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École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle CHAPITRE 6 Stabilité des SA.

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1 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle CHAPITRE 6 Stabilité des SA

2 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA La stabilité est la première propriété exigée pour les systèmes asservis ! Un système instable est inutilisable… Définition 1 : un système est stable si lorsquon lui applique une entrée limitée, sa sortie est limitée. Définition 2 : un système est stable sil revient à son état permanent après une perturbation. Définition 3 : un système est stable si sa réponse impulsionnelle tend vers 0 pour t = infini

3 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Système stable Système instable

4 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Condition générale de stabilité : LA STABILITE DUN SYSTEME DEPEND DE LA NATURE DES POLES DE LA FONCTION DE TRANSFERT. Un système linéaire G(p) est de la forme : Pôles de D(p)

5 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Un système est stable si tous les pôles de D(p) sont à partie réelle strictement négative. Re Im STABLE INSTABLE

6 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Exercice : S(p) K E(p) Etudier la stabilité en BO - Etudier la stabilité en BF

7 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Critère de ROUTH-HURWITZ Il nest pas toujours facile de déterminer explicitement ces racines, surtout lorsque lordre est élevé. Le critère de Routh permet de connaître les conditions de la stabilité (ou non) dun système sans connaître les valeurs des pôles. Énoncé du critère : D(p) est le dénominateur de la fonction de transfert. On a : D(p) = a n p n + a n-1 p n-1 + … + a 1 p + a 0 Les conditions nécessaires pour Routh sont : –Tous les a i existent –Tous les a i sont de même signe

8 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Si les conditions nécessaires sont réunies, nous pouvons alors écrire le tableau de Routh pour déterminer les conditions nécessaires et suffisantes à la stabilité du système. Cette méthode comprend 3 étapes : A partir de lécriture de D(p) = a n p n + a n-1 p n-1 + … + a 1 p + a 0, nous écrivons le tableau à deux lignes suivants : a n a n-2 a n-4 a n-6 … a n-1 a n-3 a n-5 a n-7 …

9 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA A partir du tableau, nous déduisons le nouveau tableau de Routh de la manière suivante : … A 3 A 2 A 1 B2B2 B1B1 C1C1 … a n-7 a n-5 a n-3 a n-1 … a n-6 a n-4 a n-2 a n Jusquà lobtention dun 0 sur la première colonne !

10 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Nous examinons dans un dernier temps la première colonne qui va nous permettre de conclure sur la stabilité du système. Les racines (ou pôles) sont à partie réelle strictement négative si les termes de la première colonne du tableau sont tous de même signe ! Le nombre de changement de signe dans cette première colonne donne le nombre de pôles à partie réelle positive. Exercice : étudiez la stabilité de : D(p) = p p p p 2 + p + 1

11 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Exercice : S(p) K E(p) - + Étudiez la stabilité de ce système

12 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Exercice : Soit un système asservi dont léquation est donnée par : - Donnez la fonction de transfert en BO et étudiez sa stabilité. - Nous effectuons un retour unitaire. Donnez H BF (p) et étudiez les conditions de stabilité. - Donnez lerreur statique en fonction de K. - Peut-on régler K afin davoir une erreur de 5 % ?

13 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Critère de Nyquist ou critère du revers Ce critère est une méthode graphique pour lanalyse de la stabilité dun système asservi. Il ne sapplique que pour les SA à retour unitaire. Le critère conclut à la stabilité du système en boucle fermée par examen du lieu de Nyquist en boucle ouverte. Un système asservi linéaire est stable si, en décrivant le lieu de transfert de Nyquist en BO dans le sens des fréquences croissantes, nous laissons le point dit « critique » (-1,0) à gauche.

14 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA STABLE INSTABLE

15 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Ce critère ne sapplique quà des systèmes à retour unitaire. Nous pouvons toujours ramener un SA à un système asservi à retour unitaire : S(p) E(p) - + S(p) E(p) - +

16 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Application au diagramme de Bode : un système sera stable si, pour la pulsation 0 qui correspond à un gain 0 dB, la courbe de phase passe au dessus de –180°. INSTABLE

17 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Application au diagramme de Black : un système sera stable si, en décrivant le lieu de transfert de Black en BO dans le sens des fréquences croissantes, nous laissons le point critique (0 dB, –180°) à DROITE. INSTABLE

18 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Extension du critère : Si un gain K est inséré dans la boucle ouverte, il faudrait tracer le lieu de Nyquist (ou Black ou Bode) pour chaque valeur de K afin de déterminer la stabilité du système. Or : doù : 1 + K G(p) = 0 donc : Un système asservi est stable si le lieu de Nyquist de G(p) parcouru dans le sens des fréquences croissantes, laisse à GAUCHE le point critique (-1/K ; 0).

19 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Exercice : Étudiez la stabilité du système S(p) K E(p) - + Confirmez vos résultats avec Routh

20 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Marges de stabilité : La stabilité mathématique présentée précédemment nest pas synonyme de bon comportement. Il faut que la stabilité soit « suffisante ». Un système sera dautant plus stable que son lieu en boucle ouverte sera éloigné du point critique. Si des perturbations ou une déviance du comportement apparaissent, une augmentation de la phase ou du gain peut entraîner le système en instabilité.

21 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Nous définissons alors : LA MARGE DE GAIN : cest le gain minimum quil faut ajouter pour rendre le système instable. LA MARGE DE PHASE : cest la phase minimale que nous pouvons ajouter pour passer au point critique.

22 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Mesures graphiques de ces marges : LIEU DE BLACK : G m = 10.5 dB m = 46.5°

23 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA LIEU DE BODE :

24 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA LIEU DE NYQUIST : GENERALEMENT, les valeurs de stabilité sont : G m = dB m = 45°

25 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Exercice : Donner la marge de gain et de phase pour le système suivant, sil est stable : S(p) E(p) - +

26 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Stabilité des SA Exercice : Soit le système suivant (K > 0) : S(p) E(p) - + K - Étudiez la stabilité par Routh - Étudiez la stabilité par Nyquist - Calculez les marges de phase et de gain pour K = 18


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