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Modélisation du capital économique : Le risque de souscription Non-Vie Yu PEI ISFA Promotion 2008 Tutrices: Marie MEIGNIE Esterina MASIELLO.

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1 Modélisation du capital économique : Le risque de souscription Non-Vie Yu PEI ISFA Promotion 2008 Tutrices: Marie MEIGNIE Esterina MASIELLO

2 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 2 Calendrier général de Solvabilité II Entrée en vigueur du nouveau régime prudentiel Solvabilité II Processus d’approbation par le Parlement et le Conseil Européen de la Directive de niveau 1 Transposition de la Directive de niveau 1 en droit local Avis du CEIOPS pour les mesures d’application (niveau 2) Préparation des mesures de niveau 2 et de niveau 3 Spécifications du QIS 5 Résultats du QIS 4 QIS 5 Résultats du QIS 5 Adoption des mesures de niveau 2 et de niveau 3 QIS 4 Spécifications du QIS 4

3 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 3 Risque de souscription Non-Vie ► Définition : Le risque de souscription en Non-Vie est le risque d’assurance spécifique qui résulte des contrats d’assurance. Il a trait aux incertitudes relatives aux résultats des souscriptions de l’assureur ( TS.XIII.A.1 ) ► Compositions : ► Risque de prime (premium risk) : risque que le coût des futurs sinistres soit supérieur aux primes perçues; ► Risque de réserve (reserve risk) : risque lié à la nature aléatoire de l’évaluation des sinistres et à leur mauvaise estimation; ► Risque catastrophe (CAT risk) : risque résultant d’événements extrêmes ou irréguliers non capturés par les risques de tarification et de provisionnement;

4 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 4 Présentation générale Risque de souscription non vie ► Formule de perte du portefeuille  P: Prime sur [N,N+1]  S: Sinistralité sur la période  Y: Règlement des sinistres sur la période  ∆R: Différence entre les réserves N et N+1 ► Capital économique  En Solvabilité II, α=99.5% ► Ratio combiné  X: Ratio combiné du portefeuille  V: Volume du portefeuille ► « RunOff » et « New »  RunOff : sinistres des années de survenance passées  New : sinistres de l’année de survenance à venir ► Risque de prime et Risque de réserve  L(réserve) : risque de réserve  L(prime) : risque de prime  R : provision

5 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 5 ► Définitions Le Best Estimate est égal à la valeur actuelle attendue de tous les futurs flux de trésorerie potentiels (moyenne pondérée en fonction des probabilités des résultats distributionnels), basée sur des informations actuelles et crédibles, compte tenu de toutes les informations disponibles et conformes aux caractéristiques du portefeuille d’assurance ou de réassurance sous-jacent. ► Étapes d’évaluation ► Estimer les charges ultimes par une méthode actuarielle ► Déduire les cash flows pour les années futures ► Actualiser les cash flows futurs en utilisant la courbe de taux fournie par QIS 4 (avec l’hypothèse que les paiements s’effectuent en milieu d'année) ► Déduire le BE (somme de tous les cash flows futurs actualisés) ► Méthode déterministe ► Chain Ladder ► Méthode stochastique ► Bootstrap ► Bootstrap + Mack ► GLM Travaux préliminaires Calcul de Best Estimate

6 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 6 ► Mesurer les volumes et les volatilités dans chaque LoB ► Mesure de volume : V ► Mesure de volume du risque de tarification : V prem = Max (primes nettes acquises(n+1), primes nettes émises(n+1), 1.05*primes nettes émises(n)) ► Mesure de volume du risque de provisionnement : V res = Best Estimate des sinistres à payer dans chacune des branches; ► Mesure de volume de risque de souscription: V = V prem + V res ► Mesure de volatilité : σ ► Mesure de volatilité du risque de tarification : un mix de crédibilité d’une estimation spécifique à l’entreprise et d’une estimation à l’échelle du marché ► Agréger la mesure de volatilité (tarification & provisionnement) dans chacune des branches: Remarque : α = 0.5, c’est-à-dire qu’une corrélation de 50% est supposée entre le risque de tarification et le risque de provisionnement Calcul SCR NL Formule standard QIS 4

