La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Les signaux1 Les Signaux F. Bister - A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Culture Scientifique et Traitement de lInformation Module 2112 – Représentation.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Les signaux1 Les Signaux F. Bister - A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Culture Scientifique et Traitement de lInformation Module 2112 – Représentation."— Transcription de la présentation:

1 Les signaux1 Les Signaux F. Bister - A. Quidelleur SRC1 Meaux Culture Scientifique et Traitement de lInformation Module 2112 – Représentation de linformation

2 Les signaux2 Plan Définitions Les signaux sinusoïdaux Analyse de Fourier Valeur moyenne et puissance moyenne dun signal

3 Les signaux3 Définitions Télécommunications Information Signal Fonction Information et Transmission Analogique Information et Transmission Numérique Signal déterministe / Signal aléatoire Signal Périodique

4 Les signaux4 Télécommunications / Information Télécommunications : ensemble des moyens et systèmes permettant lacheminement aussi fidèle que possible dinformations entre deux points. Linformation est physiquement représentée par un signal qui se traduit par une manifestation physique, capable de se propager dans un milieu donné. Ex: signal sonore (pression acoustique), signal lumineux (onde électromagnétique), signal bande de base (signal électrique)… canalRécepteur Source dinformation bruit Emetteur Destinataire Message émisMessage reçu Signal émis Signal reçu

5 Les signaux5 Exemple Ligne téléphonique bruit Combiné téléphonique Mots dits Pression acoustique Message reçu Pression acoustique Courant électrique Cordes vocales Personne Mots pensés = message Courant électrique Combiné téléphonique Oreille Personne Mots compris = message EmetteurRécepteur

6 Les signaux6 Fonction La fonction représente mathématiquement le signal en fonction de la variable temps « t ». Intensité du courant électrique : i(t) Tension électrique : v(t) Pression : p(t) … v(t) t

7 Les signaux7 Information analogique / Information discrète Une information analogique est représentée par un signal continu dans le temps qui peut prendre nimporte quelle valeurs entre - et +. Une information numérique est une information discrète (cest- à-dire définie seulement pour certaines valeurs du temps) qui ne peut prendre quun nombre fini de valeurs distinctes. Ex: la suite de bits cadencée par une horloge de durée T0. t1 t2 t s(t) T 0 2T 0 3T 0 4T 0 5T 0 6T 0 … horloge Information binaire

8 Les signaux8 Transmission analogique / Transmission numérique Transmission analogique linformation à transmettre est analogique Transmission numérique linformation à transmettre est numérique Le signal physique utilisé lors dune transmission est toujours analogique, mais linterprétation du signal effectuée au niveau du récepteur diffère suivant le type dinformation. Signal analogique Récepteur- Interprétation Information Numérique Information analogique

9 Les signaux9 La transmission numérique : exemple Modem tension temps tension Signal - Analogique - Sinusoïdal par morceaux Signal - Analogique - Constant par morceaux, dit bande de base Interprétation : Information Numérique Interprétation : Information Numérique

10 Les signaux10 La transmission analogique : exemple Interprétation: Information Analogique Signal sonoreSignal électrique Signal électromagnétique Antenne Commentateur radio Micro Câbles Antenne Câbles Haut-parleur Auditeur Signal sonore Signal électrique

11 Les signaux11 Signaux déterministes / Signaux aléatoires Lancé de dé = message aléatoire Partition de piano = message déterministe Signal déterministe : qui peut être décrit par des relations mathématiques explicites. Ex.: un signal sinusoïdal s(t) = sin(2 Ft) Signal aléatoire : dont lévolution suit une loi de probabilité. Signaux associés à des expériences non reproductibles, pas de relation explicite pour décrire les phénomènes physiques. Ex. : Agitation thermique des électrons dans un conducteur électrique ; Parasites électromagnétiques sur une ligne de transmission Dans la nature aucun signal nest déterministe ! Malgré tout, les signaux déterministes serviront de modèles pour décrire les phénomènes physiques, en particulier la transmission dinformations.

