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L’écriture des grands nombres: les puissances de 10 Les puissances de 10 sont très utiles en sciences physiques car elles permettent d’écrire simplement.

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1 L’écriture des grands nombres: les puissances de 10 Les puissances de 10 sont très utiles en sciences physiques car elles permettent d’écrire simplement des valeurs numériques très grandes ou très petites. Intéressons-nous à l’écriture des grands nombres. 10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 10×10 = 100 10 3 = 10×10×10 = 1000 (mille) 10 6 = 10×10×10×10×10×10 = 1 000 000 (1 suivi de 6 zéros) = 1 million 10 9 = 1 milliard = 1 000 000 000 (1 suivi de 9 zéros)

2 L’écriture des grands nombres: les puissances de 10 Dans cette écriture, la puissance de 10 correspond au nombre de zéros derrière le 1. 10 7 s’écrira donc 1 suivi de 7 zéros ce qui fait aussi 10 millions. 10 0 = 1 (1 suivi d’aucun zéro) Les puissances de 10 positives permettent d’écrire des grands nombres: 1000 milliards (1000 suivi de 9 zéros ou encore 1 suivi de 12 zéros) s’écrira simplement 10 12. N’importe quel nombre peut s’écrire sous la forme d’un nombre compris entre 1 et 10 (sans être égal à 10) multiplié par une puissance de 10. Par exemple 234 peut s’écrire 2,34 × 100 ou encore 2,34×10 2 De même 1798 s’écrira 1,798 × 1000 ou encore 1,798×10 3

3 L’écriture des grands nombres: les puissances de 10

4 L’écriture des petits nombres: les puissances de 10 Les puissances négatives de 10: 10 -n (où n est encore un entier positif) signifie 1 divisé par 10 n. Attention : Bien qu’il y ait un signe – devant la puissance, 10 -n est un nombre positif ! 10 -1 = 1/10 1 = 1/10 = 0,1 10 -2 = 1/10 2 = 1/100 = 0,01 10 -3 = 1/10 3 = 1/mille = 0,001 (1 millième) 10 -6 = 1/10 6 = 1/1million = 0,000001 (1 millionième)

5 La puissance de 10 correspond au nombre total de zéros qui apparaissent dans l’écriture du nombre. 10 -5 s’écrira donc 0, suivi de 4 zéros (5 zéros au total) puis d’un 1. Les puissances de 10 négatives permettent d’écrire des petits nombres : 0,000000001 (0, huit zéros suivis d’un 1 ) 10 -9 soit 1/10 9 ou 1 milliardième. N’importe quel petit nombre positif, c'est-à-dire n’importe quel nombre compris entre 0 et 1 peut s’écrire sous la forme d’un nombre compris entre 1 et 10 (sans être égal à 10) multiplié par une puissance négative de 10. Par exemple 0,051 (où 5 est le 2 ème chiffre après la virgule) peut s’écrire 5,1×10 -2 Ou encore : 0,00128 (où 1 est le 3 ème chiffre après la virgule) peut s’écrire 1,28×10 -3 L’écriture des petits nombres: les puissances de 10

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7 L’écriture scientifique d'un nombre Un même nombre peut s’écrire de différentes façons: par exemple 12 c’est aussi 1,2 × 10 1 ; 0,12 × 10 2 ou même 120 × 10 -1. Toutes ces écritures représentent la même valeur: 12. L’écriture scientifique de 12, c’est l’écriture sous la forme 1,2 × 10 1 que l'on peut aussi écrire 1,2.10 1, le point représentant la multiplication. D’une façon générale, l’écriture scientifique, c’est l’écriture sous la forme d’un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9, multiplié par une puissance de 10.

