Physique 3 Vibrations Linéaires et Ondes Mécaniques

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1 Physique 3 Vibrations Linéaires et Ondes Mécaniques
Leçon n°2 Composantes Elémentaires des Systèmes Vibratoires

2 Présentation du cours En pratique, la majorité des systèmes vibratoires mécaniques sont très complexes. Ce sont des systèmes dynamiques pour lesquels les variables telles que les forces d’excitation et les réponses du système sont dépendantes du temps. On considère en général juste les aspects les plus importants pour analyser et prédire le comportement d’un système. Prenez l’exemple d’une voiture qui roule sur une route ondulée. On peut la modéliser comme un ensemble de masses, de ressorts et d’amortisseurs. La force d’excitation extérieur sera les ondulations de la route, la réponse sera les secousses que l’on ressent lorsqu’on voyage dans cette voiture et le confort qu’elle offre dans ce sens. En général; après avoir mis en place un modèle physique, on écrit les équations qui gouvernent notre modèle, on résout ces équations et on interprète les résultats. Parmi les exemples physiques que nous allons modéliser, il y’a le corps humain, un conducteur de moto sur une route ondulée, une poutre, une bâtisse de type château d’eau, un bâtiment à étages qui peut être sujet aux vibrations d’un tremblement de terre et des ensembles mécaniques utilisées dans des moteurs et dans l’industrie. Il est clair que dans un système vibratoire complexe, la modélisation va inclure des opérations telles que comment combiner des ressorts qu’ils soient en série ou en parallèle, comment combiner des masses et combiner des amortisseurs. Ils nous faut aussi avoir des notions de mécanique du solide telles que comment évaluer la masse d’un objet de forme complexe, où se trouve son centre de gravité, comment calculer le moment d’inertie de cette masse. Quelle est l’énergie cinétique du système? Quelle est son énergie potentielle? Sommes- nous en présence d’un système vibratoire? Quelles sont les conditions pour que le système vibre? Ce sont ces opérations que nous allons étudier dans cette leçon que nous avons intitulé : « Composantes Elémentaires des systèmes vibratoires mécaniques ».

3 Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
Exemples de systèmes vibratoires Les ressorts Les masses Les amortisseurs Mécanique classique des mouvements vibratoires Pour cette leçon, nous allons suivre le plan suivant : Nous allons d’abord emmener et expliquer quelques exemples de systèmes vibratoires que l’on rencontre dans le monde réel. Dans les applications pratiques, les ressorts, les masses et les amortisseurs sont combinés. Le système peut en général être simplifié et résulté en un seul ressort équivalent, une seule masse et un seul amortisseur. Des exemples seront donnés. Nous ferons par la suite des rappels de mécanique classique du solide pour les mouvements vibratoires tels que le calcul du centre d’inertie d’un système, de son mouvement d’inertie par rapport à un axe et les conditions pour que ce système puisse vibrer.

4 Exemples de systèmes vibratoires Le corps humain
Une étude de la réponse du corps humain quand il est sujet à des oscillations ou à un choc est importante dans de nombreuses application par exemples dans des sports comme la course ou le saut. Dans une position debout, les masses de la tête, du tronc, des hanches et des jambes et l’élasticité et l’amortissement du cou, de la colonne vertébrale, de l’abdomen et des jambes influence les caractéristiques de la réponse. Nous avons ici développé trois approximations de modèles du corps humain : une à un degré de liberté, une à deux degrés de liberté et une à quatre degrés de liberté.

5 Exemple de système vibratoire : Moto avec un conducteur sur une route gondolée
Un autre exemple de système vibratoire est la modélisation d’une moto avec un conducteur sur une route gondolée, qui agit comme une force d’excitation extérieure. On a développé ici une séquence de trois modèles mathématiques du système pour l’investigation des vibrations dans la direction verticale. Nous avons considéré l’élasticité des pneus, l’élasticité et l’amortissement des amortisseurs, la masse des roues, et l’élasticité, l’amortissement et la masse du conducteur et des sièges.

6 Assimilation à un système masse-ressort,
(a) Système actuel (b) Modèle à un degré de liberté Une poutre : (b) Modèle à un degré de liberté Déflection statique ou position d’équilibre de la poutre de longueur ℓ : où P=mg, E est le module d’Young et I le moment d’inertie de la section A de la poutre. La constante du ressort équivalente est donc : Une tige soumise à une charge axiale : où A est la section; ℓ la longueur et E le module d’Young qui dépend du matériau utilisé. Les éléments élastiques comme les poutres se comportent aussi comme des ressorts. Si on considère par exemple une poutre en porte à faux avec au bout une masse m comme le montre la figure. On va supposer pour simplifier les choses que la masse de la poutre est négligeable devant la masse m. Quand on accroche la masse, le bout de la poutre va descendre d’une distance st appelée déflexion statique. A partir d’un théorème de résistance des matériaux, on sait que la déflexion de la poutre à l’extrémité libre est donnée par : , où P=mg est le poids de la masse m; E est le module de Young et I est le moment d’inertie de la section de la poutre. La masse m se déplaçant dans le sens vertical, on peut assimiler la poutre à un ressort vertical de raideur : Une tige soumise à une charge axiale se comporte aussi comme un ressort. La constante de raideur de la tige est égale à où E est le module d’Young qui dépend de la nature du matériau utilisé A est la section de la tige et ℓ sa longueur.