12 Les signaux12 Signal périodique Signal périodique : signal analogique qui possède un motif élémentaire qui se répète dans le temps. Période T : durée du motif élémentaire. Unité : la seconde (s) Fréquence F : nombre de motifs élémentaires en 1 seconde. Unité : le Hertz (Hz) t s T T s t Signal carré Signal sinusoïdal

13 Les signaux13 Les signaux sinusoïdaux

14 Les signaux14 Rappels de trigonométrie Considérons un point A tournant indéfiniment sur le cercle trigonométrique. Le point A part de I à linstant t = 0. Il fait un tour en T secondes. On note (xA,yA) ses coordonnées dans le repère orthonormal (O, I, J). On note à linstant t. On définit le cosinus de langle par On définit le sinus de langle par NB : Si besoin, revoir le cours dharmonisation mathématiques…

15 Les signaux15 Les fonctions sinus et cosinus Une période du phénomène dure T secondes. En une période le point A décrit un angle de 2 radians. et t sont liés par la relation Représentation temporelle de cos et sin t 1 0 T -T 2 -2 t 1 0 T -T 2 -2 période T

16 Les signaux16 Représentation temporelle du cosinus 0 T A -A t 0 A est lamplitude du signal.

17 Les signaux17 Représentation temporelle du cosinus 0 T B+A B-A t 0 B A A B est la valeur moyenne du signal.

18 Les signaux18 Représentation temporelle du sinus 0 T A -A 0 t A est lamplitude du signal.

19 Les signaux19 Représentation temporelle du sinus 0 T B+A B-A 0 t B A A B est la valeur moyenne du signal.

20 Les signaux20 Phase initiale 0 T B-A t 0 B B+A 2 0 On nomme 2 Ft la phase instantanée et la phase initiale du signal. Elles sexpriment en radian. Quand la phase initiale est non nulle, la courbe représentative du signal est translatée selon laxe des abscisses vers la gauche si >0 Vers la droite sinon

21 Les signaux21 Analyse de Fourier

22 Les signaux22 Représentation temporelle dun signal Cest la représentation la plus courante : elle consiste à représenter le signal en fonction de la variable temps. Il existe une autre représentation, moins courante, qui permet de « voir » des propriétés du signal que la représentation temporelle ne permet pas. Pression acoustique temps

23 Les signaux23 Un peu dhistoire : Joseph Fourier Au début du 19ème siècle un mathématicien de génie, le Baron Joseph Fourier né à Auxerre en 1768, découvrit une méthode mathématique d'analyse des phénomènes périodiques complexes, utilisée maintenant par les physiciens sous le nom de « décomposition en série de Fourier » ou encore sous le nom « danalyse spectrale » ou « danalyse de Fourier ». Cette méthode a des applications si universelles qu'actuellement Joseph Fourier est l'auteur scientifique le plus cité au monde avant Einstein. En plus de ses activités scientifiques, Joseph Fourier joua un rôle dans la vie politique: en 1798, il accompagna le corps expéditionnaire français en Egypte et devint administrateur civil de l'Egypte en août De retour en France en 1802, il fut nommé par Napoléon préfet à Grenoble.

24 Les signaux24 Le théorème de Fourier Tout signal périodique s(t), de période T, de fréquence F, borné, est égal à une somme infinie de fonctions sinusoïdales de fréquence f = nF, n étant un entier positif ou nul. Ce théorème sapplique donc à des signaux analogiques.

25 Les signaux25 Comment la somme est-elle construite ? s(t) est périodique, de fréquence F s(t) = a 0 + a 1.cos(2 Ft)+ a 2.cos(2 2Ft)+ a 3.cos(2 3Ft)+…+ a n.cos(2 nFt)+ … + b 1.sin(2 Ft)+ b 2.sin(2 2Ft)+ b 3.sin(2 3Ft)+…+ b n.sin(2 nFt)+ … a cos b sin Indice n nF pas de b 0

