O Le décor : - un cercle de centre O O A B C Le décor : - un triangle ABC inscrit.

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2 O Le décor : - un cercle de centre O

3 O A B C Le décor : - un triangle ABC inscrit

4 O A K B C I Le décor : - la bissectrice de langle

5 O A K B C L H I Le décor : - les projetés orthogonaux de K sur [AB] et [AC]

6 O A K B C L H I La demande : Prouver que les deux triangles gris réunis ont la même aire que le triangle jaune…

7 O A K B C L H I ou aussi : que le quadrilatère AHIL a la même aire que le triangle ABC…

8 O A K B C L H I soit finalement : que le triangle ALI a une aire égale à la moitié de celle de ABC

9 O A K B C L H I en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC] P

10 O A K B C L H I P en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

11 O A K B C L H I P

12 O A K B C L H I P

13 O A K B C L H I P

14 O A K B C L H I P

15 O A K B C L H I P

16 O A K B C L H I P on se ramène au triangle AKP en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

17 O A K B C L H I on fait alors glisser le côté droit P de [AP]

18 O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

19 O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

20 O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

21 O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

22 O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

23 O A K B C L H I P pour se ramener au triangle EKC E jusquà [EC] ( on a EC = AP et aussi AE = PC ) on fait alors glisser le côté droit de [AP]

24 O A K B C L H I P E A on trace [EA] où A désigne le milieu de [BC] Si [AK] et [EA] sont bien parallèles, alors…

25 O A K B C L H I P E A le triangle EKC peut être échangé contre

26 O A K B C L H I P E A le triangle EKC peut être échangé contre

27 O A K B C L H I P E A

28 O A K B C L H I P E A

29 O A K B C L H I P E A

30 O A K B C L H I P E A

31 O A K B C L H I P E A

32 O A K B C L H I P E A

33 O A K B C L H I P E A

34 O A K B C L H I P E A le triangle AAC !!! qui recouvre bien la moitié du triangle ABC le triangle EKC peut être échangé contre

35 O A K B C L H I O A K B C L H I P O A K B C L H I P E O A K B C L H I E A En résumé Ces 4 triangles ont la même aire, à savoir : la moitié de celle de ABC encore faut-il prouver que [AK] et [EA] sont parallèles …

36 O A K B C I A P

37 O A K B C I A P

38 O A K B C I A P

39 O A K B C I A P

40 O A K B C I A P

41 O A K B C I A P B A

42 O A K B C I P B A E

43 O A K B C L H A I