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DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES Cours de PREPA PE1 O.MARTINELLI.

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DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES Cours de PREPA PE1 O.MARTINELLI.

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1 DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES Cours de PREPA PE1 O.MARTINELLI

2 Plan du cours PARTIE A : GENERALITES (diapo 3 à 34) PARTIE A : GENERALITES (diapo 3 à 34) PARTIE B : LES ENTIERS ( diapo 36 à ) PARTIE B : LES ENTIERS ( diapo 36 à )

3 Enseignement et apprentissage des mathématiques Pensez-vous quil y ait une différence entre « apprendre » et « enseigner » ? Pensez-vous quil y ait une différence entre « apprendre » et « enseigner » ? Si oui précisez. Si oui précisez.

4 Réponses proposées Rappelons les évidences Rappelons les évidences Apprendre cest du côté élève, en latin «apprehendere» qui signifie saisir, semparer de, comprendre. Apprendre cest du côté élève, en latin «apprehendere» qui signifie saisir, semparer de, comprendre. Enseigner cest du côté professeur, en latin « signare » qui signifie placer un signe, laisser une marque, celle du professeur. Enseigner cest du côté professeur, en latin « signare » qui signifie placer un signe, laisser une marque, celle du professeur. Apprendre cest un acte qui consiste à sapproprier un savoir ou un savoir-faire. Apprendre cest un acte qui consiste à sapproprier un savoir ou un savoir-faire.

5 APPRENTISSAGES Les grands courants 1) Conception transmissive 1) Conception transmissive 2) Béhaviorisme 2) Béhaviorisme 3) Structuralisme 3) Structuralisme 4) Socioconstructivisme 4) Socioconstructivisme

6 La conception transmissive ( ou conception de la tête vide) Cest une conception à laquelle on se réfère spontanément quand on veut enseigner quelque chose à quelquun. Cest une conception à laquelle on se réfère spontanément quand on veut enseigner quelque chose à quelquun. On suppose que lélève ne sait rien de la connaissance nouvelle. On suppose que lélève ne sait rien de la connaissance nouvelle. Lenseignant communique cette nouvelle connaissance. Lenseignant communique cette nouvelle connaissance. Lélève attentif écoute et « imprime » dans sa tête la nouvelle connaissance. Lélève attentif écoute et « imprime » dans sa tête la nouvelle connaissance. Lenseignant propose des exercices dentraînement et de réinvestissement. Lenseignant propose des exercices dentraînement et de réinvestissement.

7 Les limites de la conception de la tête vide Tout repose sur la « communication » Tout repose sur la « communication » Or même quand les élèves sont très attentifs,ils nont pas la tête vide, ce qui est dit par lenseignant est interprété à travers le filtre des expériences personnelles. Or même quand les élèves sont très attentifs,ils nont pas la tête vide, ce qui est dit par lenseignant est interprété à travers le filtre des expériences personnelles.

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9 Les avantages de la tête vide Ce modèle est performant si : Ce modèle est performant si : Les élèves sont motivés et attentifs Les élèves sont motivés et attentifs Si lexpérience antérieure des élèves est suffisamment proche de celle de lenseignant. Si lexpérience antérieure des élèves est suffisamment proche de celle de lenseignant. Ce modèle est particulièrement efficace pour faciliter la structuration des connaissances nouvelles. Ce modèle est particulièrement efficace pour faciliter la structuration des connaissances nouvelles.

10 Quelques variantes de la tête vide Lenseignant entrecoupe son exposé de questions pour soutenir lattention ou pour faire dire par lélève des éléments de la connaissance nouvelle. Lenseignant entrecoupe son exposé de questions pour soutenir lattention ou pour faire dire par lélève des éléments de la connaissance nouvelle. Cest le cours dialogué ( mémoire de DEA de R.CHARNAY ) directement inspiré de lapproche de dite « maïeutique » de SOCRATE. Cest le cours dialogué ( mémoire de DEA de R.CHARNAY ) directement inspiré de lapproche de dite « maïeutique » de SOCRATE.

