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CHAPITRE 1 Décimaux, addition et soustraction. Objectifs: -Pour les nombres décimaux courants, passer dune écriture décimale à une écriture fractionnaire.

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1 CHAPITRE 1 Décimaux, addition et soustraction

2 Objectifs: -Pour les nombres décimaux courants, passer dune écriture décimale à une écriture fractionnaire et vice et versa. -Savoir placer sur une droite graduée des nombres décimaux ou des fractions. -Savoir comparer des nombres décimaux. -Savoir encadrer un nombre. -Savoir supprimer les « zéros inutiles ». -Savoir utiliser les mots : somme; différence; terme. -Savoir additionner et soustraire des nombres mentalement,à la main et avec la calculatrice, dans des situations simples techniquement. -Savoir proposer des ordres de grandeurs.

3 EVOLUTION DES CHIFFRES DE LINDE … A LEUROPE Pour écrire les nombres, on utilise 10 symboles que nous appelons « chiffres » : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0. Cest le système décimal. Nos 10 doigts en sont certainement à lorigine. Les chiffres que nous appelons arabe ont pour origine les Indes. Ce sont les arabes qui emprunteront le système de numération aux Indes. Le moine français Gerbert dAurillac (qui est devenu le pape Sylvestre II) les amène en Europe. Le «0» qui vient aussi de lInde est resté longtemps ignoré ; ils lappelaient « sûnya » = vide. Le mathématicien italien Léonard de Pise dit Fibonacci (1180 ; 1250) introduit en Europe la numération de position : la valeur du chiffre varie en fonction de la place quil occupe dans lécriture du nombre. Al Kashi (1380 ; 1430), astronome à Samarkand (Asie), est à lorigine des nombres décimaux (nombres à virgule) mais cest le mathématicien belge Simon Stevin qui se rapprochera de la notation actuelle. Il notait par exemple le nombre 89,532 : Cest un progrès considérable pour effectuer des opérations par rapport à lécriture romaine.

4 I. Numération de position 1) Rang des chiffres Notre système de numération est un système de position. Exemples: 4 832,326

5 2) Nombres entiers et nombres décimaux Exemples de nombres entiers : 0 ; 5 ; 7 ; 1254 Exemples de nombres décimaux : 2,5 ; 5,3 ; 0,8 ; 0,2 ; 7 ; 0 Remarque : un nombre décimal nest pas seulement un nombre à virgule… cest un nombre qui est fini. Attention aux « 0 » inutiles : 3, ,3 14,

6 II. Ecritures dun nombre décimal 1) Fractions décimales En lettre Un dixième Un centième Un millième Treize centièmes Soixante-cinq millièmes Deux cent trois dixièmes Fraction décimale Ecriture décimale 0,1 0,010,0010,130,06520,3

7 2) Différentes écritures Ecriture décimale : 453,51 Fraction décimale : Somme dun entier et de fractions décimales :

8 III. La demi-droite graduée Lunité choisie est le cm, elle est reportée régulièrement sur tout laxe Lorigine A On dit que labscisse de A est 3, et on note A(3). Le mot « abscisse » vient du latin « abscissa » (ligne coupée) dû à lallemand Leibniz en 1692.

9 Exemples : Quelles sont les abscisses de B et C ? : BC on aB(4,5) et C(6) Placer les points D et E dabscisses respectives 5,5 et 2,5. ED

10 IV. Ranger les nombres 1) Comparer On utilise les symboles : < qui signifie « … est inférieur à …» > Qui signifie « …est supérieur à …» Introduits par langlais Thomas Harriot (XVIe) Exemple:Comparer les nombres : 8,32 et 8,4. 8,32 > 8,4, car 32 > 4CEST FAUX ! 32 et 4 noccupent le même rang ! On a 8,32 < 8,40

11 2) Ordonner Exemples: Ranger les nombres suivants dans lordre croissant (du plus petit au plus grand) 3 ; 2,31 ; 2,5 ; 1,9 Ranger les nombres suivants dans lordre croissant (du plus petit au plus grand) 3,00 ; 2,31 ; 2,50 ; 1,90 On a 1,90 < 2,31 < 2,50 < 3,00 Ranger les nombres suivants dans lordre décroissant (du plus grand au plus petit) 9,6 ; 8,9 ; 11 ; 8,79 Ranger les nombres suivants dans lordre décroissant (du plus grand au plus petit) 9,60 ; 8,90 ; 11,00 ; 8,79 On a 11,00 > 9,60 > 8,90 > 8,79

12 Encadrer un nombre, cest lui trouver un nombre plus petit et un autre plus grand. Exemple : Encadrer le nombre 33,486 à lunité, puis au dixième Encadrement à lunité : 33 < 33,486 < 34 32,93333,133,233,333,433,533,633,733,833,934 Encadrement au dixième : 33,4 < 33,486 < 33,5 3) Encadrer

13 Calculs : Vient du latin « Calculus » : caillou La légende raconte que le berger déposait dans un panier autant de cailloux que de moutons quittaient la bergerie. En rentrant des prés, le berger sortait les cailloux du panier afin de vérifier le compte de moutons. + et - introduits par lallemand Johannes Widdmann en 1489 pour les besoins du commerce. Le symbole « + » serait un symbole « - » barré. = Symbole introduit par langlais Robert Recorde (ci-contre) en 1557 qui le voyait comme deux lignes jumelles. « Rien nest pareil que des jumeaux » (Recorde) Comble pour linventeur du symbole « = », il fut condamné pour dettes et meurt en prison ! V. Addition et soustraction

14 Addition :36,3 + 43,96 = 80,26 Soustraction :29,13 – 12,6 = 16,53 les termes la somme les termes la différence 1) Vocabulaire

15 2) Techniques opératoires Exemple : Poser les opérations suivantes : 36,3 + 43,96 et 29,13 – 12,6 3 6, , 9 6 On aligne les virgules , , , 6 On aligne les virgules , 61

16 Pour le calcul dune somme, lordre des termes na pas dimportance. Remarque : Ce nest pas vrai pour une différence. Exemple :Calculer 21,26 + 3, ,74 + 6,88 21,26 + 3, ,74 + 6,88= 21, ,74 + 3,12 + 6,88 = = 110 3) Grouper les termes dans une addition

17 Pour calculer un ordre de grandeur, on remplace les termes à calculer par des nombres proches et « plus simples ». Remarque : Le résultat obtenu est une valeur proche du résultat. Exemple : Calculer un ordre de grandeur des opérations suivantes. 42,5 + 29, = 70 79,36 – 21,2 80 – 20 = 60 4) Ordre de grandeur


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