26 Les signaux26 Définitions s(t) = a0 + a1.cos(2 Ft) + a2.cos(2 2Ft) + a3.cos(2 3Ft)+…+ an.cos(2 nFt)+ … + b1.sin(2 Ft)+ b2.sin(2 2Ft)+ b3.sin(2 3Ft)+…+ bn.sin(2 nFt)+ … Certains coefficients ai et bi peuvent être nuls Ex. : s(t)= a0+ a1.cos(2 Ft) Les coefficients a0, a1, a2, a3…an et b1, b2, b3 …bn sont appelés coefficients de (la série de) Fourier du signal s(t) a0 est la valeur moyenne de s(t) Ex. : s(t) = A.sin(2 Ft) + B F est la fréquence fondamentale de s(t), cest aussi la fréquence ( tout court…) du signal s(t) nF sont les fréquences harmoniques de s(t)

27 Les signaux27 Fabriquer s(t) On peut fabriquer un signal périodique s(t) en additionnant les signaux sinusoïdaux définis par les coefficients de Fourier, les fréquences fondamentale et harmoniques. Fabriquer = faire la somme mathématique ( avec un ordinateur ou des générateurs de signaux électriques) Signaux connus Pour « fabriquer » avec un logiciel s(t) = a 0 + a 1.cos(2 Ft) + a 2.cos(2 2Ft) + … + a n.cos(2 nFt)+ … + b 1.sin(2 Ft) + b 2.sin(2 2Ft) + … + b n.sin(2 nFt)+ …

28 Les signaux28 Calculer les coefficients On peut calculer les coefficients de Fourier dun signal s(t) (connu) : s(t) = a 0 + a 1.cos(2 Ft) + a 2.cos(2 2Ft) + … + a n.cos(2 nFt)+ … + b 1.sin(2 Ft) + b 2.sin(2 2Ft) + … + b n.sin(2 nFt)+ … Signal périodique connu par lintermédiaire de sa représentation temporelle Permet de calculer les coefficients de Fourier, donc permet de trouver lexpression de la somme de Fourier. Avec un ordinateur.

29 Les signaux29 Calculer les coefficients Remarque : La notation signifie « intégrale sur un intervalle de longueur T ». Par exemple [0;T], ou [-T/2 ; T/2] ou [-T/4 ; 3T/4], etc. … s(t) t T

30 Les signaux30 Décomposition en série de Fourier La somme de signaux sinusoïdaux est appelée aussi somme de Fourier ou décomposition en série de Fourier du signal s(t), elle est unique pour le signal étudié et aucun autre signal n'a la même décomposition de Fourier.

31 Les signaux31 Spectre Définition: cest la représentation graphique des termes de Fourier présents dans la somme. Il existe deux spectres : celui qui donne la représentation des coefficients a n et celui qui donne la représentation des coefficients b n Représentations en fonction de la variable fréquence Intérêt pratique par rapport à lécriture complète de la somme de Fourier.

32 Les signaux32 Deux spectres : a n (f) et b n (f) a 0 = a 0 1 = a 0 cos(0) = a 0 cos(2 0Ft) s(t) = a 0 + a 1.cos(2 Ft)+ a 2.cos(2 2Ft)+ a 3.cos(2 3Ft)+…+ a n.cos(2 nFt)+ … + b 1.sin(2 Ft)+ b 2.sin(2 2Ft)+ b 3.sin(2 3Ft)+…+ b n.sin(2 nFt)+ … Fréquence F

33 33 Deux spectres : a n (f) et b n (f) Dans la somme de Fourier chaque coefficient de Fourier est associé à une fréquence ( nulle, fondamentale ou harmonique ), qu'on appellera fréquence associée : s(t) = a 0 + a 1.cos(2 Ft)+ a 2.cos(2 2Ft)+ a 3.cos(2 3Ft)+…+ a n.cos(2 nFt)+ … + b 1.sin(2 Ft)+ b 2.sin(2 2Ft)+ b 3.sin(2 3Ft)+…+ b n.sin(2 nFt)+ … a 0 est associé à la fréquence nulle a 1 est associé à la fréquence fondamentale F a 2 est associé à la fréquence harmonique 2.F a 3 est associé à la fréquence harmonique 3.F etc… b 1 est associé à la fréquence fondamentale F b 2 est associé à la fréquence harmonique 2.F b 3 est associé à la fréquence harmonique 3.F etc…

34 Les signaux34 Représentations dun signal On utilise aussi le nom de « représentation fréquentielle » pour parler du spectre d'un signal. Ainsi un signal peut être connu grâce à sa représentation en fonction de la variable "temps" = représentation temporelle, ou à ses 2 représentations en fonction de la variable "fréquence" = 2 représentations fréquentielles = 2 spectres Ces deux représentations sont rigoureusement équivalentes.

