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Mathématiques au cycle 3 Les divisions 15 avril 2011- G. Kérouanton.

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1 Mathématiques au cycle 3 Les divisions 15 avril G. Kérouanton

2 Auto-Evaluation 1. Résoudre des problèmes multiplicatifs permet de donner du sens à la multiplication et à la division. 2. La technique opératoire de la division est indispensable pour résoudre des problèmes de division. 3. Les problèmes de proportionnalité ne sont pas des problèmes qui se résolvent en cycle 2, de toutes les façons ce ne sont pas des problèmes multiplicatifs. 4. Plusieurs procédures de résolution sont recevables pour un problème multiplicatif donné. 5. Il y a quatre catégories de problèmes multiplicatifs rencontrés à lécole élémentaire.

3 Sommaire 1- Les programmes 2. Rappel mathématique rapide à usage des enseignants A - Le champ multiplicatif B- Typologie de problèmes multiplicatifs C- Les divisions 3- Quest-ce quenseigner la division au cycle 3 ? A- Améliorer le sens B- Améliorer la technique

4 1.Les Programmes 2008 Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, lélève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, continue dapprendre à résoudre des problèmes. Il renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. Lacquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

5 Nombres et calculs Le calcul mental Tables daddition et de multiplication. Lentraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés.

6 Nombres et calculs Le calcul posé La maîtrise dune technique opératoire pour chacune des quatre opérations est indispensable.

7 Nombres et calculs Le calcul à la calculatrice La calculatrice fait lobjet dune utilisation raisonnée en fonction de la complexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves.

8 Résolution de problèmes La résolution de problèmes liés à la vie courante permet dapprofondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.

9 Progressions Seules des connaissances et compétences nouvelles sont mentionnées dans chaque colonne. Pour chaque niveau, les connaissances et compétences acquises dans la classe antérieure sont à consolider. CE2CM1CM2 Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre. Division euclidienne de deux entiers. Division décimale de deux entiers. Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre. Division euclidienne de deux entiers. Division décimale de deux entiers. Division dun nombre décimal par un nombre entier.

10 Le socle commun des connaissances et des compétences Restituer les tables daddition et de multiplication de 2 à 9 ; Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) ; Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations ; Estimer lordre de grandeur dun résultat ; Utiliser une calculatrice ; Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, règle de trois, figures géométriques, schémas.

11 2.Rappel mathématique rapide à usage des enseignants

12 A- le champ multiplicatif La question de la division sinscrit dans un champ conceptuel (défini par Vergnaud) plus vaste qui est le champ multiplicatif. Il recouvre lensemble des situations dont le traitement requiert lutilisation de la multiplication ou de la division. La multiplication ou la division sont des notion à être interprétées dans le cadre de la proportionnalité.

13 B- Typologie de problèmes multiplicatifs Selon la typologie de VergnaudVergnaud 1. Problème quaternaire Multiplication Division-quotition Division-partition Quatrième de proportionnelle 2. Problème ternaire n fois plus ou n fois moins Produit cartésien AxB Configuration rectangulaire

14 Problème quaternaire Dans les cas où un des nombre est égal à 1 Les problèmes de multiplication Jai collé 32 timbres sur chaque page dun album de 14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans lalbum ? Les problèmes de division-partition (recherche de la valeur dune part) Jai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y a le même nombre de timbres sur chaque page. Combien y a-t-il de timbres sur chaque page ? Les problèmes de division-quotition (recherche du nombre de parts) Jai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ?

15 Dans le cas où aucun des nombres nest pas égal à 1 6 mètres de tissu coûtent 21. Quel est le prix de 9 mètres du même tissu ?

16 Problème ternaire n fois plus ou n fois moins Pierre a 9 ans et son père est 4 fois plus âgé que lui. Quel âge a son père ? Produit cartésien AxB Je possède 3 vestes et 4 pantalons. Combien puis-je former de tenues différentes ? Configuration rectangulaire Une feuille de cahier a 12 carreaux sur sa largeur et 21 carreaux sur sa longueur. Combien y a-t-il de carreaux sur la feuille ?

17 C. Les divisions La division euclidienne dans lensemble des naturels N a = (b x q) + r appelée division avec reste La division dans lensemble des rationnels positifs Q a:b = a/b appelée division sans reste

18 Vocabulaire et symbolisme Quotient entier : ÷ Quotient euclidien

19 2. Quest-ce quenseigner la division au cycle 3?

20 Améliorer le sens

21 Pour les élèves Division avec ou sans reste Division euclidienne ou division avec reste –La potence –Légalité caractéristique –Quotient euclidien Division sans reste –Les deux points –Légalité caractéristique –Quotient

22 La division euclidienne La division quotition: recherche du nombre de parts. Le jardinier a 167 tomates. Il prépare des caisses de 36 tomates. Combien de caisses remplit-il? La division partition: recherche de la valeur dune part. Le voisin a 167 tomates. Il les distribue équitablement entre ses 8 enfants. Combien de tomates aura chaque enfant?