7 Assimilation à un système masse-ressort « Space needle, Seattle »
Plusieurs systèmes mécanique et structurels peuvent être considérés comme des systèmes à un degré de liberté. Même si la masse est distribuée sur toute la structure, pour une analyse simplifiée, on peut l’approximer comme une masse ponctuelle. La structure qui supporte la masse peut être supposée être une poutre fixée au sol que l’on a modélisé comme étant un ressort. On obtient en final un système masse-ressort horizontal. Vous voyez ici la fameuse construction se trouvant au centre ville de la ville de Seattle au nord ouest des Etats-Unis, appelée le SpaceNeedle. La masse m représente un restaurant gastronomique avec un panorama imprenable sur toute la ville de Seattle.

8 Assimilation à un système masse-ressort Construction de buildings
Toujours dans le domaine de la construction, le gros œuvre d’un local tel que montré sur la première figure peut être assimilé à un système masse-ressort. Comme dans ce cas, la constante de raideur k est égale au rapport de la force exercée sur le sol rigide dans le cas d’un choc sur le déflexion, elle peut être déterminée à partir de la géométrie et des propriétés des matériaux des colonnes. Considérons maintenant l’immeuble à plusieurs étages de l’autre figure qui pourrait subir les affres d’un tremblement de terre. En supposant que les masses des piliers et des murs sont négligeables devant les masses des étages, le bâtiment peut être modélisé comme un système à plusieurs degrés de liberté. Les différents étages représentent les masses de notre système vibratoire et l’élasticité des piliers et des murs représentent les ressorts. C’est-à-dire de modèles comme celui-ci que l’on fait des calculs pour avoir des constructions anti-sysmiques. (a) Modélisation d’une construction

9 Exemple de modélisation d’ensemble mécaniques
Came Roulement Arbre Culbuteur (masse mc et moment d’inertie Jc) Ressort de valve Valve masse mv Bielle (masse mb) Dans le domaine de la mécanique, certains ensembles peuvent être simplifiés en trouvant la masse équivalent de tout le système pour assimiler toute la machine à un ensemble masse-ressort. C’est le cas par exemple du mécanisme de l’arbre à came et sa suite que nous voyons sur la gauche qui est utilisé pour convertir le système de rotation d’un arbre en l’oscillation ou le va et vient d’une valve. Le mécanisme comprend une bielle de masse m; un culbuteur de masse mb et de moment d’inertie Jc autour de son centre de gravité, une valve de masse mv et un ressort de valve de masse négligeable. Tout ce système peut être modélisé par un ressort et une masse équivalente placée au point c. Il en est de même pour l’installation de pompage à pétrole de droite où le mouvement de rotation d’une came est converti en oscillations d’un piston. La masse équivalente de tout le système peut être placée au point A pour simplifier notre modèle. Système arbre-came-bielle-culbuteur-valve Modèle simplifié d’une installation de pompage à pétrole

10 Exemple de modélisation en biomécanique la course et la natation
Les théories des oscillations sont aussi appliquées dans le domaine de la biomécanique pour décrire la marche, la course ou les techniques de nage. Dans ces activités très complexes, les mouvements articulaires (par exemple de la hanche, du genou et de la cheville pour la course) sont provoqués par les contractions des muscles du membre inférieur. On peut modéliser ces systèmes oscillatoires pour améliorer la performance des athlètes et prévenir les blessures. (b) Phases de traction et de poussées des techniques de nage modernes (a) La course

11 Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
Exemples de systèmes vibratoires Les ressorts Les masses Les amortisseurs Mécanique classique des mouvements vibratoires Après avoir donné des exemples pratiques de systèmes vibratoires, nous allons voir maintenant comme que l’on peut combiner des ressorts.

