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Mise à jour le 1er janvier 2007 1 Mesures de performance •Formules d’Erlang –Erlang-C et ses propriétés •Robustesse –Elle est très sensible à la variation.

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1 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Erlang-C et ses propriétés •Robustesse –Elle est très sensible à la variation des entrées ,  et s »  = 1 et  = s = 8 donne un ASA de 17 secondes; »  = 1.1 et  = s = 8 donne un ASA de 30 secondes. •Étirement du temps –a =     Intensité du trafic (nombre erlang); –Si on double  (ou  ) alors il faut diviser  (ou  ) par 2 pour maintenant a constant; –Or s, le nombre d’agents, n’est pas nécessairement le même. Source: Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007.

2 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Erlang-C et ses propriétés •Économie d’échelle –En doublant s, le nombre d’agents, on peut plus que doubler  tout en maintenant le même SL –C’est pour cette raison que l’on dit: »Un grand centre d’appels est plus efficace qu’un petit; »Cette affirmation est à considérer avec des lunettes de technocrate! •Temps d’attente variable –Deux centres d’appels: »  = 1,  = 5, AWT = 20 et s = 8  TSF ~ 86%; »  = 20,  = 0.333, AWT = 20 et s = 8  TSF ~ 86%; »Ils n’ont pas le même temps moyen d’attente! Source: Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007.

3 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Erlang-C et la règle « racine carrée » de l’effectif •Une règle empirique –surcapacité en %  (s) 1/2 = c »c est une constante reliée à SL –La surcapacité est donnée: »100  (1 – a / s) »a =    –s = 4,  = 1,  = 2  AWT ~ 10 sec et surcapacité = 50% et c = 100. –s = s  4 alors (s)1/2 double. Pour maintenir c à 100, on doit réduire la surcapacité à 25%  AWT ~ 6 sec. –s = s  4  4  AWT ~ 3,2 sec. Source: Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007.

4 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Erlang-C et la règle « racine carrée » de l’effectif •Une règle empirique –s = ((c + (c 2 + 4a) 1/2 ) / 2) 2 »c est une constante reliée à SL mais divisée par 100 –c = 1,  = 1,  = 2  s = 4. –Doubler a passant de a =2 à a = 4 »s ~ 6.6 –Donc, c’est une bonne approximation… •Attention! La règle empirique est seulement utile en relation avec  et s –mais c’est empirique! Source: Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007.

5 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Extension d’Erlang C pour tenir compte •Abandons •Nombre limité de circuits téléphoniques –Implique le calcul du processus « naissance-décès » (birth- death) •C’est une chaîne de Markov –La prédiction du futur à partir du présent ne nécessite pas la connaissance du passé; –Une chaîne de Markov en temps discret est une séquence X(t 1 ), X(t 2 ), X(t 3 ),... de variables aléatoires; –L'ensemble de leurs valeurs possibles est appelé l’espace d'états, la valeur X(t n ) étant l'état du processus au moment t=n.

6 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Extension d’Erlang C pour tenir compte •Abandons et rappels •Nombre limité de circuits téléphoniques –Chaîne de Markov •Distribution conditionnelle – probabilité de transition d’un pas –P{X(t n+1 ) = j | X(t n ) = i n } où n = 1, 2, 3… et t 1 < t 2 < … < t n •Le processus peut demeurer dans un état X(t n ) = i n –Il peut changer d’état seulement à des temps discrets – chaîne de Markov discrète –Il peut changer d’état en un temps arbitaire – chaîne de Markov continue

7 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Chaîne de Markov •Étant donné une probabilité initiale et la probabilité de transition d’un pas –On peut déterminer la probabilité d’être dans différents états au temps t = n. •Quel est le lien entre une chaîne de Markov et l’extension d’Erlang C pour tenir compte des abandons et la finitude des circuits téléphoniques? –Le processus est dans un état comprenant une population de k appels; –La population augmente de 1 d’une façon probabilistique – naissance; –La population diminue de 1 d’une façon probabilistique – décès. Naissance: un appel arrive dans la file d’attente + rappel. Décès: un appel quitte la file d’attente – un abandon.

