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STT6971-Méthodes de Biostatistique 1 Méthodes de Biostatistique Chapitre III Probabilités: notions générales.

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1 STT6971-Méthodes de Biostatistique 1 Méthodes de Biostatistique Chapitre III Probabilités: notions générales

2 STT6971-Méthodes de Biostatistique2 1.Introduction Une expérience est un processus dont lequel des mesures sont prises ou des observations sont faites ou toute procédure qui génère des résultats. Une expérience est dite aléatoire si un des résultats possibles est observé à chaque fois qu’on répète l’expérience. Si c’est le même résultat qu’on observe, l’expérience est dite déterministe.

3 STT6971-Méthodes de Biostatistique3 Dans une expérience aléatoire, l’ensemble de tous les résultats possible est appelé espace échantionnale. On le note souvent par S. Un sous ensemble d’un espace échantionnale est appelé événement. Généralement, on dénote les événements par des lettres majuscules (ex. A,B,C,..). Un résultat individuel est dit événement simple. En probabilités, on assigne une valeur numérique, appelée probabilité, à chaque résultat (événement simple) ou à chaque événement (ensemble de résultats) pour expliquer la vraisemblance que le résultat ou l’événement puissent se réaliser.

4 STT6971-Méthodes de Biostatistique4 2. Quelques principes de probabilités: En supposant que tous les résultats d’une expérience aléatoire sont équiprobables, alors P(résultat)=1/N où N est le nombre total des résultats de l’expérience. P(A) = (# de tous les résultats)/N Pour tout événement A, on a

5 STT6971-Méthodes de Biostatistique5 1.3 Exemple 1.1: PatientSexeAge 1 M40 2 F42 3 M51 4 F58 5 M67 6 F70  P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6.  P(M)=P(F)=3/6=1/2.  Considérant l’événement: A= { âge > 65 } P(A)=P{5,6}=2/6=1/3.

6 STT6971-Méthodes de Biostatistique6 Le complémentaire d’un événement est l’ensemble de tous les résultats de l’espace échantionnale qui n’appartiennent pas à l’événement. Le complémentaire de l’événement A est noté par A’. Dans l’exemple 1, A’={1,2,3,4}=4/6=2/3. En général, on a: P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 1/3 = 2/3. P(A’) = 1 - P(A)

7 STT6971-Méthodes de Biostatistique7 L’union de deux événements est un événement qui contient les éléments de l’un ou de l’autre événement. On note l’union des événements A et B par: A [ B L’intersection de deux événements est un événement qui contient les éléments de l’un et de l’autre événement. On note l’intersection des événements A et B par: A Å B Exemple: A={45,50,55,60,65} et B={40,55,50,65,70,75} A [ B = {40,45,50,55,60,65,70,75} A Å B = { 50,55,65}

8 STT6971-Méthodes de Biostatistique8 La loi additive: P(A [ B) = P(A)+P(B)-P(A Å B) Exemple: Supposons que P(A)=0.7, P(B)=0.2, P(A Å B)=0.1, alors P(A [ B) = P(A) + P(B) - P(A \ B) = – 0.1 = 0.8 Deux événements sont dit mutuellement exclusive s’il n y a pas d’éléments commun entre eux, i.e. A et B sont mutuellement exclusive si A Å B = 

9 STT6971-Méthodes de Biostatistique9 Où  désigne l’ensemble vide. Alors, P(A Å B) = 0. Probabilité Conditionnelle: Exemple: Niveau de scolarité Sexe0-8 ans Total H F Total On choisit au hasard un patient, en utilisant les principes de probabilités, trouver la probabilité que: 1. Le patient est un homme: P(H) = 78/208.

10 STT6971-Méthodes de Biostatistique10 2. Le patient a entre 9-12 ans de scolarité: P(9-12 ans de sco.) = 62/ Le patient est une femme et a entre 9-12 ans de scolarité: P(F et 9-12 ans de sco.) = 42/ Le patient a 17 ans et plus de scolarité et c’est un homme: P(17 ans de sco. Et H) = 26/ Le patient a au plus 12 ans de scolarité: P( · 12 ans) = P(0-8 ou 9-12)=107/208. Question: Quelle est la probabilité de choisir un homme parmi ceux qui ont 17 ans et plus de scolarité? On peut répondre à la question en utilisant les notions de probabilité conditionnelle. On la note P( H | 17 ans et + ) = 26/53=0.491.

11 STT6971-Méthodes de Biostatistique11 Alors, puisque P(H)=.375 et P(H|17 ans et +)=.49, on remarque que P(H) · P(H | 17 ans et +). Par définition, si on a deux événements A et B, alors P(A|B) = P(A Å B) / P(B). Dans l’exemple, on a: P(H | 17 ans et +) = P(H et 17 ans et +) / P(17ans +) = (26/208)/(53/208)=26/53=.49. Indépendance: Deux événements sont dits indépendants si la probabilité de l’un ne change pas par la réalisation ou non de l’autre événement. Mathématiquement, on vérifie l’indépendance par l’une de ces trois égalités: P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A Å B) = P(A)P(B).

