‘Umar Al-Khayyām غياث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نيشابوری.

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1 ‘Umar Al-Khayyām غياث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نيشابوری

2 Sommaire Introduction L’homme de sciences Al-Khayyām mathématicien :
Les équations du troisième degré Exemple de résolution géométrique d’une équation Al-Khayyām philosophe Conclusion

3 Tombeau d’Al-Khayyām

4 Mathématiques Astronomie Médecine Philosophie Sciences naturelles, théologie et météorologie

5 Ses travaux mathématiques
Traité d’algèbre Traité sur la division du quart de cercle Commentaire sur l’œuvre d’Euclide et notamment la théorie des parallèles Traité sur l’extraction de la racine n-ième

6 Classification des équations du troisième degré
Binômes [6] 𝑏𝑥=𝑐 𝑎𝑥²=𝑐 𝑥3=𝑐 𝑎𝑥²=𝑏𝑥 𝑥3=𝑏𝑥 𝑥3=𝑎𝑥² Trinômes [6] 𝑥²+𝑏𝑥=𝑐 𝑥²+𝑐=𝑏𝑥 𝑥²=𝑏𝑥+𝑐 𝑥3+𝑎𝑥²=𝑏𝑥 𝑥3+𝑏𝑥=𝑎𝑥² 𝑥3=𝑎𝑥²+𝑏𝑥 Trinômes [6] 𝑥3+𝑏𝑥=𝑐 cercle-parabole 𝑥3+𝑐=𝑏𝑥 parabole-hyperbole 𝑥3=𝑏𝑥+𝑐 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑎𝑥²=𝑏𝑥 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑐=𝑎𝑥² parabole-hyperbole 𝑥3=𝑎𝑥²+𝑐 parabole-hyperbole Quadrinômes [7] 𝒙𝟑+𝒂𝒙²+𝒃𝒙=𝒄 cercle-parabole 𝒙𝟑+𝒂𝒙²+𝒄=𝒃𝒙 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑏𝑥+𝑐=𝑎𝑥² parabole-hyperbole 𝑥3=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑎𝑥²=𝑏𝑥+𝑐 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑏𝑥=𝑎𝑥²+𝑐 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑐=𝑎𝑥²+𝑏𝑥 hyperbole-hyperbole

7 x3 +bx=c Démonstration géométrique de l’existence d’une racine. 𝑏
Soit AB le coté d’un carré d’aire égale à b (AB= √𝑏 ), et soit BC=h la hauteur du solide construit sur le carré et telle que AB².BC=c (BC=h= 𝑐 𝐴𝐵² = 𝑐 𝑏 ) A 𝑏 h=c/b B C

8 Prolongeons AB jusqu’au point G
Prolongeons AB jusqu’au point G. Traçons la parabole HDB de sommet B, d’axe BG et de coté droit AB. Puis le demi-cercle de diamètre BC. Le cercle coupe la parabole en D, soit G et E les projetés orthogonaux de D sur AB et CB. A 𝑏 h=c/b B C E G D

9 𝑏 h=c/b L’équation de la parabole donne
DG²=BG.AB ⇒ AB∗BG DG =DG ⇒ AB DG = DG BG 𝐀𝐁 𝐃𝐆 = 𝐀𝐁 𝐁𝐄 = 𝐷𝐺 𝐵𝐺 = 𝑩𝑬 𝑩𝑮 = 𝑩𝑬 𝑬𝑫 Or BE*EC=ED² ⇒ 𝐵𝐸 𝐸𝐷 = 𝐸𝐷 𝐸𝐶 Donc 𝐴𝐵 𝐵𝐸 = 𝐵𝐸 𝐸𝐷 = 𝐸𝐷 𝐸𝐶 ⇒ 𝑨𝑩² 𝑩𝑬² = 𝐵𝐸 𝐸𝐷 ∗ 𝐸𝐷 𝐸𝐶 = 𝑩𝑬 𝑬𝑪 D’où AB²*EC=BE3 et AB²*EC+AB²*EB=BE3+AB²*EB Donc AB²(EC+EB)=BE3+AB²*EB ⇒ AB²*BC=BE3+AB²*EB A 𝑏 h=c/b B C E G D c b Et on a : BE3+bEB=c La distance EB est donc solution de l’équation x3 +bx=c fixée au début du problème.

10 𝑏 𝑥² = 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑐 𝑏 −𝑥 (lemme sur la moyenne proportionnelle)
Le choix des courbes. 𝑥3 +b𝑥 =c ⇒ 𝑥3=c-b𝑥 ⇒ 𝑥²×𝑥 =b( 𝑐 𝑏 −𝑥)⇒ 𝑏 𝑥² = 𝑥 𝑐 𝑏 −𝑥 𝑏 𝑥² = 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑐 𝑏 −𝑥 (lemme sur la moyenne proportionnelle) P C (P) : x²= y 𝑏 (C) : x²+y²= hx (h=c/b)

11 Exemple concret. On veut résoudre l’équation x3+4x=16
On à donc AB= 𝑏 =2 ; c=16 ; donc BC=h=c/b=4 (C) : x²+y²= 4x (P) : x²=2y

12 Bibliographie Livre : Al-Khayyam Mathématicien, R.Rashed et B.Vahabzadeh, 1999 PDF : Note sur le choix des courbes fait par al-Khayyâm dans sa résolution des équations cubiques et comparaison avec la méthode de Descartes, Nicolas Farès Web : Article Wikipédia : Al-Khayyam, Al-Khwarizmi, Avicène, Article Encyclopédie Universalis : Al-Khayyam