7 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 7 ► Déduire le capital économique pour le risque de tarification et de provisionnement ► Formule standard: SCR NL = ρ(σ) * V ► ρ(σ) est fixée de manière à produire un chargement en capital conforme au standard de VaR de 99,5 % dans l’hypothèse d’une distribution lognormale du risque sous- jacent : ► Approximation : ρ(σ) = 3* σ SCR NL = 3*σ* V ► La diversification géographique est prise en compte dans le QIS4, avec un seuil de matérialité de 5%. ► Cas pratique Calcul SCR NL Formule standard QIS 4 Premiums and reserve riskVolume  Premiums and reserve risk Sub risks calculation Bootstrap %26.008% Bootstrap+Mack %26.042% Bootstrap+Mack %26.054%

8 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 8 Calcul de provisions, vision à un an Risque de provision ► Pourquoi une vision à un an ► Sous Solvabilité II, mesure du capital sur un horizon d’un an ► Étude du AISAM-ACME ► Only a few members were aware of the inconsistency between their assessment on the ultimate costs and the Solvency II framework which uses a one-year horizon ► The calibration of the reserve risk needs to reflect strictly the one year horizon rather than a full run-off approach ► QIS 3 seems to be consistent with a full run-off approach rather than a one-year horizon volatility ► Méthodes et solutions ► Méthode de Wüthrich : vision de Mack sur un horizon d’un an ► Méthode de simulation : Bootstrap, Bootstrap + Mack, Mack, etc.c

9 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 9 Calcul des provisions, vision à un an Risque de provision : cas pratique Premiums and reserve riskVolume  Premiums and reserve risk Sub risks calculation (Vol Wüthrich un an) Bootstrap %31.234% Mack Bootstrap %31.178% Mack Bootstrap %31.158% Sub risks calculation (Vol Bootstrap un an) Bootstrap %32.848% Mack Bootstrap %32.764% Mack Bootstrap %32.735% Erreur de ProcessusErreur d’EstimationErreur de Prédiction Calcul Mack % % % Calcul Wüthrich un an % % % Bootstrap % Bootstrap sur un an % ► Erreur de prédiction des différentes méthodes ► Résultats

10 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 10 Modèle de portefeuille pondéré Variante du QIS4 ► Risque de prime ► Taux moyen de perte des nouveaux sinistres et ► Volatilité relative au risque de prime ► Risque de réserve ► Taux moyen de provisions du portefeuille et ► Volatilité relative au risque de réserve ► Calcule du risque de réserve et risque de prime ► Estimation du risque de souscription ► Volatilité relative au risque de souscription

11 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 11 Modèle de portefeuille pondéré Variante du QIS4: cas pratique RMS Sinistres Grave Risque de réserve Risque de prime Premiums and reserve riskVolume  Premiums and reserve risk Bootstrap % Mack Bootstrap % Mack Bootstrap % Volatilité de Tarification Volatilité de Provision  10.64%24.89%10.47%

12 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 12 Méthode par simulation Méthodologie générale Dépendance Risque de Prime/Tarification Risque de Provision/Réserve ► Formule générale: ► Méthode stochastique ► Simulation des Loss Ratios ► Distribution usuelle ► Normale ► Log Normale ► Gamma ► Formule générale: ► Méthode stochastique ► Bootstrap sur un an ► Bootstrap + Mack sur un an ► GLM ► Distribution usuelle ► GEV ► Normale