12 STT6971-Méthodes de Biostatistique12 3. Permutations et Combinaisons: Exemple 3.1: Supposons qu’on a une population de 4 personnes identifiées par les numéros 1 à 4. Il y a différentes stratégies pour choisir des échantillons à partir de la population. Supposons que nous essayons de générer tous les échantillons possibles de taille n=2. Stratégie 1: Échantillonnage avec remise, ordre important. (1,1)(1,2)(1,3)(1,4) (2,1)(2,2)(2,3)(2,4) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4) (4,1)(4,2)(4,3)(4,4) Stratégie 2: Échantillonnage avec remise, ordre n’est pas important. (1,1)(1,2)(1,3)(1,4) (2,2)(2,3)(2,4) (3,3)(3,4) (4,4)

13 STT6971-Méthodes de Biostatistique13 Stratégie 3: Échantillonnage sans remise, ordre important (1,2)(1,3)(1,4) (2,1)(2,3)(2,4) (3,1)(3,2)(3,4) (4,1)(4,2)(4,3) Stratégie 4: Échantillonnage sans remise, ordre n’est pas important (1,2)(1,3)(1,4) (2,3)(2,4) (3,4) La stratégie la plus utilisée est celle de l’échantillonnage sans remise. Dans ce cas, quand l’ordre est important, le nombre d’arrangements (distincts) possible, est donné par P n N = N!/(N - n)!

14 STT6971-Méthodes de Biostatistique14 Où N! = n £ (n-1) £ (n-2)…3 £ 2 £ 1.  N! est appelé « N factoriel » P n N est appelé permutation de n individus dans une population de taille N. P 2 4 = 4! / (4-2)! = (4 £ 3 £ 2 £ 1)/(2 £ 1) = 12. Dans ce cas, quand l’ordre n’est pas important, le nombre d’arrangements (distincts) possible, est donné par C n N = N! / n!(N - n)! C n N est appelé combinaison de n individus dans une population de taille N. C 2 4 = 4! / 2!(4-2)! = 12 / 2 = 6.

15 STT6971-Méthodes de Biostatistique15 4. Loi Binomiale Dans l’exemple 1.1, considérons un échantillon, de taille n=2, sans remise dont l’ordre n’est pas important et regardons le nombre de femmes choisi dans chaque échantillon possible, qu’on dénote par X. échantillon X = # femmes échantillonX = # femmes (1,2)1(2,5)1 (1,3)0(2,6)2 (1,4)1(3,4)1 (1,5)0(3,5)0 (1,6)1(3,6)1 (2,3)1(4,5)1 (2,4)2 (4,6)2 (5,6)1

16 STT6971-Méthodes de Biostatistique16 On remarque que X varie selon l’échantillon et elle prend les valeurs 0,1, et 2. X est appelée variable aléatoire. X = nombre de femmes choisies dans chaque échantillon. Dans cette population, 50 % sont des femmes. Et dans les échantillons possibles de taille n=2, on trouve des proportions de 0%, 50% et 100%. 3 échantillons des 15 possibles, n’ont pas de femmes, soit 20%. 9 des 15 échantillons (soit 60% ) ont exactement une femme et 3 des 15 (soit 20% ) ont deux femmes. Alors, si on choisit un échantillon parmi tous les échantillons possibles, on a plus de chance de choisir un échantillon contenant exactement une femme!

17 STT6971-Méthodes de Biostatistique17 Une variable aléatoire génère un modèle de probabilité ou une distribution de probabilité. Exemple:  Loi Binomiale: Lors d’une expérience aléatoire, on obtient une distribution binomiale si : 1. À chaque essai dans l’expérience aléatoire, on obtient un seul des deux résultats possibles, qu’on appelle succès ou échec. 2. La probabilité du succès dans chaque essai est constante, qu’on note par p, avec 0 · p · Les essais sont indépendants.  Loi Binomiale: Si on considère la v.a discrète X qui représente le nombre de succès dans n essais, elle est définie par P(X = x) = C x n p x (1-p) n-x Où x = # succès, p=probabilité du succès.

18 STT6971-Méthodes de Biostatistique18 Exemple: Une étude a montré qu’un antibiotique a 70% d’efficacité contre une certaine bactérie. Supposons qu’on a donné cet antibiotique à 5 patients. Quelle est la probabilité que l’antibiotique soit efficace pour a. Exactement 3 patients? b. Pour les 5 patients? c. Pour aucun des 5 patients? Solution: X: Le nombre de patients parmi les 5 chez qui l’antibiotique était efficace. a. P(X=3) = C 3 5 (0.7) 3 (0.3) 2 = b. P(X=5) = C 5 5 (0.7) 5 (0.3) 0 = c. P(X=0) = C 0 5 (0.7) 0 (0.3) 5 =

19 STT6971-Méthodes de Biostatistique19 Moyenne et variance d’une Binomiale Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors la moyenne et la variance sont données respectivement par:  = np et  2 = np(1-p)

20 STT6971-Méthodes de Biostatistique20 4. Loi Normale La distribution d’une loi normale est donnée par: Où x est un réel.  est la moyenne.  2 est la variance. On la note par

21 STT6971-Méthodes de Biostatistique21 Propriétés de la loi normale:  La distribution normale est symétrique.  La moyenne = La médiane = Le mode.  La moyenne est  et la variance  2.  = l’aire sous la courbe de la loi normale de a à b.  Si X suit une loi normale de moyenne  et une variance  2, on écrit alors X » N( ,  2 ).

22 STT6971-Méthodes de Biostatistique22 Loi Normale Standardisée: Si X » N( ,  2 ) alors » N(0,1) Pour calculer les probabilités pour toute distribution normale de moyenne  et de variance  2, on la standardise pour utiliser la table des probabilités de la loi normale standardisée de moyenne 0 et de variance 1.

23 STT6971-Méthodes de Biostatistique23 Approximation d’une loi Binomiale par une loi Normale: Si X » B(n,p) et np ¸ 5 et n(1-p) ¸ 5, alors » N(0,1) Théorème Central Limite: Pour une population de moyenne  et de variance  2. Si on choisit aléatoirement de la population des échantillons de taille n avec remise, alors pour n grand, la distribution échantillonnale des moyennes échantillonnales est approximativement une normale avec et Où, en général, n ¸ 30 est suffisamment grand.

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