11 La conception béhavioriste Elle sappuie sur le fait quon ne peut pas avoir accès aux structures mentales dune personne, par contre les comportements observables sont accessibles. Elle sappuie sur le fait quon ne peut pas avoir accès aux structures mentales dune personne, par contre les comportements observables sont accessibles. On peut modifier le comportement dune personne par conditionnement en utilisant des « stimuli » ( PAVLOV) et un renforcement des réponses positives (conditionnement opérant de SKINNER) On peut modifier le comportement dune personne par conditionnement en utilisant des « stimuli » ( PAVLOV) et un renforcement des réponses positives (conditionnement opérant de SKINNER)

12 Dans la classe Lenseignant définit un objectif et des sous objectifs sous la forme « à la fin de la séquence lélève sera capable de ». Lenseignant définit un objectif et des sous objectifs sous la forme « à la fin de la séquence lélève sera capable de ». À chaque fois quun sous objectif est atteint lenseignant récompense et propose des situations dentraiment pour automatiser le nouveau comportement. À chaque fois quun sous objectif est atteint lenseignant récompense et propose des situations dentraiment pour automatiser le nouveau comportement.

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14 Les limites du béhaviorisme Si lobjectif est trop complexe, lenseignant le divise en de nombreux sous objectifs. Ce guidage excessif empêche les élèves de prendre du recul par rapport aux connaissances enseignées. Si lobjectif est trop complexe, lenseignant le divise en de nombreux sous objectifs. Ce guidage excessif empêche les élèves de prendre du recul par rapport aux connaissances enseignées. Quand on lâche la main à lélève il ne sait ni où aller ni comment y aller! Quand on lâche la main à lélève il ne sait ni où aller ni comment y aller! Lacquisition des sous objectifs ne garantit pas lacquisition de lobjectif. (ex: je sais débrayer, freiner, tenir le volant, ça ne garantit pas que je sache conduire) Lacquisition des sous objectifs ne garantit pas lacquisition de lobjectif. (ex: je sais débrayer, freiner, tenir le volant, ça ne garantit pas que je sache conduire)

15 Avantages du béhaviorisme Ce modèle rationalise la construction des séquences denseignement ainsi que lélaboration dévaluations Ce modèle rationalise la construction des séquences denseignement ainsi que lélaboration dévaluations Il favorise lindividualisation de lenseignement Il favorise lindividualisation de lenseignement Enfin lélève est en situation de réussite. Enfin lélève est en situation de réussite.

16 STRUCTURALISME

17 Socio-constructivisme Hypothèse 1 : Hypothèse 1 : Lacquisition de connaissances passe par une interaction entre le sujet et lobjet détude par le biais de la résolution de problème. Lacquisition de connaissances passe par une interaction entre le sujet et lobjet détude par le biais de la résolution de problème. Hypothèse 2 : Hypothèse 2 : La tête de lélève nest jamais vide de connaissances fussent elles erronées. La tête de lélève nest jamais vide de connaissances fussent elles erronées. Hypothèse 3: dans une situation-probléme on met en défaut lancienne connaissance pour en construire une nouvelle. (voire schéma) Hypothèse 4: Lélève narrivera a donner du sens à une connaissance que si elle apparaît comme un outil indispensable pour résoudre des problèmes. Hypothèse 5: Les interaction sociales favorisent lapprentissage (travail en groupe, débat..)

