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1 Signaux et Analyse de Fourier F.Bister Champs sur Marne UE2 - Culture Technologique et Développement Multimédia M21 - Culture Scientifique et Traitement.

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1 1 Signaux et Analyse de Fourier F.Bister Champs sur Marne UE2 - Culture Technologique et Développement Multimédia M21 - Culture Scientifique et Traitement de lInformation Matière: Représentation de linformation

2 I.Définitions2 Variable temps :t s 1. Information ? T 0 2T 0 3T 0 4T 0 5T 0 6T 0 … horloge Information binaire

3 I. Définitions3 Signal sonore Signal électrique Signal physique électromagnétique de transmission Antenne Commentateur radio Micro Câbles Transmission analogique Antenne Câbles Haut-parleur Auditeur 2. Transmission

4 I. Définitions4 Modem tension temps tension Signal de transmission - Analogique - Sinusoïdal par morceaux Signal de transmission - Analogique - Constant par morceaux, dit bande de base Information Numérique 2. Transmission Transmission Numérique

5 I. Définitions5 4. Signal Périodique Signal carré Signal sinusoïdal t s T T s t

6 I. Définitions6 1. Cosinus Ts t s = cos(2 Ft) 0 1 Ts t s =A.cos(2 Ft) 0 A -A

7 II. Les signaux sinusoïdaux7 T s t s =A.cos(2 Ft)+B 0 A+B -A+B B B 0 s T t notes moyenne moyenne 1. Cosinus

8 II. Les signaux sinusoïdaux8 T s t s=A.cos(2 Ft+ )+B (A>0; B>0) 0 A+B -A+B B B = moyenne F = fréquence en Hertz (Hz) t = variable temps en seconde (s) A = Amplitude (par rapport à la moyenne) 2 Ft+ = phase = phase initiale en radian (rad) Acos( ) A 1. Cosinus

9 II. Les signaux sinusoïdaux9 2. Sinus Ts t s = sin(2 Ft) 0 1 Ts t s =A.sin(2 Ft) 0 A -A

10 II. Les signaux sinusoïdaux10 T s t s=A.sin(2 Ft+ )+B (A>0; B>0) 0 A+B -A+B B B = moyenne F = fréquence en Hertz (Hz) t = variable temps en seconde (s) A = Amplitude (par rapport à la moyenne) 2 Ft = phase = phase initiale en radian (rad) Asin( ) A 2. Sinus

11 III. Analyse de Fourier11 1. Représentation temporelle Pression acoustique temps

12 III. Analyse de Fourier12 Au début du 19ème siècle un mathématicien de génie, le Baron Joseph Fourier né à Auxerre en 1768, découvrit une méthode mathématique d'analyse des phénomènes périodiques complexes, utilisée maintenant par les physiciens sous le nom de «décomposition en série de Fourier» ou «d analyse spectrale» ou «danalyse de Fourier». Cette méthode a des applications si universelles qu'actuellement Joseph Fourier est l'auteur scientifique le plus cité au monde avant Einstein. En plus de ses activités scientifiques, Joseph Fourier joua un rôle dans la vie politique: en 1798, il accompagna le corps expéditionnaire français en Egypte et devint administrateur civil de l'Egypte en août De retour en France en 1802, il fut nommé par Napoléon préfet à Grenoble. 2. Théorème de Fourier

13 III. Analyse de Fourier13 2. Théorème de Fourier g(t) est périodique de fréquence F g(t) = a 0 +a 1.cos(2 Ft)+ a 2.cos(2 2Ft)+ a 3.cos(2 3Ft)+…+ a n.cos(2 nFt)+ … + b 1.sin(2 Ft)+ b 2.sin(2 2Ft)+ b 3.sin(2 3Ft)+…+ b n.sin(2 nFt)+ … a cos b sin Indice n nF pas de b 0