12 Ressorts en parallèle Pour n ressorts en parallèle :
Dans beaucoup d’applications pratiques, plusieurs ressorts sont utilisés en combinaison. Ces ressorts peuvent être combinés en un seul ressort équivalent comme on va le voir. Pour trouver une expression pour la constante équivalente de ressorts connectés en parallèle, on considère deux ressorts comme le montre la figure. Quand une charge est appliquée, le système va effectuer une déflexion statique st comme le montre la deuxième figure. Le diagramme suivant où sont représentées toutes les forces donne l’équation d’équilibre , si keq représente la constante du ressort équivalent de la combinaison des deux ressorts, alors pour la même déflexion statique, nous avons : qui nous donne en utilisant la première équation : En général, si on a n ressorts avec comme constantes de raideur k1, k2, k3,…., kn en parallèle, alors la constante, du ressort équivalent peut s’écrire :

13 Ressorts en série Pour n ressorts en série :
Nous allons maintenant tirer une expression pour la constante du ressort équivalent de ressorts connectés en série en considérant les deux ressorts de la figure. Sous l’action d’une charge p, les ressorts 1 et 2 s’allongent de 1 et de 2, respectivement. L’élongation totale, ou la déflexion statique du système st est donnée par : Comme les deux ressorts sont soumis à la même force p, nous obtenons l’équilibre montré sur la figure : Si keq dénote la constante de ressort équivalente, pour la même déflexion statique st, nous avons : Les équations précédentes donnent : Que l’on peut écrire : ce qui donne Pour n ressorts connectés en série, nous obtenons : Dans certaines applications, les ressorts sont connectés à des composantes rigides comme des poulies, des leviers, ou autres. Dans ces cas, la constante du ressort équivalent peut être trouvée en écrivant l’énergie potentielle équivalente des deux systèmes.

14 Exemple 1 : Constante Équivalente d’un Système de Ressorts (1)
Énoncé : utiliser l’équivalence de l’énergie potentielle pour trouver la constante de torsion équivalente de la figure. Pour ce qui est des cylindres de torsion de constante kt1, kt2, kt3 et kt4, ils contribuent tous à faire tourner le disque de rayon R, ceux-ci se comportent donc comme des ressorts de torsion en série de force de rappel Kt et d’énergie potentielle Attention, Kt n’a pas les mêmes dimensions que les constantes de ressort simples. Nous allons illustrer la combinaison de ressort à travers un exemple. Nous avons ici une combinaison de quatre cylindres de torsion de constante de torsion kt1, kt2, kt3 et kt4, de deux ressorts en parallèle de constante k5 et k6 et de deux ressorts en série de constantes k7 et k8 . Tous ces ressorts agissent sur le cylindre de rayon R. Les cylindres de torsion dans cette configuration se comportent comme des ressorts en série car leurs moments de torsion s’additionnent pour faire tourner le disque de rayon R. on rappelle que pour un ressort simple, de constante de raideur k, la force de rappel est kx et l’énergie potentielle est : Pour un cylindre de torsion, la force de rappel es F=kt, et l’énergie potentielle est : Attention, les k n’ont pas les mêmes dimensions que les kt.

15 Exemple 1 : Suite Solution : Énergie potentielle totale du système :
Calcul de cette énergie : d’où : Pour trouver la constante équivalente de torsion de notre système, on calcule son énergie potentielle totale, et on lui donne la forme On écrit cette énergie potentielle pour les trois cylindres de torsion en série, plus pour le quatrième cylindre de torsion qui agit directement sur le disque de rayon R. Maintenant on additionne les deux constantes des ressorts k5 et k6 parallèle pour trouver leur énergie potentielle , où R est leur allongement. On ajoute enfin l’énergie potentielle dûe aux deux ressorts en série de raideur k7 et k8 celle-ci est égale à on élimine dans les deux expressions de l’énergie potentielle pour trouver :

16 Exemple 2 : Modélisation d’une grue
Enoncé : Dans cette exercice, nous voyons qu’une grue peut carrément être simplifiée pour devenir un ressort équivalent. Dans la grue réelle, la flèche AB est une barre uniforme d’acier de longueur 10 mètres et de surface de section 2500mm². Un poids P est suspendue que celle-ci est stationnaire. Le câble CDEBF est fabriqué en acier et a une surface de section de 100 mm². on néglige les effets du câble CDBEB. On nous demande de trouver la constante du ressort du système équivalent dans la direction verticale. La flèche AB de la grue de la figure est une barre uniforme d’acier de longueur 10 mètres et de surface de section 2500mm². un poids P est suspendu pendant que la grue est stationnaire. Le câble CDEBF est fait en acier et a une surface de section de 100 mm². en négligeant les effets du câble CDEB, trouver la constante du ressort du système équivalent dans la direction verticale.

