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9/11/2004 HEB DEFRE 1 enjeux, apports et méthodologie Exposé critique dune expérience réalisée au cours de mathématique avec des étudiants de 3 e régendat.

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1 9/11/2004 HEB DEFRE 1 enjeux, apports et méthodologie Exposé critique dune expérience réalisée au cours de mathématique avec des étudiants de 3 e régendat mathématique Par Rachel BEX et Nadia PARONI Enseigner avec les TIC

2 9/11/2004 HEB DEFRE 2Objectifs Responsabiliser les étudiants en les rendant acteurs de leur formation Responsabiliser les étudiants en les rendant acteurs de leur formation Susciter lintégration des TICE dans les pratiques professionnelles des futurs enseignants Susciter lintégration des TICE dans les pratiques professionnelles des futurs enseignants Montrer la diversité des points de vue dune même matière Montrer la diversité des points de vue dune même matière

3 9/11/2004 HEB DEFRE 3 Démarche (1) Choix dun sujet pour lequel lutilisation des TICE permet des développements enrichissants Choix dun sujet pour lequel lutilisation des TICE permet des développements enrichissants Les Coniques Consultation de références : Internet, livres, CD, monographies, … Consultation de références : Internet, livres, CD, monographies, … nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Coniques/Index_coniques.html nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Coniques/Index_coniques.html abc30/nxes3.html abc30/nxes3.html

4 9/11/2004 HEB DEFRE 4 Démarche (2) Organisation et agencement de la matière Organisation et agencement de la matière Choix des outils utilisables : Choix des outils utilisables : –Power Point, –Cabri géomètre, –Excel, –papier, crayon, compas, règle –Calculatrice graphique, …

5 9/11/2004 HEB DEFRE 5Démarche(3) Découpage et répartition de la matière en vue de permettre aux étudiants de – réfléchir, – émettre des hypothèses, – construire, – calculer, – démontrer, – justifier … et aussi de participer régulièrement à la progression de la leçon.

6 9/11/2004 HEB DEFRE 6 Définition bifocale L'hyperbole est le lieu des points dont la différence en valeur absolue des distances à deux points fixes F et F' est égale à une constante notée 2a. Construction réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier ||MF|-|MF|| = 5,77 |AA| = 5,77 ||MF|-|MF|| = 5,77

7 9/11/2004 HEB DEFRE 7 Éléments caractéristiques dune hyperbole Les points F et F sont ses foyers. Les points F et F sont ses foyers. d(FF) = 2c Laxe qui comprend les foyers est laxe focal ou transverse. Cest un axe de symétrie de lhyperbole. Laxe qui comprend les foyers est laxe focal ou transverse. Cest un axe de symétrie de lhyperbole. la médiatrice de [FF] appelée axe non focal est aussi un axe de symétrie la médiatrice de [FF] appelée axe non focal est aussi un axe de symétrie lintersection O des axes focal et non focal est un centre de symétrie lintersection O des axes focal et non focal est un centre de symétrie Si M est un point de lhyperbole, on a Si M est un point de lhyperbole, on a |d(MF) – d(MF)| = 2a. Les points dintersection de lhyperbole avec laxe focal sont ses sommets. 2a est donc la distance de A à A. Les points dintersection de lhyperbole avec laxe focal sont ses sommets. 2a est donc la distance de A à A. |AA| = 5,77 cm ||MF|-|MF|| = 5,77 cm réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier

8 9/11/2004 HEB DEFRE 8 Éléments caractéristiques dune hyperbole Comme 2a < 2c, b est le nombre tel que b² + a² = c²Comme 2a < 2c, b est le nombre tel que b² + a² = c² réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Il existe, comme dans lellipse, une constante b. Comment la définir?

9 9/11/2004 HEB DEFRE 9 Équation réduite dune hyperbole avec laxe OX des abscisses est laxe focal laxe OX des abscisses est laxe focal Laxe OY des ordonnées est laxe perpendiculaire à laxe focal passant par le milieu de [F F] Laxe OY des ordonnées est laxe perpendiculaire à laxe focal passant par le milieu de [F F] réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier

10 9/11/2004 HEB DEFRE 10 Les asymptotes réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Une hyperbole admet 2 asymptotes obliques Quelles sont leurs équations?