8 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Chaîne de Markov •Le processus continu est donc plus approprié pour modéliser les abandons –P{système dans l’état i au temps T | système présentement dans l’état i} –= (1 –  t) T/  t –= e  t lorsque  t  0 •  = taux de décès (abandon) dans un état •Donc, le temps passé dans un état est de distribution exponentielle – même distribution que Erlang-C. Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.

9 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Chaîne de Markov •Si  i = taux de naissance dans l’état i,  i = taux de décès dans l’état i alors –P{état i à état i – 1 en  t} =  i  t –P{état i à état i + 1 en  t} =  i  t –P{état i à état i en  t} = 1 – (  i +  i )  t –P{état i à un autre état en  t} = 0 Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.

10 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Chaîne de Markov •Diagramme de transition –X(t) = population dans le système au temps t (naissance – décès) –p i (t) = P{X(t) = i}, probabilité que le système se trouve dans l’état i au temps t •Comment calculer ces probabilités? Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.

11 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Chaîne de Markov •Comment calculer ces probabilités? •De t à (t +  t) –p 0 (t+  t) = p 0 (t)[1 –  0  t] + p 1 (t)  1  t •Généraliser –p i (t+  t) = p i (t)[1 – (  i +  i )  t] + p i+1 (t)  i+1  t p i+1 (t)  i+1  t •Lorsque  t  0 –dp 0 (t) / dt = –  0 p 0 (t) +  1 p 1 (t) –dp i (t) / dt = – (  0 +  i )p i (t) +  i+1 p i+1 (t) +  i+1 p i+1 (t) •Finalement la somme des p i (t) = 1 pour t = 0 à  Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.

12 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Chaîne de Markov •Comment calculer ces probabilités? •La solution d’équilibre – pas d’anéantissement ou explosiion de la population –dp i (t) / dt = 0 •On obtient donc les probabilités de la solution d’équilibre par la solution des équations suivantes: –  0 p 0 (t) =  1 p 1 (t) –  i-1 p i-1 (t) +  i+1 p i+1 (t) = (  i +  i )p i (t) –la somme des p i (t) = 1 pour t = 0 à  •Le calcul des probabilités p 0 (t) et p i (t) peut se faire simplement par la méthode d’équilibre de flux. Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.

13 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Chaîne de Markov •Comment calculer ces probabilités? •Flux entrant = flux sortant Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.

14 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Extension d’Erlang-C  Erlang-X •Le calculateur Erlang-X solutionne ces équations … Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.

15 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Extension d’Erlang-C  Erlang-X •Exemple numérique: –  = 1,  = 5, AWT = 20, s = 6, temps d’attente moyen avant abandon = 6 minutes, 5% de rappel et 10 circuits téléphoniques: »SL ~ 68%, ASA ~ 35 sec, 8.5% abandons et 2.2% des appels sont bloqués. –Diminuons le temps moyen avant abandon de 6 à 4 minutes »SL ~ 70%, ASA ~ 31 sec, 10% abandons et ~ 1.5% des appels sont bloqués. –Augmenter l’effectif de s = 6 à s = 7 agents »SL ~ 84%, ASA ~ 13 sec, 5.2% abandons et ~ 1.6% des appels sont bloqués. Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.

16 Mise à jour le 1er janvier Mesures de performance •Formules d’Erlang –Extension d’Erlang-C  Erlang-X •Exemple numérique: –Diminuons le nombre de circuits disponible à 8 »SL ~ 92%, ASA ~ 5.2 sec, 3.4% abandons et ~ 6.9% des appels sont bloqués. –Augmenter le temps traitement de 5 minutes à 6 minutes »SL ~ 87%, ASA ~ 9.6 sec, ~ 6% abandons et ~ 11.7% des appels sont bloqués. •On voit donc que le niveau de service en présence d’abandon, rappels et finitude de circuits téléphoniques est fortement non linéaire. •Un problème très difficile à optimiser. Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.


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