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Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan: I.Généralités 1)Repères: Définition:On dit qu’un repère du plan (O, I, J) est orthonormé lorsque :  Les axes.

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2 Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

3 I.Généralités 1)Repères: Définition:On dit qu’un repère du plan (O, I, J) est orthonormé lorsque :  Les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires, c’est à dire (OI)  (OJ).  Les unités de longueur sont les mêmes sur les deux axes c’est à dire OI = OJ. I et J sont toujours les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1).

4 Exemples et contre exemples. Repère orthonormé Repères non orthonormés car les axes non perpendiculaires ou les unités sont différentes.

5 Rappels: coordonnées d’un point. Chaque point peut être repéré dans le plan muni d’un repère par son abscisse x et son ordonnée y.

6 II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère.

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8 1) Définition : Les coordonnées d’un vecteur dans un repère décrivent un déplacement horizontal puis vertical. (point de départ point d’arrivée) Ainsi, un déplacement de « 3 unités vers la droite et 2 unités vers le bas » sera représenté par un vecteur de coordonnées (3 ; -2).

9 Exercice: Calcule les coordonnées du vecteur

10 2) Calcul des coordonnées d’un vecteur.

11 a) Cherchons une formule pour calculer les coordonnées d’un vecteur

12 b) activité: Relève les coordonnées des points A,B,C,D,E,F,G et H. Nomme les parallélogrammes de la figure.

13 Correction Parallélogrammes de la figure:  Avec A et B: ABDC, ABFE, ABHG  Avec C et D: CDFE, CDHG  Avec E et F: EFHG

14 PointsABCDEFGH abscisse ,55,5 ordonnée31-0,5-2,5-31

15 b) Bilan: Admettons et retenons:

16 III. Applications

17 Premier type de problème: Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme. Étant donnés quatre points A (-2; 2), B ( -1 ;-3 ), C ( 3 ; 1 ) et F ( -6, -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme. Il suffit de prouver que AF et CB sont égaux. On calcule les coordonnées: O 1 1 A F B Les vecteurs sont égaux donc AFBC est un parallélogramme. C

18 On peut résoudre un deuxième type de problème Etant donnés trois points A (-2; 2), B ( -1 ;-3 )et C ( 3; 1 ), calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme. Attention à l’ordre des points! J’appelle (x;y) les coordonnées du point D, ABDC est un parallélogramme si : (-1 - (-2) ; ) = ( x - 3 ; y - 1 ) = x - 3 et = y - 1 x = 4 et y = - 4 Ce qui se vérifie sur le croquis….

19 IV. Coordonnées du milieu d’un segment

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22 Démonstration

23 Les coordonnées du milieu d'un segment [AB] sont données par la formule A retenir

24 O 1 1 A F B C Étant donnés quatre points A (-2; 2), B ( -1 ;-3 ), C ( 3 ; 1 ) et F ( -6, -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme. Autre méthode pour prouver qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme. Pour que AFBC soit un parallélogramme il suffit de vérifier que ses diagonales ont même milieu. Donc AFBC est un parallélogramme

25 O 1 1 x B - x A xAxA xBxB yAyA yByB y B - y A A B C Les droites (AC) et ( CB) sont parallèles aux axes, donc perpendiculaires entre elles. Le Triangle ABC est rectangle en C et le théorème de Pythagore permet d ’écrire: AB² = AC² + CB² AB²= ( x B - x A )² + ( y B - y A )² Si le repère est orthonormé IV. Distance entre 2 points dans un repère.

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