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Une petite histoire de la numération La numération additive et la numération de position.

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1 Une petite histoire de la numération La numération additive et la numération de position

2 La numération additive

3 av. J.-C. : l’ère paléolithique Pour mémoriser les quantités : les hommes faisaient des entailles dans du bois ou de l’os à l’aide de silex.

4 C’est-à-dire, ils dénombrent grâce à leurs corps (doigts, orteils, jambes, articulations…) afin de mémoriser les quantités. Ci-contre : trace récente de cette pratique, image du XVI e siècle. Déjà les civilisations utilisent la cartographie corporelle

5 Ils utilisent également les numérotations figurées Des objets, comme des cailloux, des perles, des coquillages, des nœuds… représentent des nombres et divers matériels vont commencer à être mis au point : les calculi, les abaques, les bouliers… qui pour certains vont traverser les siècles.

6 8000 av. J.-C. : les calculi Au Moyen-Orient, apparaissent les calculi. Chaque caillou vaut « un », et vint l’idée de remplacer un tas de cailloux par un caillou de nature ou de forme différente.

7 Défaut : Ces dispositifs matériels souffrent d’une grande faiblesse : leur impuissance à garder trace du passé puisque chaque étape du calcul efface la précédente.

8 Les premières numérations écrites arrivent vers av. J.-C. en Mésopotamie. Elles servent à gérer terres, troupeaux, grains… Le potier compte ses amphores.

9 Les premières numérations écrites sont sumériennes La tablette d’argile (2400 ans av. J.-C.) en écriture cunéiforme, où clous et chevrons représentent les chiffres de leur numération (Sumer : partie méridionale de la Mésopotamie)

10 Les premières numérations écrites sont sumériennes Stèle du XXIII e siècle av. J.-C., où le nombre des offrandes est consigné dans le tableau de droite.

11 Les premières numérations écrites sont sumériennes Exemple de table de multiplication (2000 av. J.-C.) conservée au musée du Louvre, provenant de Suse.

12 Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Moins de traces de cette numération que de la précédente car le support est très fragile : ici le papyrus Rhind où sont utilisés des hiéroglyphes simplifiés (hiéroglyphes signifie écriture des dieux, de hieros : sacré et gluphein : graver) C’est ce qu’on appelle l’écriture hiératique.

13 Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Sur les monuments, ils utilisent les hiéroglyphes. A droite, le nombre

14 Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Ils savent additionner, soustraire, multiplier et diviser, ils écrivent les premières fractions. Ci-contre : Horus, l’homme à tête de faucon

15 Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Les additions sont d’une grande simplicité.

16 Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Qui était :

17 Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Une multiplication réclame un peu d’organisation : soit à calculer 28  15 (Les Égyptiens décomposaient le plus grand des deux nombres en puissances de 2)

18 Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Ils utilisaient les fractions mais ne les écrivaient pas comme nous. Certaines fractions étaient même divines.

19 Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Ci-dessus, l’oudjat, symbole de la clairvoyance, et qui signifie complet en égyptien. Il représente les fameuses fractions divines. Le 1/64 manquant serait le liant magique ajouté par le mathématicien Thot, pour permettre à l’œil de fonctionner.

20 Vers 1800 av. J.-C., le système babylonien, numération de position déjà La numération babylonienne n’a que 2 symboles : le clou et le chevron. Selon leurs positions, les symboles peuvent représenter des unités, ou des groupes de 60 unités, ou de 60  60 unités… C’est un système de base 60.

21 Vers 500 av. J.-C. : la numération romaine Numération toujours additive, dont les symboles ont évolué au fil des siècles, mais encore utilisée aujourd’hui pour numéroter des paragraphes, des rois, écrire des siècles…

22 Vers 500 av. J.-C. : la numération romaine Voilà comment les Romains comptaient, ce qui demandait énormément de signes pour écrire un nombre (ici le nombre 23). Ceci a représenté une nette régression par rapport à certaines numérations antérieures. Par contre, abaques et bouliers étaient largement utilisés.

23 Exemple d’abaque Abaque (abex en grec et abacus en latin) désigne un objet à surface plane destiné à différents usages, permettant entre autres d’effectuer des calculs.

24 L’algoriste et l’abaciste Gravure du XVI e siècle où l’algoriste (à gauche) pratique ses algorithmes de calcul pendant que l’abaciste déplace les apices.

25 De l’abaque au boulier Un abaque antique et un boulier chinois

26 L’art de compter avec un boulier Les boules du haut valent 5 et celles du bas valent 1. De droite à gauche, on lit les unités, les dizaines, etc. Ci-contre : 723

27 Vers 400 av. J.-C. : la numération grecque Une nette avancée par rapport à la numération romaine

28 Enfin arrive l’invention du zéro Son introduction se fait en trois étapes. Le zéro est introduit dans un premier temps quand on désire multiplier par dix. Le premier zéro est babylonien. Il est apparu au III e siècle av. J.-C..

29 Puis la numération positionnelle décimale fait son apparition Initiée au II e siècle av. J.-C. par les Chinois et finalisée vers l’an 500 de notre ère en Inde, la mise en place des systèmes arithmétiques positionnels (en particulier le système décimal) fut une découverte majeure de l’histoire des mathématiques.

30 La numération positionnelle utilise alors le zéro Chaque signe représente un chiffre et c’est la position du signe dans le nombre qui donne son ordre de grandeur. Notre numération décimale est une numération positionnelle. Mais un chiffre doit marquer la position vide et on réutilise le zéro (2 e étape de l’introduction du zéro)

31 La numération positionnelle utilise alors le zéro Il devient possible d’exprimer tout nombre dans un système à position, qui seul permet l’utilisation généralisée d’algorithmes arithmétiques et qui rend superflu l’usage de bouliers, etc. Algorithme : méthode de résolution de problème, énoncée sous la forme d’une série d’opérations à effectuer.

32 En Inde alors apparaît le nombre zéro Le zéro n’était alors qu’un chiffre, et il faudra attendre le 5 e siècle de notre ère, en Inde, pour qu’il soit considéré comme chiffre et comme nombre (3 e étape de l’introduction du zéro). Un nouveau nombre demande une définition : le zéro est le résultat de la soustraction d’un entier par lui- même. Le mot indien (sùnya) signifiait : vide, espace, vacant ; et la graphie (d’abord un cercle) était inspirée de la voûte céleste.

33 Le zéro arrive en Europe Au IX e siècle, le zéro est introduit en Espagne par les Arabes (zéro tout comme chiffre vient de l’arabe sifr). En 982, un moine auvergnat, Gerbert d’Aurillac qui deviendra le pape Sylvestre II, après un voyage en Espagne, introduit les chiffres arabes en Europe occidentale. Ils évolueront jusqu’au XII e siècle où ils prendront leur forme définitive, grâce entre autres à Léonard de Pise dit Fibonacci.

34 L’évolution de la numération moderne De haut en bas : La nagari ancienne La nagari moderne L’arabe ancienne orientale L’arabe moderne orientale L’arabe occidentale La moderne

35 Fin de notre petite histoire…


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