23 Les grandeurs en jeu Des cardinaux Des longueurs Des prix Des ordinaux (cases numérotées, repères sur un segment)

24 Améliorer la technique opératoire

25 Les procédures Niveau 1: simulation de laction Matériel, dessins, représentations Niveau 2: calculs Additifs, soustractifs, multiplicatifs, mixtes Niveau 3: expert Recherche des meilleurs multiples du diviseur T1 Partage des groupements de numération du dividende T2 Calcul mental Calcul instrumenté

26 Les deux techniques opératoires usuelles de la division euclidienne Donner du sens à la technique pour permettre aux élèves de bien la comprendre, avant de lutiliser de manière automatique. Ceci nécessite une contextualisation souvent indispensable. T1 Recherche des meilleurs multiples T2 Partage des groupements de numération

27 T1 Recherche des meilleurs multiples Situations de division quotition et partition. 1. Recherche dun encadrement du quotient euclidien par une puissance de dix. 2. Construction de tableaux de multiples (complets ou partiels. Utilisant les propriétés de linéarité.) 3. Calculs avec poses des soustractions 4. Écriture de légalité caractéristique.

28 Exemple T billes à partager entre 27 enfants. Quelle est la part de chacun? 6658 billes à ranger dans des sachets de 27 billes. Quel est le nombre de sachets?

29 T2 Partage des groupements de numération Situations de division partition Recherche du nombre de chiffres du quotient euclidien Recherche des chiffres successifs du quotient euclidien Écriture de légalité caractéristique

30 Exemple T2 Un groupe de 27 enfants va à la loterie. Ensemble ils ont gagné 6658 points. Ils se les répartissent. Quelle est la part de chacun?

31 Choix Introduire la division euclidienne dans des situations de type quotition à chaque niveau. Étendre rapidement à dautres contextes. Enseigner la technique T1 en CE2. En CM1 les deux techniques peuvent coexister. Enseigner T2 pour introduire la division décimale de deux entiers. En CM2 enseigner T2 pour introduire la division dun nombre décimal par un nombre entier.

32 Dispositif dapprentissage 1. Approche 2. Construction 1.Familiarisation 2.Appropriation 3.Apprentissage 4.Institutionnalisation 3. Consolidation 1.Entraînement 2.Réinvestissement

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34 Exploitation des manuels scolaire sur la division euclidienne - Période - Titre - Nombre de séances - Objectif - Situation retenue pour la construction - Sens - Procédures envisagées

35 Retour aux programmes et au cycle 2 Compétences à acquérir au cycle 2 Ecrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à Connaître une technique opératoire de la multiplication et lutiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre. Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). Restituer et utiliser les tables daddition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples Résoudre des problèmes très simples relevant de laddition, de la soustraction et de la multiplication. Observer et décrire pour mener des investigations Approcher la division de deux nombres entiers à partir dun problème de partage ou de groupements, pour des nombres inférieurs à 100

36 4- La progression dans les différents niveaux dapproche du concept de division au cycle 2 Lenseignement de la division est bien envisagé depuis le début du cycle 2 (et même depuis la fin de lécole maternelle), puisque dès ce moment de la scolarité, les élèves sont confrontés à des situations de partage ou de distribution quils résolvent par des solutions personnelles qui évoluent en même temps que les connaissances élaborées par les élèves. Cest une progressivité des apprentissages qui est à lœuvre, avec « le souci dasseoir le sens et la structuration des notions sur les expériences et les savoirs capitalisés antérieurement. »

37 La place des « concepts quotidiens » Les élèves ne sapproprient pas les concepts arithmétiques à partir de rien. Avant tout enseignement des opérations arithmétiques, ils sont susceptibles de résoudre un grand nombre de problèmes à laide des seuls concepts quotidiens dajout, de retrait, de partage, de groupement qui, pour lessentiel, trouvent leur origine dans laction sur les objets. Ils progressent dans la résolution de ces problèmes à laide de ces seuls concepts quotidiens. Une partie du progrès seffectue donc en continuité avec le progrès des connaissances quotidiennes des enfants.

38 Passer à des concepts mathématiques En revanche, envisager lappropriation des concepts arithmétiques dans cette seule continuité des concepts quotidiens, cest sous-estimer les ruptures nécessaires à la conceptualisation arithmétique. En effet, à strictement parler, enseigner une opération arithmétique, cest créer des situations pédagogiques favorisant la prise de conscience de léquivalence entre procédures qui fonde cette opération et cest introduire les écritures appropriées pour symboliser cette équivalence (a x b pour la multiplication et a : b pour la division).

39 Conséquences pédagogiques Les séquences pédagogiques correspondantes représentent une rupture parce que leur enjeu nest pas dobtenir la solution dun problème mais de prendre conscience que lintroduction dun nouveau symbole, un « signe opératoire », va offrir la possibilité, selon le contexte, dobtenir cette solution de diverses manières. Il sagit moins dy résoudre des problèmes que de théoriser leur résolution.

40 Conséquences pédagogiques Il faut souligner limportance du moment où le maître commence à enseigner léquivalence entre le partage et le groupement et où il enseigne la symbolisation de cette équivalence en introduisant le mot division et lécriture correspondante. Cest ce moment qui, en toute rigueur, est le point de départ de lenseignement mathématique de la division à lécole. Sans enseignement de léquivalence entre le partage et le groupement et sans symbolisation et verbalisation de cette équivalence ( avec lécriturea:b et le mot division), il ny a pas de conceptualisation de la division.

41 Introduction et mise en œuvre de la technique opératoire de la division euclidienne Elle est introduite au CE2, avec un chiffre au diviseur et elle est mise en œuvre dans le cadre de situations variées; de partage et de quotition. Elle est consolidée au CM1. La division décimale est introduite.


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