11 9/11/2004 HEB DEFRE 11 Constructions associées Lhyperbole du jardinier est obtenue à laide de 2 ficelles attachées à une extrémité en F et F, tenues tendues à lautre extrémité ensemble et enfilées dans un anneau dans lequel passe un crayon Tracé par contre parallélogramme articulé formé de deux triangles symétriques Construction de lhyperbole du jardinier Construction par contre parallélogramme réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier

12 9/11/2004 HEB DEFRE 12Démarche(4) Création ou choix dans les références retenues, Création ou choix dans les références retenues, –danimations, danimations –dillustrations claires, pertinentes et agréables à la vue, dillustrations claires, pertinentes et agréables à la vuedillustrations claires, pertinentes et agréables à la vue –de textes bien adaptés de textes bien adaptésde textes bien adaptés

13 9/11/2004 HEB DEFRE 13 Trace-hyperbole de Cavalieri Trace- hyperbole de Delaunay Équation cartésienne dune hyperbole

14 9/11/2004 HEB DEFRE 14

15 9/11/2004 HEB DEFRE 15 Quel est le mouvement du point Q de la porte? Illustration des théorèmes belges (de Dandelin et Quételet)

16 9/11/2004 HEB DEFRE 16 Définition des coniques par courbe d'équidistance entre un point et un cercle généralisé. Les coniques sont les lieux des points équidistants dun point fixe (un foyer) et dun cercle ou d'une droite (D) (le cercle directeur ou la directrice); autrement dit, ce sont les lieux du centre dun cercle variable astreint à passer par un point fixe et à être tangent à (D). Lorsque le foyer est intérieur au cercle, on obtient les ellipses, extérieur les hyperboles, et lorsque (D) est une droite : la parabole. D D D

17 9/11/2004 HEB DEFRE 17 Bénéfices (1) Prise de conscience par les étudiants des différents angles sous lesquels on peut envisager un même sujet et des enrichissements mutuels quils se procurent. Ici, les points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio- économique, technique et littéraire se rencontrent et coexistent Prise de conscience par les étudiants des différents angles sous lesquels on peut envisager un même sujet et des enrichissements mutuels quils se procurent. Ici, les points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio- économique, technique et littéraire se rencontrent et coexistentpoints de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio- économique, technique et littéraire points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio- économique, technique et littéraire

18 9/11/2004 HEB DEFRE 18 La même figure de la main de kepler La trajectoire d'une particule soumise à une force centrée en F proportionnelle à 1/MF 2 est une conique de foyer F : points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio-économique, technique et littéraire

19 9/11/2004 HEB DEFRE 19 Les coniques sont des courbes étudiées par Menechme en 400 avant J.C., Archimède, Appolonius, Kepler etc... Les coniques sont des courbes étudiées par Menechme en 400 avant J.C., Archimède, Appolonius, Kepler etc... Les coniques à centre, dans un repère d'origine le centre et d'axe des abscisses l'axe focal ont comme équation cartésienne : Les coniques à centre, dans un repère d'origine le centre et d'axe des abscisses l'axe focal ont comme équation cartésienne : (1 – e²) x² + y² = (1 - e²) a². Définition (géométrique) des Grecs : les coniques sont les sections dun cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. Définition (géométrique) des Grecs : les coniques sont les sections dun cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. D'après les lois de la réflexion, tout rayon lumineux pointant sur l'un des foyers, est réfléchi par l'hyperbole dans une direction passant par l'autre foyer. Cest le principe du télescope de Cassegrain. D'après les lois de la réflexion, tout rayon lumineux pointant sur l'un des foyers, est réfléchi par l'hyperbole dans une direction passant par l'autre foyer. Cest le principe du télescope de Cassegrain. points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio-économique, technique et littéraire

20 9/11/2004 HEB DEFRE 20 Etymologie : du grec ellipsis = déficient, défectueux, par opposition à l'hyperbole. Ainsi ellipse apparaît antinomique à hyperbole. Ces termes sont d'Apollonius de Perge. Etymologie : du grec ellipsis = déficient, défectueux, par opposition à l'hyperbole. Ainsi ellipse apparaît antinomique à hyperbole. Ces termes sont d'Apollonius de Perge. lien littéraire : Lhyperbole est une figure de style qui consiste à amplifier une idée pour la mettre en relief. Il s'agit d'une exagération. lien littéraire : Lhyperbole est une figure de style qui consiste à amplifier une idée pour la mettre en relief. Il s'agit d'une exagération. Exemples: Briller de mille feux, mourir de soif, avoir trois tonnes de boulot, se faire tuer par sa mère en rentrant points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio-économique, technique et littéraire