35 Les signaux35 Exemple important : le signal carré T 0 1 s(t) t F3F5F7F9F 0.5 bnbn f F3F5F7F9F 0.5 anan f

36 Les signaux36 Spectres amplitude et argument On montre par le calcul que lon peut aussi écrire un signal décomposable en série de Fourier sous la forme On passe de lexpression à cette nouvelle écriture en posant S 0 = a 0

37 Les signaux37 Spectres amplitude et argument Cette nouvelle écriture permet de tracer deux nouveaux spectres, strictement équivalents aux spectres a n et b n. Spectre amplitude : représentation de Sn en fonction de la fréquence nF associée Spectre argument : représentation de n en fonction de la fréquence nF associée Exemple : Spectres amplitude et argument du signal carré f SnSn 0 0 F3F5F0 F n f

38 Les signaux38 Exemple : note de piano t Pression acoustique

39 Les signaux39 Quel est lintérêt des spectres? Les signaux sont amenés à passer « au travers » de systèmes comme les filtres. Que deviennent les signaux? On connaîtra la réponse grâce aux propriétés du système spectres du signal Ex. : Les modems ADSL utilisent une technologie appelée « modulation multi-porteuse » dont lexplication passe par lobservation du spectre du signal modulé.

40 Les signaux40 Effet dun déphasage sur les spectres Considérons le signal carré précédent déphasé de. On note s d le nouveau signal obtenu. T 0 1 s(t) t T 0 1 s d (t) t

41 Les signaux41 Effet dun déphasage sur les spectres Signal carré s(t) Signal carré déphasé s d (t) bnbn f 0,5 0 0 F3F5F f 0,5 0 0 F3F5F anan anan f bnbn 0 0 F3F5F 0,5 f 0 0 F

42 Les signaux42 Effet dun déphasage sur les spectres f SnSn 0 0 F3F5F0 F n f n 0 F f f SnSn 0 0 F3F5F Signal carré s(t) Signal carré déphasé s d (t)

43 Les signaux43 Effet dun déphasage sur les spectres On constate que : Les spectres a n et b n de deux signaux de même nature mais déphasés sont différents. Les spectres S n de deux signaux de même nature mais déphasés sont identiques. Le spectre amplitude permet de connaître la nature dun signal. Le spectre argument porte linformation de phase.

44 Les signaux44 Et pour un signal non périodique ? Approche intuitive On peut considérer quun signal non périodique est un signal périodique dont la période T tend vers +. Observons le spectre amplitude dun signal rectangulaire dont la fréquence croît. t 0 Période T

45 Les signaux45 Spectre dun signal non périodique Fréquence F1 Fréquence F2 = F1/8 f 0 SnSn Intervalle entre 2 raies successives : 1/T2 = F1/8 f 0 SnSn F1 Intervalle entre 2 raies successives : F1 = 1/T1

46 Les signaux46 Spectre dun signal non périodique Si T tend vers linfini, les raies constituant le spectre se rapprochent infiniment. Le spectre dun signal non périodique est fourni par une fonction complexe S(f), la transformée de Fourier du signal s(t). Léquivalent du spectre amplitude pour un signal non périodique est le module de S(f) : |S(f)|. Cest une fonction continue. Léquivalent du spectre argument pour un signal non périodique est largument de S(f). Cest une fonction continue. A titre indicatif, la transformée de Fourier S(f) est donnée par la formule :

47 47 Comparaison S n (f) 0 F 2F 3F 4F 0 f max f S(f) f Signal non périodiqueSignal périodique F F 0 0 F 2F 3F….nF Intervalle continu de fréquence [0;fmax] Spectre discretSpectre continu Coefficients S n (f) Transformée de Fourier S(f) = fonction mathématique continue Somme discrète de signaux sinusoïdaux Somme continue de signaux sinusoïdaux Bande de fréquences principale BFP f1f1 f2f2