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19 SITUATION-PROBLEME (socioconstructivisme ) La situation-problème occupe une place centrale dans la conception socioconstructiviste. La situation-problème occupe une place centrale dans la conception socioconstructiviste. Caractéristiques liées au problème: Caractéristiques liées au problème: 1- On a repéré un obstacle cest-à-dire une connaissance qui « empêche » lacquisition de la nouvelle. 1- On a repéré un obstacle cest-à-dire une connaissance qui « empêche » lacquisition de la nouvelle. 2- Les élève doivent pouvoir sengager facilement dans la résolution. 2- Les élève doivent pouvoir sengager facilement dans la résolution. 3- Les connaissances anciennes doivent être mise en défaut. 3- Les connaissances anciennes doivent être mise en défaut. 4- Les élèves doivent avoir un moyen de contrôler eux-mêmes leurs résultats. 4- Les élèves doivent avoir un moyen de contrôler eux-mêmes leurs résultats. 5- la nouvelle connaissance doit être loutil le plus adapté à la résolution du problème. 5- la nouvelle connaissance doit être loutil le plus adapté à la résolution du problème. Caractéristiques liées à la gestion de classe Phase de dévolution: lenseignant sassure que les élèves prennent à leur charge le problème Phase daction (souvent en groupe) : les élève mettent en place des procédures souvent implicite. Phase de formulation : les élèves explicitent les procédures utilisées Phase de validation: les élèves vont se convaincre que la solution est valable. Phase dinstitutionnalisation: lenseignant identifie les nouveaux savoirs et savoir-faire, il trie et dit ce quil faut retenir.

20 Les limites du socioconstructivisme Gérer des situations problèmes dans une classe présente des difficultés spécifiques surtout quand leffectif est important. Gérer des situations problèmes dans une classe présente des difficultés spécifiques surtout quand leffectif est important. On utilise les situations problèmes pour quelques concepts il nest pas certain que cette approche soit pertinente pour tous les concepts On utilise les situations problèmes pour quelques concepts il nest pas certain que cette approche soit pertinente pour tous les concepts

21 Avantages de lapproche socioconstructiviste Elle donne un véritable statut à lerreur. Les erreurs repérées comme des obstacles sont des points dappui pour lapprentissage. Elle donne un véritable statut à lerreur. Les erreurs repérées comme des obstacles sont des points dappui pour lapprentissage. Ce modèle prend en compte les conceptions initiales des élèves. Ce modèle prend en compte les conceptions initiales des élèves. Dans ce modèle on donne du sens aux connaissances. Dans ce modèle on donne du sens aux connaissances.

22 Analyse dénoncé et de productions délèves

23 Réponses 1) 1) Résolution algébrique (coté prof ) Résolution algébrique (coté prof ) on résout le système: F = T + 11 et F + T = 73 on résout le système: F = T + 11 et F + T = 73 On trouve donne F = 42 et T = 31 On trouve donne F = 42 et T = 31 lautre problème donne L= 85 et Z = 95 lautre problème donne L= 85 et Z = 95 Résolution arithmétique ( coté élève) Résolution arithmétique ( coté élève) Il donne 11 images à F et répartit équitablement le reste entre F et T Il donne 11 images à F et répartit équitablement le reste entre F et T 73-11= 62 62/2= = = 62 62/2= =42 Résolution par essais On fixe une contrainte ( la différence vaut 11) On ajuste lautre ( la somme vaut 73) Résolution par partage équitable On fait la division Euclienne de 73 par 2 On attribue le reste à F Puis on fait des échanges de T vers F jusquà ce que la contrainte différence soit vérifiée.

24 Réponses (suite) 2) difficultés rencontrées par lélève: 2) difficultés rencontrées par lélève: - gestion et organisation des essais - gestion et organisation des essais - choix de la contrainte à tordre ou à fixer - choix de la contrainte à tordre ou à fixer Toutes les difficultés viennent dune rupture du contrat didactique habituel. Toutes les difficultés viennent dune rupture du contrat didactique habituel.

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26 réponse Groupe A: Groupe A: Il trouve la bonne réponse en utilisant une procédure par essais Il trouve la bonne réponse en utilisant une procédure par essais Groupe B: Groupe B: Il échoue en utilisant une procédure de partage équitable mais ne parvient pas à respecter la contrainte de la différence. Leffet contrat lui fait faire 2 opérations inutiles Il échoue en utilisant une procédure de partage équitable mais ne parvient pas à respecter la contrainte de la différence. Leffet contrat lui fait faire 2 opérations inutiles Groupe C: Il utilise la procédure de partage équitable, commence les échanges et commet une erreur au dernier échange. Groupe D: Il trouve la bonne réponse en utilisant une procédure de partage équitable.