17 Exemple 2 : Modélisation d’une grue
Solution : Les ressorts de la flèche et du câble se déforment de : La longueur du câble ℓ1 et l’angle  sont donnés par : Solution : on utilise l’équivalence des énergies potentielles des deux systèmes. Comme la base de la grue est rigide, le câble et la flèche peuvent être considérés comme étant fixes aux points F et A respectivement. De plus, comme les effets du câble CDEB est négligeable, le poids P peut être supposé agir au point B comme le montre la figure. Un déplacement vertical x du point B entrainera le ressort k2 de la flèche de se déformer de la quantité x2=x cos45° et le ressort k1 (câble) de se déformer de la distance x1=xcos (90°-). Avec les données que nous avons, on peut calculer la longueur du câble ℓ1 et l’angle 1. Nous avons : Nous avons aussi : L’énergie potentielle totale emmagasinée dans les ressorts k1 et k2 peut être écrite de manière suivante : où nous utiliserons pour k1 et k2 les expressions de k pour des barres soumises à des charges axiales que nous avons vu précédemment : Puisque le ressort équivalent se déforme d’une quantité x l’énergie potentielle de ce ressort équivalent est en prenant U=Ueq, nous obtenons

18 Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
Exemples de systèmes vibratoires Les ressorts Les masses Les amortisseurs Mécanique classique des mouvements vibratoires Après les combinaisons de ressorts, nous allons voir maintenant comment combiner des masses.

19 Combinaison de Masses en Translation
Masses en translation connectées par une barre rigide Avec En égalant les énergies cinétiques, on trouve : Qui donnent : Les masses sont des corps rigides. Elles apparaissent souvent en combinaison, il faut alors les remplacer par une masse équivalente pour simplifier le système. Nous avons dans cet exemple, trois masses en translation rattachées à une barre rigide qui peut pivoter à une extrémité. On peut supposer une masse équivalente à ce système et la placer à n’importe quel point le long de la barre. On va supposer par exemple que notre masse équivalente est placée à l’endroit de la masse mI. Les vitesse des masses peuvent être exprimées en termes de la vitesse de la masse , en supposant de petits déplacements angulaires de la barre : Avec , puisque nous avons décidé de placer la masse équivalente au point l1. En égalant les énergies cinétiques du systèmes à trois et de noter système à trois masses et de notre système équivalent, on trouve : qui nous donne en remplaçant :

20 Combinaison de masses couplées en translation et en rotation
Pignon, moment d’inertie J0 Masses translationnelles et rotationnelles d’un arrangement pignon-crémaillère Énergie cinétique des deux masses : et du système équivalent En utilisant : , T=Teq donne : Masse rotationnelle équivalente : Considérons maintenant un assemblage pignon-crémaillère que l’on rencontre souvent en mécanique. On va supposer que la crémaillère a une masse m et une vitesse de translation et que le pignon de moment d’inertie J0 a une vitesse de rotation . Nous avons un couplage de deux masses translationnelles et rotationnelles. Ces deux masses peuvent être combinées pour obtenir soit une masse équivalente translationnelle meq ou une masse équivalente rotationnelle Jeq. On écrit d’abord l’énergie cinétique des masses Dans le cas où nous voulons une masse équivalente translationnelle, on écrit : on utilise en égalent les deux énergies cinétiques, on obtient : on trouve Dans le cas ou nous voulons une masse équivalente rotationnelle, on écrit : en égalant l’énergie cinétique et l’énergie cinétique des deux masses; on trouve : qui donne

21 Exemple 3 : Masse équivalente d’un système Arbre-Came-Bielle-Culbuteur-Valve
Ce système utilisé pour convertir le mouvement circulaire d’un arbre à came en des oscillations d’une valve se retrouve dans tous les moteurs. Le reste du système consiste en un roulement auquel adhère une bielle de masse m qui se déplace verticalement d’un mouvement xB. Cette bielle actionne un culbuteur de masse mc et de moment d’inertie Jc qui en pivotant autour d’un axe o, fait osciller une valve de masse mv et un ressort de valve de masse négligeable d’un mouvement xv. Le problème est de trouver en utilisant l’énergie cinétique équivalente du système, la masse équivalente de cet ensemble meq(1) au point A et meq(2) au point C. Problème : Trouver la masse équivalente meq (1) de ce système en supposant la position de meq (1) au point A et (2) au point C.

22 Exemple 3 : Suite (1) A cause des déplacements verticaux x de la bielle : Le culbuteur pivote d’un angle La valve se déplace vers le bas Le centre de gravité du culbuteur se déplace vers le bas de Énergie cinétique du système : (1) si meq est la masse équivalente au point A La masse équivalente du système « came et sa suite » peut être déterminée en utilisant l’équivalence des énergies cinétiques des deux systèmes. A cause des déplacements verticaux x de la bielle, le culbuteur pivote autour du point O d’un angle , la valve se déplace vers le bas de et le centre de gravité du culbuteur se déplace vers le bas de L’Energie cinétique du système s’écrit : où sont les vitesses linéaires de la bielle, de la valve et du centre de gravité du culbuteur, et est la vitesse angulaire du culbuteur. (1) Si meq est la masse équivalente au point A, nous avons :

23 Exemple 3 : Suite (2) En notant que On obtient :
(2) meq est la masse équivalente au point C : En notant que On obtient : (2) si meq est la masse équivalente au point C :

24 Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
Exemples de systèmes vibratoires Les ressorts Les masses Les amortisseurs Mécanique classique des mouvements vibratoires Nous allons maintenant apprendre comment combiner des amortisseurs.

