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La droite (IJ) est parallèle à la droite (BC).
Michel Souchet (février 2001) ABC est un triangle A I est le milieu du côté [AB] J est le milieu du côté [AC] I J Conclusion B C La droite (IJ) est parallèle à la droite (BC).
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1ère étape : Démonstration A K est le symétrique du point I
par la symétrie de centre J. I Donc J est le milieu du segment [IK]. J Or J est le milieu du segment [AC]. B K Le quadrilatère AKCI a ses diagonales de même milieu J. Donc le quadrilatère AKCI est un parallélogramme. C
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Donc le quadrilatère IKCB est un parallélogramme.
Démonstration 2ème étape : Le quadrilatère AKCI est un parallélogramme. A Donc la translation qui applique A sur I applique aussi K sur C. I D’autre part, I est le milieu du segment [AB] J Donc la translation qui applique A sur I applique aussi I sur B K B Donc le quadrilatère IKCB est un parallélogramme. C
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Donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
Démonstration 3ème étape : Le quadrilatère IKCB est un parallélogramme. A Donc les droites (IK) et (BC) sont parallèles, et IK = BC Or le point J appartient à la droite (IK) I J Donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. K D’autre part J est le milieu du segment [IK] B Donc IK = 2 x IJ Or IK = BC C Donc BC = 2 x IJ
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