48 Les signaux48 Valeur moyenne et Puissance moyenne dun signal

49 Les signaux49 Pourquoi sintéresser à la puissance ? Un signal est transmis par le biais dune représentation physique : tension électrique, onde lumineuse, pression acoustique (dans le cas dun son), etc. … Cette transmission a un coût : le coût de la transmission est lié à la puissance du signal. Exemple simple : Dans le cas dune tension électrique, le coût est lu sur la facture EDF qui facture lélectricité distribuée au kW.h, le kW (kilo-watt) étant lunité de la puissance du signal électrique.

50 Les signaux50 Pourquoi sintéresser à la puissance ? De plus, la puissance dun signal électrique influence lenvironnement électromagnétique. Exemple : La réception dun message téléphonique sur un téléphone portable perturbe laffichage sur un écran de TV ou dordinateur ; lutilisation dun mixer dans la cuisine crée des parasites sur votre télévision… Toutes ces perturbations ont pour origine la pollution électromagnétique engendrée par le signal émis. Intuitivement : plus le signal est puissant, plus la perturbation est importante. Il existe des normes dans tous les domaines de transmission limitant la puissance émise par les équipements électriques afin de préserver un environnement électromagnétique stable, voire de protéger la santé (par ex., réseau WiFi : émission limitée à 10mW à lintérieur des bâtiments). Il est donc essentiel de quantifier la puissance dun signal.

51 Les signaux51 Valeur moyenne dun signal périodique Soit un signal périodique de période T. On appelle valeur moyenne du signal s, notée, la grandeur Lorsque =0, on dit que le signal est centré.

52 Les signaux52 Puissance moyenne dun signal périodique La puissance moyenne dun signal périodique s de période T est Cest la valeur moyenne de s 2 (t). Elle sexprime en Watts (W). Exercice : Montrez que la puissance moyenne du signal vaut A 2 /2. Retenez ce résultat bien pratique !

53 Les signaux53 Théorème de Parseval La puissance moyenne dun signal s, périodique, sexprime en fonction des coefficients a n (f) et b n (f) de sa décomposition de Fourier. En fonction des coefficients du spectre amplitude, on obtient : On remarque que les coefficients de déphasage n ninterviennent pas dans le calcul de la puissance. Logique : un déphasage nest quune translation temporelle !

54 Les signaux54 Exemple : puissance moyenne dun signal carré Par la formule directe, on obtient Ps = 0,5W. Calculons maintenant la puissance contenue dans les 3 premiers harmoniques. 95% de la puissance du signal est contenue dans les 3 premiers harmoniques !!! Conclusion : Linformation est contenue dans les composantes basse fréquence du signal. t s T 1 0 f Signal étudié SnSn 0,5 0 0 F3F5F Spectre amplitude 0,64 0,21 0,13 0,09

55 Les signaux55 Exemple (suite) Lorsquon ne garde que les 3 premiers harmoniques, on déforme le signal, mais on « reconnaît » un signal carré. Si ce signal carré est le support physique dune information binaire …, on ne perd pas le contenu informatif du message. On a transmis suffisamment de puissance du signal dorigine. s(t)s H3 (t) T t

56 Les signaux56 Puissance moyenne dun signal non périodique On montre que Signification physique : la puissance contenue dans une bande de fréquence est égale à laire de la courbe |S 2 (f)|. Puissance du signal dans la bande [F1;F2] = aire sous la courbe

57 Les signaux57 Conclusion Maintenant que lon a acquis des notions sur la représentation de linformation en général, il va être possible de sintéresser aux « signaux stratégiques de SRC » que sont les signaux sonores les signaux vidéo les données A voir en UE2 – Culture Technologique et Développement Multimédia M21 – Culture Scientifique et Traitement de lInformation Matière: Les systèmes audiovisuels et les systèmes de transmission 1 et 2 …


Télécharger ppt "Les signaux1 Les Signaux F. Bister - A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Culture Scientifique et Traitement de lInformation Module 2112 – Représentation."

Présentations similaires


Annonces Google