14 III. Analyse de Fourier14 g(t) = a 0 + a 1.cos(2 Ft) + a 2.cos(2 2Ft) + … + a n.cos(2 nFt)+ … + b 1.sin(2 Ft) + b 2.sin(2 2Ft) + … + b n.sin(2 nFt)+ … 4. Fabriquer g(t) Signaux connus Pour « fabriquer » g(t) avec un logiciel

15 III. Analyse de Fourier15 g(t) = a 0 + a 1.cos(2 Ft) + a 2.cos(2 2Ft) + … + a n.cos(2 nFt)+… + b 1.sin(2 Ft) + b 2.sin(2 2Ft) + … + b n.sin(2 nFt)+ … 5. Calculer les coefficients Signal périodique connu par lintermédiaire de sa représentation temporelle donc de son écriture mathématique Permet de calculer les coefficients de Fourier, donc permet de trouver lexpression de la somme de Fourier. Avec un ordinateur.

16 III. Analyse de Fourier16 5. Calculer les coefficients Comment fait lordinateur? g(t) t T

17 III. Analyse de Fourier17 g(t) = a 0 + a 1.cos(2 Ft) + a 2.cos(2 2Ft) + … + a n.cos(2 nFt)+ … + b 1.sin(2 Ft) + b 2.sin(2 2Ft) + … + b n.sin(2 nFt)+ … a 0 = a 0.1 = a 0 cos(0) = a 0 cos(2 0t). a0a0 a1a1 a2a2 a4a4 0 F 2.F 3.F 4.F 5.F... a3a3 f anan b1b1 b2b2 b4b4 b3b3 f bnbn a5a5 Spectre a n (f) Spectre b n (f) F 6. Spectre

18 III. Analyse de Fourier18 7. Exemple important Spectre a n (f) a0a0 a1a1 a2a2 a4a4 0 F 2.F 3.F 4.F 5.F 6F 7F a3a3 f a5a5 anan g(t) = ( 2 / ).sin(2 Ft) + ( 2 /(3 ) ).sin(2 3Ft) + ( 2/(5 ) ).sin(2 5Ft) + ( 2/(7 ) ).sin(2 7Ft) … a n =0 quelque soit nb n = 2 / (n ) quelque soit n impair b n =0 quelque soit n pair non nul 0,5 -0,5 g(t) t T=1/F Représentation temporelle b1b1 b2b2 b4b4 0 F 2.F 3.F 4.F 5.F 6F 7F b3b3 f b5b5 Spectre b n (f) bnbn 2/ 2/3 2/5

19 III. Analyse de Fourier19 8. Exemple: note de piano t Pression acoustique t

20 III. Analyse de Fourier20 9. Spectre dun Signal non Périodique g(t) périodique t T=1/F h(t) non périodique t T=1/F T augmente F diminue

21 III. Analyse de Fourier21 9. Spectre dun Signal non Périodique Spectre f F T augmente F diminue b1b1 b2b2 b4b4 0 F 2.F 3.F 4.F 5.F 6F 7F b3b3 f b5b5 bnbn 2/ 2/3 2/5

22 III. Analyse de Fourier22 9. Spectre dun Signal non Périodique Spectre f F diminue

23 III. Analyse de Fourier23 9. Spectre dun Signal non Périodique Spectre f

24 III. Analyse de Fourier24 9. Spectre dun Signal non Périodique Spectre f - Spectre continu - Somme continue de signaux sinusoïdaux

25 III. Analyse de Fourier25 9. Spectre dun Signal non Périodique Spectre f - Spectre continu - Somme continue de signaux sinusoïdaux

26 Bilan C n (f) 0 F 2F 3F 4F 0 f max f F (f) f Signal non périodiqueSignal périodique F F 0 0 F 2F 3F….nF Intervalle continu de fréquence [0;fmax] Spectre discretSpectre continu Coefficients Cn(f) Transformée de Fourier F (f) = fonction mathématique continue Somme discrète de signaux sinusoïdaux Somme continue de signaux sinusoïdaux Bande de fréquences principale BFP f1f1 f2f2


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