25 Les Amortisseurs L’énergie de vibration est convertie en chaleur ou en bruit. Amortissement visqueux : la force d’amortissement est proportionnelle à la vitesse du corps vibrant : Amortissement sec : la force de ralentissement est une grandeur constante : F=-N Les amortisseurs peuvent être combinés en série ou en parallèle. Dans de nombreux cas réels, l’énergie de vibration est graduellement convertie en chaleur ou en bruit. A cause de la réduction d’énergie, la réponse, par exemple le déplacement du système va diminuer graduellement. Le mécanisme par lequel l’énergie de vibration est graduellement convertie en chaleur ou en bruit est appelée amortissement. En pratique, il est souvent difficile de déterminer les causes de l’amortissement. On modélise souvent l’amortissement suivant les deux types suivants : L’amortissement visqueux qui est utilisé dans l’analyse des vibrations. Quand des systèmes mécaniques vibrent dans un milieu fluide comme l’air, un gaz, l’eau, l’huile,…, la résistance offerte par le fluide au système cause une dissipation d’énergie. Dans ce cas, la quantité d’énergie dissipée dépend de plusieurs facteurs, comme la grandeur et la forme de l’objet vibrant, la viscosité du fluide, la fréquence des vibrations, et la vitesse de l’objet vibrant. Dans l’amortissement visqueux, l’amortissement est proportionnel à la vitesse du corps vibrant : des cas typiques d’amortissement visqueux sont : un film d’huile entre deux surface qui glissent l’une sur l’autre, un fluide autour d’un piston dans un cylindre, un fluide autour d’un corps qui vibre etc… L’amortissement sec, aussi appelé amortissement de coulomb est causé souvent par la friction entre deux surfaces sèches ou pas assez lubrifiées. Dans ce cas, la force de ralentissement est une constante qui s’oppose à la direction du mouvement du corps vibrant. Les amortisseurs en général peuvent être combinés en série ou en parallèle.

26 Amortisseurs en série Lorsque une masse est soumise à deux amortisseurs en série, les vitesses s’ajoutent : Les amortisseurs sont soumis à une même force :  Ce qui donne Les deux amortisseurs en série : La constante d’amortissement pour n amortisseurs en série : Pour ce qui est des combinaisons d’amortisseurs, ceux-ci suivent exactement les mêmes règles que les ressorts et les démonstrations sont similaires. On trouve que pour n amortisseurs en série, la constante d’amortissement équivalente :

27 Amortisseurs en parallèles
Les forces d’amortissement agissent directement sur la masse et s’ajoutent : Pour n amortisseurs en parallèle : Pour n amortisseurs en parallèle, les forces d’amortissement agissent directement sur la masse et s’ajoutent, on trouve :

28 Exemple 4 : Combinaison d’Amortisseurs
Énoncé : Trouver la constante d’amortissement équivalente dans les cas suivants : 1- quand trois amortisseurs sont connectés à une barre rigide et l’amortisseur équivalent est à la position l1. 2- Quand trois amortisseurs de torsion sont engrenés (fig.2) et l’amortisseur équivalent est à la position1. On utilisera le fait que l’énergie dissipée par un amortisseur visqueux pendant une période est donnée par X2, où  est la constante d’amortissement,  la pulsation et X l’amplitude des oscillations. Pour illustrer ce que l’on vient de dire sur la combinaison d’amortisseurs, on prend trois amortisseurs connectés à une barre rigide situés respectivement au distance ℓ1, ℓ2, ℓ3. On nous demande de trouver l’amortisseur équivalent placé à la position ℓ1. Dans la deuxième partie du problème, on prend trois amortisseurs de torsion engrenés. On suppose l’amortisseur équivalent à sa position 1, trouver sa constante d’amortissement. On supposera que l’énergie dissipée par un amortisseur visqueux pendant une période est donné par X2 où  est la constante d’amortissement,  la pulsation et x l’amplitude des oscillations. Figure 2 Figure 1

29 Exemple 4 : suite 1- Énergie dissipée par les trois amortisseurs :
Qui donne 2- Energie dissipée en une période avec On trouve 1- On peut écrire puisque l’amortisseur équivalent se trouve à la distance ℓ1 : qui nous donne la constante d’amortissement équivalente 2- L’énergie dissipée par les trois amortisseurs en une période s’écrit : on sait que la constante d’amortissement équivalente est :

30 Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
Exemples de systèmes vibratoires Les ressorts Les masses Les amortisseurs Mécanique classique des mouvements vibratoires Nous allons maintenant faire une revue de la mécanique classique dont nous aurons besoin pour étudier les mouvements vibratoires. Celle-ci comporte les calculs de la masse total d’un système de son centre d’inertie, de son moment d’inertie, de son énergie cinétique et de son énergie potentielle.