8 Exemple : 1,6 × 10 -19 ou 6,02.10 23 sont des nombres écrits sous la forme scientifique. Par contre 0,75 × 10 -1 n’est pas sous forme scientifique car la partie entière est zéro. De même 42,9.10 6 n’est pas sous forme scientifique car la partie entière est supérieure à 9. L’écriture scientifique d'un nombre N’importe quel nombre, entier ou non, peut être écrit sous la forme scientifique: Par exemple 742 s’écrira 7,42.10 2 Ces deux écritures 742 et 7,42 × 10 2 représentent le même nombre, la même valeur. Remarque: on utilise souvent la notation ingénieur dans laquelle la puissance de 10 est un multiple de trois. Il y a donc un maximum de trois chiffres avant la virgule. Exemple: 57,2.10 3.

9 Prenons l’exemple de la vitesse de la lumière dans le vide. Elle vaut c = 300000 km.s -1. Passer à l’écriture scientifique, c’est écrire ce nombre sous la forme d’un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9 multipliée par une puissance de 10. Pour l’instant, on peut dire que ce nombre: c’est un décimal: 300000 multiplié par 10 0 (qui vaut 1) Comment passer d’une valeur quelconque à l’écriture scientifique? Donc: c = 300000×10 0 km.s -1 L’écriture scientifique d'un nombre

10 Pour passer de cette valeur à l’écriture scientifique, il faut diviser la partie décimale 300000 par cent mille (10 5 car cinq zéros) pour obtenir un nombre entre 1 et 9. On obtiendra donc 3,00000. Et en même temps multiplier la partie "puissance de 10" par 10 5 pour que le produit de la partie décimale par la puissance de 10 conduise à la même valeur finale. L’écriture scientifique de 300000 sera donc : c = 3,00000.10 5 km.s -1. L’écriture scientifique d'un nombre

11 On a décalé la virgule (initialement après le cinquième zéro) de 5 rangs pour la mettre après le 3. Et on a multiplié par 10 5. On pourra retenir comme moyen mnémotechnique que décaler la virgule du nombre décimal vers la gauche revient à augmenter la puissance de 10 d’une unité par rang de décalage. c = 3,00000.10 5 km.s -1. L’écriture scientifique d'un nombre

12 Autre exemple: Écrivons sous la forme scientifique d = 0,00432 m. Pour l’instant, on peut dire que ce nombre c’est un décimal 0,00432 multiplié par 10 0 (qui vaut 1) donc: 0,00432.10 0 Pour passer cette valeur à l’écriture scientifique, il faut multiplier la partie décimale 0,00432 par mille (10 3 ) pour obtenir un nombre entre 1 et 9. On obtiendra donc 4,32. Et en même temps il faut diviser la partie "puissance de 10" par 10 3 pour que le produit de la partie décimale par la puissance de 10 conduise à la même valeur finale. L’écriture scientifique d'un nombre

13 Or diviser par 10 3 c’est multiplier par 10 -3. L’écriture scientifique de 0,00432 sera donc : 4,32×.10 -3 Ici on a décalé la virgule de 3 rangs vers la droite pour la mettre après le 4. Et on a multiplié par 10 -3. On pourra retenir comme moyen mnémotechnique que décaler la virgule du nombre décimal vers la droite revient à diminuer la puissance de 10 d’une unité par rang de décalage. L’écriture scientifique d'un nombre

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15 Test 6- Donner l'écriture scientifique du nombre 0,59 x 10 -7 1- Donner l'écriture scientifique du nombre 6378 2- Donner l'écriture scientifique du nombre 41,7 x 10 3 3- Donner l'écriture scientifique du nombre 524,1 x 10 -7 4- Donner l'écriture scientifique du nombre 0,7 5- Donner l'écriture scientifique du nombre 0,0042 x 10 1 6,378.10 3 4,17 x 10 4 5,241.10 -5 7.10 -1 4,2 x 10 -2 5,9.10 -8

16 Calculs avec les puissances de 10 En sciences physiques, il est souvent utile d'évaluer de tête l'ordre de grandeur d'un calcul. Pour mener à bien cette estimation, il faut maîtriser les calculs entre des puissances de 10. On a souvent besoin d’effectuer des calculs avec des puissances de 10. Par exemple au cours des applications numériques, pour faire des calculs rapides (par écrit ou de tête) ou encore pour réaliser des conversions d’une unité composée à une autre (passer des g/L au g/m 3...).