21 9/11/2004 HEB DEFRE 21 Bénéfices (2) Travail individuel favorisant la réflexion et la confrontation des résultats Travail individuel favorisant la réflexion et la confrontation des résultats Situations et figures claires et précises, impossibles au tableau Situations et figures claires et précises, impossibles au tableau Disponibilité de lenseignant dégagé de son tableau Disponibilité de lenseignant dégagé de son tableau Résolution de problèmes divers Résolution de problèmes divers –Construction dune hyperbole équilatère Construction dune hyperbole équilatèreConstruction dune hyperbole équilatère –Mener les tangentes à une hyperbole par un point extérieur à lhyperbole

22 9/11/2004 HEB DEFRE 22 Possibilité, dans Cabri Géomètre, –demployer lhistorique présent pour revoir, pas à pas, toutes les constructions qui ont été réalisées Construction dune conique à partir des 2 foyers et dune tangente Construction dune conique à partir des 2 foyers et dune tangente –de montrer différentes figures dune même situation en faisant varier certains paramètres Variation de lexcentricité Variation de lexcentricité –de créer et utiliser des macros selon les besoins Tangente à une ellipse Tangente à une ellipse Bénéfices (3)

23 9/11/2004 HEB DEFRE 23 Possibilité, dans Power Point, –de rompre la séquence et dinsérer des liens hypertextes pour naviguer dans la présentation –de faire des liens vers Cabri, vers Internet Bénéfices (4)

24 9/11/2004 HEB DEFRE 24 Possibilités dans Excel - de créer des coniques point par point - de faire des exercices parabole Bénéfices (5)

25 9/11/2004 HEB DEFRE 25Remarques Tout doit être essayé, vérifié : tout ce qui se trouve sur Internet nest pas correct, même si le site est sérieux Tout doit être essayé, vérifié : tout ce qui se trouve sur Internet nest pas correct, même si le site est sérieux Quest-ce? Difficulté de choisir et de structurer la masse dinformation Difficulté de choisir et de structurer la masse dinformation Certaines images animées ne sont pas « chargeables » Certaines images animées ne sont pas « chargeables » Il faut prévoir plus dheures de cours que pour un cours « normal » Il faut prévoir plus dheures de cours que pour un cours « normal » Il faut prévoir 200 heures de préparation pour 30 heures de cours Il faut prévoir 200 heures de préparation pour 30 heures de cours

26 9/11/2004 HEB DEFRE 26 Conseils (1) Bien balancer les temps dinformation et les temps dactivité personnelle des étudiants Bien balancer les temps dinformation et les temps dactivité personnelle des étudiants Il faut oser se lancer, on apprend au fur et à mesure : chaque préparation est meilleure que la précédente, tirant avantage des essais et erreurs antérieurs Il faut oser se lancer, on apprend au fur et à mesure : chaque préparation est meilleure que la précédente, tirant avantage des essais et erreurs antérieurs Parabole Ellipse

27 9/11/2004 HEB DEFRE 27 Tangente en un point paraFD.mac Parab6 paraFD.mac Parab6 Conclusion : en tout point P dune parabole, existe une tangente qui est la médiatrice de [FM] si M est la projection orthogonale de P sur la directrice. Conclusion : en tout point P dune parabole, existe une tangente qui est la médiatrice de [FM] si M est la projection orthogonale de P sur la directrice. Construction1: cf. 1e construction de la parabole (parab7) Construction1: cf. 1e construction de la parabole (parab7) Construction2: (parab8) Construction2: (parab8) Construction des tangentes parallèles à une droite donnée d (parab9) Construction des tangentes parallèles à une droite donnée d (parab9)

28 9/11/2004 HEB DEFRE 28 La tangente en M est la médiatrice du segment FM, si M appartient au cercle directeur La tangente en M est la médiatrice du segment FM, si M appartient au cercle directeur Son équation est Son équation est Tangentes à une ellipse si M(x0,y0) Tangentes.fig Tangentes.figTangentes.fig

29 9/11/2004 HEB DEFRE 29 Conseils (2) Chaque étudiant doit disposer dun ordinateur Chaque étudiant doit disposer dun ordinateur Chaque étudiant peut disposer de notes de cours qui sont limpression (3 dias par page) des écrans de la présentation avec de lespace pour noter ses propres commentaires. Chaque étudiant peut disposer de notes de cours qui sont limpression (3 dias par page) des écrans de la présentation avec de lespace pour noter ses propres commentaires.

30 9/11/2004 HEB DEFRE 30 Nous espérons que cette présentation vous aura intéressé et vous aidera à concevoir dautres cours utilisant les TICE. Nous espérons que cette présentation vous aura intéressé et vous aidera à concevoir dautres cours utilisant les TICE. Nadia Paroni et Rachel Bex


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