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AC B D E Soit deux triangles ABC et ADE en configuration de Thalès :

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2 AC B D E Soit deux triangles ABC et ADE en configuration de Thalès :

3 Soit h 1 la hauteur issue de B du triangle ABC Soit h 2 la hauteur issue de C du triangle ABC Aire ABC = AC × h 1 2 Aire ABC = AB × h 2 2 Comme il s'agit du même triangle, on peut conclure que : (1)

4 On procède de la même façon dans le triangle BDC : Soit h la hauteur issue de D du triangle BDC On remarque que la hauteur issue de C du triangle BDC est h 2, précédemment utilisée. Aire BDC = BC × h 2 Aire BDC = BD × h 2 2

5 …puis dans le triangle BCE : Comme, par hypothèse, les droites sont parallèles, la distance qui les sépare ne change pas. Et donc h est également la hauteur issue de E du triangle BCE La hauteur issue de B du triangle BCE est la même que celle du triangle ABC, soit h 1. Aire BCE = BC × h 2 Aire BCE = CE × h 1 2

6 Récapitulons... On remarque que l'aire du triangle BDC est la même que celle du triangle BCE, on peut donc conclure : Aire BDC = BC × h 2 Aire BDC = BD × h 2 2 Aire BCE = BC × h 2 Aire BCE = CE × h 1 2 Aire BDC BD × h 2 2 CE × h 1 2 = BD × h 2 =CE × h 1 =Aire BCE (2)

7 Conclusion, daprès (1) et (2) : Doù Donc Et enfin

8 Démonstration de la deuxième égalité : Plaçons sur le dessin le point N sur (DE) tel que BCND soit un parallélogramme (EA) et (DE) sont sécantes en E. C (EA) et N (DE). CNDB est un plg donc (CN)//(BD). Or A, B et D sont alignés donc (CN)//(AD). Donc daprès ce que lon vient de montrer, on peut dire :

9 Or BCND est un plg donc DN = BC Doù Et donc pour conclure :


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