13 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 13 Méthode par simulation Back Modeling N-1, Calibration de la dépendance Méthode de Bootstrap + Mack pour construire les triangles « historiques » …… Triangle N*N Triangle (N-1)*(N-1) Triangle original Modèle de prime en fonction des sinistralités passées Prime modélisée par les sinistralités simulés Calcul de réserve pour triangle (N-1)*(N-1) 1. Préparation des données et triangle 2. Simulation 1000 fois triangles supérieurs avec une méthode stochastique 3. Calcul des provisions pour un triangle N*N et un sous triangle N-1*N-1 simulé, le sous triangle doit commencer à la même année de survenance et terminer à la fin de l’année de survenance N-1 4. Modélisation de la prime avec les triangles simulés 5. Calcul du risque de provision en appliquant la formule de risque 6. Calcul du risque de prime en appliquant la formule de risque 7. Calibration de la dépendance entre deux risques Étapes de « Back Modeling » Calcul de réserve pour triangle (N)*(N)

14 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 14 Méthode par simulation Back Modeling N-1, Calibration de la dépendance Calibration de la dépendance Branche IRD SHAM Branche AutoBranche IARD ► Dépendance non linéaire ► Sélection de la copule ► AIC ► Fonction K(u), L(u) et R(u) ► Calibration des paramètres ► Méthode des moments ► Maximum de Vraisemblance ► Inférence sur les Marginales ► CML

15 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 15 Méthode par simulation Back Modeling N-1, Calibration de la copule ► Sélection de la copule ► Calibration des paramètres CopuleParamètre par Tau de KendallParamètreAIC test Copule Normale Copule Gumbel Copule Clayton CopuleDistance L(u)Distance R(u) Copule Normale Copule Gumbel Copule Clayton MéthodeMMMLIFMCML Copule Normale

16 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 16 Méthode par simulation Risque de souscription pour l’année N ► Simulation du risque de provision d’un an ► Bootstrap sur un an ► Simulation de Mack sur un an Méthode BootstrapTest de Kolmogorov-SmirnovConclusion Loi NormaleP-value < Refuse H0 Loi GammaP-value = 0.009Refuse H0 Loi WeibullP-value < Refuse H0 Loi GEVP-value = 0.713Accepte H0 Triangle historiqueProjection d’un an Calcule risque de provision après la projection Méthode MackTest de Kolmogorov-SmirnovConclusion Loi NormaleP-value = 0.992Accepte H0 Loi GammaP-value < Refuse H0 Loi WeibullP-value = 0.006Refuse H0 Loi GEVP-value = 0.164Accepte H0

17 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 17 Méthode par simulation Risque de souscription pour l’année N ► Risque de prime ► Calibration d’une distribution de Loss Ratio historique ► Retraitement du modèle de simulation Loss Ratio HistoriqueTest de Kolmogorov-SmirnovConclusion Loi Normale0.689Accepte H0 Loi Log Normale0.818Accepte H0 Loi Gamma0.870Accepte H0 Loi Weibull< Refuse H0 Avant le retraitementAprès le retraitement

18 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 18 Méthode par simulation Risque de souscription pour l’année N Calibration de ProvisionCopule Risque de Provision Risque de Prime Loi calibrée pour risque de souscription VaR (99.5%) par Simulation Bootstrap NormaleGEVNormaleGEV/Normale NormaleGEVLog NormaleGEV NormaleGEVGammaGEV Simulation de Mack NormaleGEVNormaleGEV/Normale NormaleGEVLog NormaleGEV NormaleGEVGammaGEV Normale GEV/Normale Normale Log NormaleGEV Normale GammaGEV

19 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 19 Structure de modélisation de risque de souscription Non-Vie ► Avantages du modèle ► Calibration de la dépendance plus fine que QIS4 ► Un horizon d’un an pour le risque de réserve ► Construction d’une vision dynamique sur provision et prime ► Limites du modèle ► Sensible à la règlement N-1 ► Modéliser la dépendance sans les graves ► Développement futur ► Calibration de la dépendance sur plusieurs années ► Modélisation de la structure de dépendance entre différentes branches

20 2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat Page 20 Questions?


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