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28 réponse Il alterne les procédures. Il alterne les procédures. Il commence par une procédure de partage équitable 180/2=90 Il commence par une procédure de partage équitable 180/2=90 Puis il respecte la contrainte sur la différence en prélevant 10 à L Puis il respecte la contrainte sur la différence en prélevant 10 à L Puis il partage cette dizaine en 2 et la distribue équitablement. Puis il partage cette dizaine en 2 et la distribue équitablement.

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30 1) compétence: 1) compétence: Reconnaître, identifier les données pertinentes. Reconnaître, identifier les données pertinentes. Mettre en oeuvre un raisonnement. Mettre en oeuvre un raisonnement. Savoir faire une soustraction. Savoir faire une soustraction. 2) difficulté pour un élève de CM2: 2) difficulté pour un élève de CM2: Présence dune donnée inutile Présence dune donnée inutile La situation es difficile à se représenter sous forme de schéma La situation es difficile à se représenter sous forme de schéma 3) analyse des productions élèves Romain : il repère bien les données utiles mais pour lui la réponse est le résultat dun seul calcul, il rupture du contrat didactique. Jerémy ne sait pas quil peut utiliser un résultat intermédiaire. Sélie: elle trouve le bon résultat en posant des additions à trou. Grégory interprète mal les infos données Luel na pas su interpréter les données. Sa réponse na rien à voir avec les calculs quil a posé.

31 Les sources de difficultés dans la résolutions dexercices (côté élèves) Leffet contrat Leffet contrat Les adaptations quil a à réaliser Les adaptations quil a à réaliser La gestion des données La gestion des données Les obstacles épistémologiques Les obstacles épistémologiques

32 Leffet contrat Lélève obéit a une coutume existante dans la classe pour résoudre un certain type de problème. Lélève obéit a une coutume existante dans la classe pour résoudre un certain type de problème. exemple: la diapo 27 la production de Romain. Pour lui, pour trouver le résultat il ne faut quune seule opération et pas deux. exemple: la diapo 27 la production de Romain. Pour lui, pour trouver le résultat il ne faut quune seule opération et pas deux. Par exemple: la diapo 23 la production du groupe B. Il fait des opérations vides de sens car il faut absolument utiliser les données contenues dans lénoncé. Par exemple: la diapo 23 la production du groupe B. Il fait des opérations vides de sens car il faut absolument utiliser les données contenues dans lénoncé.

33 Les différentes adaptations à réaliser dans la résolution de problèmes. A1: les reconnaissances des modalités dapplication des connaissances. A1: les reconnaissances des modalités dapplication des connaissances. A2: lintroduction dintermédiaire ( une notation, un point, une droite qui ne sont pas sur la figure initiale ) A2: lintroduction dintermédiaire ( une notation, un point, une droite qui ne sont pas sur la figure initiale ) A3 : les mélanges de cadres ou notions (pour résoudre un problème de géométrie on est amené à résoudre un problème darithmétique, exemple lagrandissement du puzzle) A3 : les mélanges de cadres ou notions (pour résoudre un problème de géométrie on est amené à résoudre un problème darithmétique, exemple lagrandissement du puzzle) A4: lintroduction détapes dans lorganisation des calculs ou du raisonnement (diapo27) A4: lintroduction détapes dans lorganisation des calculs ou du raisonnement (diapo27) A5: lutilisation des questions précédentes pour résoudre un problème A5: lutilisation des questions précédentes pour résoudre un problème A6: lexistence de choix A6: lexistence de choix A7: manque de nouvelles connaissances ( exemple diapo 20 gestion de la double contrainte ) A7: manque de nouvelles connaissances ( exemple diapo 20 gestion de la double contrainte )

34 La gestion des données La donnée inutile est une source derreurs très classique. ( diapo 27) La donnée inutile est une source derreurs très classique. ( diapo 27)