31 Mécanique classique du solide pour les mouvements vibratoires
La masse totale du système est : Il est donc utile d’avoir des notions de mécanique classique du solide lorsque l’on traite des mouvements vibratoires. Supposons dans un référentiel (R) un système matériel () constitué d’une répartition continue de matière en volume, de volume total V, de masse volumique (M) au point M, la masse totale du système est alors

32 Centre d’inertie Le centre d’inertie d’un système est le barycentre de tous les points M affectés des coefficients mi Pour un système continue : On appelle centre d’inertie G, ou centre de masse d’un système matériel () le barycentre des points Mi affectés des coefficients mi. Si A est un point arbitraire quelconque, nous avons : Pour un système continue, la distance d à partir de l’origine à laquelle se trouve le centre de masse est

33 Moment d’inertie par rapport à un Axe 
Moment d’inertie d’une masse tournant autour d’un cercle de rayon r : Moment d’inertie par rapport à un axe  d’un corps quelconque: Moment d’inertie par rapport à ox, oy et oz : Pour un système en rotation tel qu’un pendule simple ou pesant, il est essentiel de définir une quantité qu’on appelle le moment d’inertie qui apparait dans tous les calculs. Il est clair que pour un tel système, soumis à une force F=m, l’accélération angulaire  est fonction du moment de torsion  appliquée à la masse. Nous avons : Les moments d’inertie I pour différents corps de différentes formes sont tabulés, c’est-à-dire qu’on retrouve leurs formules dans des tableaux dans les lexiques de livres de mécanique. Il est quand même utile de savoir comment ils sont calculés. Si on considère un solide () constitué par une répartition continue de matière en volume, on appelle moment d’inertie de ce solide par rapport à une droite () la quantité positive : On définit aussi le moment d’inertie (), par rapport aux axes ox, oy et oz de la manière suivante :

34 Autres moments d’inertie
Moment d’inertie par rapport à un point O et par rapport à un plan p : On définit également le moment d’inertie d’un solide (), par rapport à un point O Où r0 désigne la distance du point M au point O, et par rapport à un plan (P) où rp désigne la distance du point M au plan (P). Il résulte des définitions précédents que :

35 Théorème de Huygens ou théorème des axes parallèles
Les deux moments d’inertie s’écrivent Nous avons qui donne Si on compare les moments d’inertie J de () par rapport à un axe () et JG le  par rapport à un axe (G) parallèle à () et passant par le centre d’inertie G de () : Nous avons : d’où :

36 Exemple 5 : Centre d’inertie et moment d’inertie d’un solide
Soit un solide indéformable constitué par la juxtaposition d’un hémisphère et d’un cône pleins et homogènes. On appellera mh la masse de l’hémisphère et mc la masse du cône. Soit G le centre d’inertie du solide. On appellera G1 le centre d’inertie de l’hémisphère et G2 celui du cône. Déterminer algébriquement OG. Ce solide oscille autour de l’axe de rotation Oz. Calculer son moment d’inertie autour de cet axe. Donner les résultats en fonction de R, h, mh et mc. Pour tout comprendre sur les centres d’inertie et sur les moments d’inertie nous allons traiter l’exemple de ce solide en forme de poire qui peut osciller autour du point A. Ce solide est composé par la juxtaposition d’un hémisphère et d’un cône pleins et homogènes. On appelle mH la masse de l’hémisphère et mc la masse du cône. Si G est le centre d’inertie du solide, G1 le centre d’inertie de l’hémisphère et G2 celui du cône; on nous demande de déterminer algébriquement OG. Ce solide oscille autour de l’axe de rotation OZ. On veut calculer le moment d’inertie autour de cet axe.

37 Exemple 5 : Centre d’inertie et moment d’inertie d’un solide (suite)
Solution : a- Centre de gravité et moment d’inertie de l’hémisphère : masse de l’hémisphère : La position ZG1 du centre de gravité G 1 est donnée par : Moment d’inertie par rapport à l’axe oz : Nous allons calculer séparément le centre de gravité et le moment d’inertie de l’hémisphère puis ensuite ceux du cône et assembler tout ça par la suite. On va appeler  la masse volumique du solide. Nous avons : Par symétrie le centre d’inertie G1 de l’hémisphère se trouve sur l’axe oz’. On décompose l’hémisphère en « tranches » élémentaires parallèles au plan xoy, d’épaisseur dz, de masse dm : La position z’G1 du centre d’inertie G1 est donnée par : Déterminons JOZH : Le moment d’inertie de la « tranche » précédente assimilable à un disque mince , par rapport à l’axe oz’ est : d’où : Remarque : Le calcul des moments d’inertie peut être conduit beaucoup plus rapidement en constatant que l’hémisphère est une moitié de sphère de masse 2m et dont on connait les moments d’inertie :

