 y 4 -5xy 3 Divise les coefficients. Regroupe les bases solution: 6 x 2 y (x )(y )

27 Divise 2m 5 n 4 -3m 4 n 2 Divise les coefficients et soustrais les exposants (m )(n ) 2 -3 Solution: mn2mn2 2 mn =

28 À toi! 1. m 8 n 5 m 4 n 2 Solution: m 4 n 3 (m )(n ) x 10 y 7 6x 9 y (x )(y ) Solution: -1 2 xy5xy5 - xy 5 2 =

29 La division dun polynôme par un monôme. Définition : Il faut diviser chacun des termes par le monôme. Exemple :

30 Simplifier une puissance ayant une base monomiale (ab) 2 Règle : (xy) n = x n y n (ab)(ab) a2b2a2b2 (ab) 3 (ab)(ab)(ab) a3b3a3b3 (aa)(bb) (aaa)(bbb)

31 Simplifier une puissance ayant une base monomiale: Puissance dune puissance (a 9 b 5 ) 3 Règle: (x a y b ) n = x an y bn (a 93 )(b 53 ) Solution: a 27 b 15 (4m 11 n 20 ) 2 (4 12 )(m 112 )(n 202 ) Solution: 16m 22 n 40 (4 1 m 11 n 20 ) 2

32 À toi! 1. (2a 4 ) 3 Règle: (x a y b ) n = x an y bn (2 13 )(a 43 ) Solution: 8a (4xy 5 z 2 ) 4 (4 14 )(x 14 )(y 54 )(z 24 ) Solution: 256x 4 y 20 z 8 (2 1 a 4 ) 3 (4 1 x 1 y 5 z 2 ) 4


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