35 Les obstacles épistémologiques Raisons historiques Raisons historiques Raisons pratiques Raisons pratiques

36 PARTIE B : LES NOMBRES ENTIERS 1 ) Peano, la construction de lN: 1 ) Peano, la construction de lN: la notion de prédécesseur de successeur la notion de prédécesseur de successeur 2 )la notion de collection. 2 )la notion de collection. En début dapprentissage le nombre est associé à un objet. Un nombre correspond à une collection dobjet. En début dapprentissage le nombre est associé à un objet. Un nombre correspond à une collection dobjet. 3 ) les différentes représentations du nombre 3 ) les différentes représentations du nombre Représentation par le dessin une collection dobjet, représentation orale, représentation écrite en lettre, représentation écrite en chiffre. Représentation par le dessin une collection dobjet, représentation orale, représentation écrite en lettre, représentation écrite en chiffre. 4 ) la numération de position 4 ) la numération de position un nombre revêt deux aspects : ordinal et cardinal un nombre revêt deux aspects : ordinal et cardinal

37 Exo 1

38 Correction exo 1 1) évaluation diagnostique: 1) évaluation diagnostique: repère les manques et les acquis, permet la prise de décisions : (remédiation, différenciation, choix dune méthode dapprentissage). repère les manques et les acquis, permet la prise de décisions : (remédiation, différenciation, choix dune méthode dapprentissage). 2) Consigne de lexercice 3: 2) Consigne de lexercice 3: « vous écrivez en chiffre les nombres que je dicte » « vous écrivez en chiffre les nombres que je dicte »

39 Correction exo 1 (suite) 3 et 4 ) Compétences et difficultés 3 et 4 ) Compétences et difficultés Exo1 : Exo1 : Compétence = dénombrer Compétence = dénombrer Difficultés = taille de la collection et emplacement en vrac des objets Difficultés = taille de la collection et emplacement en vrac des objets EXo2 : EXo2 : Compétence= encadrer à lunité + connaître prédécesseur et successeur dans lN Compétence= encadrer à lunité + connaître prédécesseur et successeur dans lN Difficultés = la consigne est implicite + la présence du 0 et du 9 comme chiffre des unités qui peut faire obstacle au prédécesseur et successeur Difficultés = la consigne est implicite + la présence du 0 et du 9 comme chiffre des unités qui peut faire obstacle au prédécesseur et successeur Exo6: Exo6: compétence = produire des suites écrites compétence = produire des suites écrites Difficulté = consigne implicite Difficulté = consigne implicite Exo3: Compétence= associer représentation orale et écrite du nombre Difficultés = présence de 0 intercalé (709) + rupture entre numération orale et écrite (comptine de Tchou). Exo4: Compétence =Ranger des nombres Difficultés = choix de la technique à utiliser(on repère le rang ou on se réfère la comptine numérique) Exo5: Compétence:comprendre la numération de position Difficulté: si le travail sur les objets na pas été fait lécriture pas de sens pour l élève

40 Exo 2:

41 Réponses exo 2 1) interprétation des réussites différentes 1) interprétation des réussites différentes Dans le second nombre quand on le lit on nentend pas le fait qu il ny ait pas de centaine et de dizaine de milliers et de centaine dunités. Dans le second nombre quand on le lit on nentend pas le fait qu il ny ait pas de centaine et de dizaine de milliers et de centaine dunités. 2) interprétation des erreurs 2) interprétation des erreurs = simple inversion de mot = simple inversion de mot = lélève essaie décrire tous les nombres quil entend = lélève essaie décrire tous les nombres quil entend. 3) la consigne du maître 3) la consigne du maître Dans les 2 cas la consigne du maître est respectée (dans le premier cas il entend 200 au lieu de 2) Dans les 2 cas la consigne du maître est respectée (dans le premier cas il entend 200 au lieu de 2) 4 et 5 ) Comment invalider les réponses fausses? 4 et 5 ) Comment invalider les réponses fausses? On distinguant le rang du cardinal, en montrant linsuffisance de la convention je mets un espace (ex ; ) On distinguant le rang du cardinal, en montrant linsuffisance de la convention je mets un espace (ex ; )


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