38 Centre de gravité et moment d’inertie par rapport à oz du cône
Pour le cône, les calculs se mènent de la même façon que précédemment. On décompose le cône en tranches élémentaires parallèles au plan xoy, d’épaisseur dz, de masse dm. On en déduit la masse totale du cône Le centre d’inertie G2 du cône se trouve sur l’axe de symétrie oz, sa position est définie par : Déterminons Jozc : Le moment d’inertie de la tranche, définie sur la figure, par rapport à l’axe oz est :

39 Pour le solide complet Sa masse La position du centre d’inertie
le moment d’inertie par rapport à oz : Nous en déduisons, finalement pour le solide complet : sa masse : la position du centre d’inertie : Le moment d’inertie par rapport à oz :

40 Moments d’inertie de différents corps
Le moment d’inertie est une mesure de l’inertie de rotation d’un objet, c’est-à-dire, c’est sa tendance à s’opposer à un changement de son mouvement de rotation. Le tableau que vous voyez présente des équations permettant de calculer le moment d’inertie d’une particule ainsi que celui de différents corps autour d’axes passant par leurs centres de masse (pour la rangée du haut) et par leurs extrémités (rangée du bas). Comme le moment d’inertie correspond à une masse multipliée par une distance au carré, il s’exprime en kg.m². Pour une masse donnée, plus les particules qui composent le corps sont situées en moyenne près de l’axe, plus le moment d’inertie est petit. C’est pour cela que le moment d’inertie diminue de gauche à droite dans le tableau.

41 L’exemple des pendules
Pour les mouvements de rotation, quand nous n’avons pas affaire à des masses ponctuelles, c’est le moment d’inertie de la masse qui apparait dans les calculs. Nous avons repris les équations du pendule simple pour comparer. Pour le pendule simple, la seule force tangentielle est la composante du poids : -mg sin. Pour de petits angles, la force de rappel est proportionnelle au déplacement et le mouvement est donc un mouvement harmonique simple. Pour le pendule composé qui pivote autour d’un point autre que son centre de masse, si d est la distance du pivot au centre de masse, le mouvement de force de rappel qu’engendre le poids le poids est -r mg=-mgd sin. La deuxième loi de Newton =I (Somme des moments de torsion = I), s’écrit : Où I est le moment d’inertie par rapport à l’axe donné. Si l’on fait l’approximation des petits angles, alors Qui est l’équation d’un mouvement harmonique simple, en comparant avec l’équation du pendule simple, on voit que : Si l’on connait la position du centre de masse et la valeur de d, une mesure de la période nous permet alors de déterminer le moment d’inertie du corps. Pour le pendule de torsion, le moment de force de rappel d’une fibre ou d’un fil tordu est proportionnel à l’angle de torsion, il s’agit alors d’un mouvement harmonique simple. Le moment de force de rappel =- obéit à la loi de Hooke où  est appelée constante de torsion. La deuxième loi de Newton =I s’écrit : qui peut s’écrire : Nous n’avons pas besoin ici de faire d’approximation pour les petits angles. Ce qui donne et la période : Ce qui veut dire que si nous ne dépassons pas les limites d’élasticité du fil, le mouvement va effectuer un mouvement harmonique simple. Pendule simple Pendule composé Pendule de torsion

42 Exemple 6 : Dimensions de différents pendules
Quelle sont les dimensions d’un pendule, d’un anneau, d’un disque plein et d’une tige mince fixés à leur extrémité sur la période d’oscillation est la même pour tous et égale à 1 seconde : Pour le pendule : Tige mince Anneau Disque plein Pour ne pas rester dans l’abstrait, essayons de comparer les dimensions de différents pendules ayant la même période d’oscillation. On va prendre T=1seconde. Nous allons considérer un pendule simple, une tige mince, un anneau et un cylindre plein fixés à une extrémité. Leurs périodes d’oscillation est connue et égale à où nous avons : Pour le pendule : Pour la tige mince : pour l’anneau : Pour le disque plein :

43 Energie cinétique Pour un solide de masse M et de moment d’Inertie I :
Mouvement de translation : vG= vitesse du centre de gravité Mouvement de rotation : = vitesse angulaire Mouvement mixte : L’énergie cinétique est l’énergie d’une masse due à son mouvement uniquement. Dans le cas d’un mouvement de rotation, il faut ajouter à l’énergie cinétique de translation la quantité due au mouvement de rotation du corps qui est

44 Energie potentielle et condition d’existence d’oscillations libres
Conditions d’équilibre : Si les forces dérivent d’un potentiel U : Equilibre stable : Equilibre instable : Pour qu’un système effectue des oscillations libres autour d’une position, il faut que celle-ci soit une position d’équilibre stable. Pour qu’un système soit en équilibre statique, il faut que la résultante de toutes les forces «F» et que le moment résultant qui s’exerce sur lui «M» soient nuls. Dans le cas où la force dérive d’un potentiel, à la position d’équilibre (x0, y0, z0), son potentiel doit être extrêmale. Une position d’équilibre est stable si la masse, légèrement écartée tend à revenir, dans ce cas : Le point x1 est une position d’équilibre stable. Une position d’équilibre est instable si quand on écarte la masse de sa position d’équilibre, celle-ci tend à s’écarter d’avantage de cette position, on a alors Le point x2 est une position d’équilibre instable. Pour qu’on ait des oscillations, il faut que la masse soit dans un puit de potentiel, c’est-à-dire, il faut qu’elle soit dans une position d’équilibre stable.

45 Exemple 7 : condition d’oscillation, le métronome
Deux masses m1 et m2 sont portées aux extrémités d’une tige de longueur ℓ1+ℓ2, articulée au point O situé à la longueur ℓ de m1. Cette tige occupe au repos une position verticale. 1- donnez la position du centre de gravité 2- écrire l’énergie potentielle et cinétique des deux masses. 3- en déduire la condition d’équilibre stable du système. Pour finir, nous allons illustrer les conditions d’oscillation d’un système qui se trouve être une tige rigide sans masse de longueur ℓ1+ ℓ2 qui porte a ses extrémité deux masses m1 et m2. Cette tige est articulée au point O situé à ℓ1 de m1 et occupe au repos une position verticale. On nous demande : Premièrement, de donner la position du centre de gravité Deuxièmement, d’écrire les énergies cinétiques et potentielles des deux masses Troisièmement, de déduire la condition d’équilibre stable du système.

46 Exemple 7 : condition d’oscillation, le métronome
1- pour la position du centre de gravité, on applique la définition : Ce qui nous donne 2- 3-

47 Conclusion de la deuxième leçon
Dans cette deuxième leçon intitulée « composante Elémentaires des systèmes vibratoires », nous avons vu comment des systèmes très complexes peuvent être représentés par des systèmes en donnant des résultats vérifiés par l’expérience. Parmi les systèmes évoqués, on se rappelle : Du corps humain qui pour certaines études peut être assimilé à un ensemble masse-ressort, Une moto avec un conducteur sur une route gondolée L’assimilation à un système masse-ressort d’une poutre et d’une tige soumise à une charge axiale ce qui nous ouvre le champs à de très nombreuses applications industrielles entre centre que nous pouvons représenter par des systèmes masse-ressort. La modélisation de construction de type château d’eau ou de buildings à étage. La modélisation de machines industrielles telles que les systèmes arbre à came et suite des moteurs, des installations de pompage de pétrole ou des grues L’assimilation en biomécanique de la course et de la natation de nos bras et de nos jambes à des pendules pesants. Et bien d’autres systèmes encore.

48 Conclusion de la deuxième leçon (suite)
Parmi les composante élémentaires des systèmes vibratoires, il y’a les ressorts, les masses et les amortisseurs. Nous avons vu dans cette leçon comment combiner des ressorts en série et en parallèle que ça soit des ressorts simples, ou des ressorts de torsion. Nous avons vu à travers un exercice comment modéliser une grue et la rendre équivalente à un système masse-ressort. Nous avons aussi vu que les masses pouvaient être combinées en translation ou en rotation. En écrivant cette fois l’égalité entre l’énergie cinétique équivalente, on peut placer la masse équivalente à un point et simplifier l’analyse du problème. Les amortisseurs dans les calculs se comportent comme les ressorts. L’amortissement le plus utilisé est l’amortissement visqueux où la force d’amortissement est proportionnelle la vitesse du corps vibrant. Nous avons vu que les amortisseurs comme les ressorts peuvent être combinés en série ou en parallèle.

49 Conclusion de la deuxième leçon (suite)
Nous avons finalement revu dans ce cours les notions de mécanique classique utilisées dans les mouvements vibratoires telles que comment calculer la masse totale d’un système, trouver son centre de gravité, son moment d’inertie. Nous avons appris à calculer le moment d’inertie de quelques corps simples par rapports à des axes parallèles à l’axe passant par le centre d’inertie. Nous avons fait une revue rapide des pendules sous toutes leurs formes : pendule simple, pendule pesant et pendule de torsion et à travers leur équation du mouvement leurs périodes a été calculée. Cette leçon s’est terminée par des calculs des énergies cinétiques et potentielles et les conditions nécessaires pour qu’il y ait des oscillations libres. Je vous donne rendez vous à la troisième leçon. A très bientôt.