17 La règle : Lorsqu’on multiplie entre elles deux puissances de dix, on obtient une nouvelle puissance de dix, dont l’exposant est la somme des deux exposants : 10 a ×10 b = 10 a+b Exemple: 10 3 ×10 2 = 10 3+2 = 10 5 Si l’on décompose cet exemple simple: on multiplie 10 3 (un 1 suivi de 3 zéros) par 10 puis à nouveau par 10. On ajoute donc deux zéros à 1000, d’où l’addition entre les deux exposants. Le un sera donc suivi de 3+2 = 5 zéros. 10 3 ×10 -5 = 10 3-5 = 10 -2 10 -6 ×10 -3 = 10 -6-3 = 10 -9 Calculs avec les puissances de 10 Premier cas : Multiplier deux puissances de dix

18 Exemples: 1 ÷ 10 2 = 1 ÷ 10 -5 = 10 -6 = Calculs avec les puissances de 10 Deuxième cas : Trouver l’inverse d’une puissance de dix La règle: L’inverse d’une puissance de dix est une nouvelle puissance de dix dont l’exposant est l’opposé de celui de la première : 1 ÷10 a = 10 -a Autrement dit: on peut passer une puissance de dix du dénominateur d’une fraction (en bas) au numérateur (en haut) en changeant le signe de son exposant, et inversement (c’est une astuce qui simplifie parfois les calculs) 10 -2 10 5 1/10 6 10 -(-5) =

19 Dans ce dernier exemple on peut aussi remplacer la division par la puissance de dix négative, en remarquant que diviser par 10 -5 revient à multiplier par 10 5. Calculs avec les puissances de 10 Troisième cas : Diviser deux puissances de dix La règle: Lorsqu'on divise entre elles deux puissances de dix, on obtient une nouvelle puissance de dix dont l’exposant est la différence entre les deux exposants (celui du numérateur moins celui du dénominateur): 10 a ÷ 10 b = 10 a-b Exemples : 10 3 ÷ 10 2 = 10 -6 ÷ 10 -3 = 10 3 ÷ 10 -5 = 10 3-2 =10 1 10 -6-(-3) = 10 -6+3 =10 -3 10 3-(-5) =10 3+5 =10 8

20 Astuce: Lorsqu'on doit additionner des puissances de dix, il peut être pratique de tout ramener à la même puissance de dix que l’on met alors en facteur. Calculs avec les puissances de 10 Quatrième cas : Additionner ou soustraire deux puissances de dix Attention piège! Si on ajoute ou si on soustrait des puissances de dix, on n’obtient en général pas une puissance de dix ! Il n’y a donc pas de règle qui permette une écriture du résultat sous la forme d’une puissance de dix. Exemples: 10 3 + 10 2 = 10 3 – 10 -1 = 1000+100 =1100 1000-0,1 =999,9 Remarque: dans une somme ou une soustraction, on pourra parfois négliger l’une des puissances de dix devant l’autre. Ainsi: 10 3 - 10 -1 = 1000-0,1 si l’on considère que l’on peut négliger 0,1 devant 1000, le résultat vaut alors à peu près 1000

21 Exemples: (10 3 ) 2 = (10 3 ) -7 = Calculs avec les puissances de 10 Cinquième cas : Élever une puissance de dix à une puissance La règle: Lorsqu’on élève une puissance de dix 10 a à la puissance b, on obtient une nouvelle puissance de dix dont l’exposant est le produit de a par b: (10 a ) b = 10 a × b 10 3×2 =10 6 10 3 ×(-7) =10 -21

22 Calculs avec les puissances de 10

23 10 m / 10 k = 10 p x 10 q = 1 / 10 -t = 10 12 x 10 -7 = 10 3 / 10 4 = 1 / 10 12 = 10 3 / (10 4 x 10 5 ) = 10 3 x 100 /10 -12 = (10 4 ) 5 = (10 -4 ) -2 = Calculs avec les puissances de 10 10 m-k 10 p+q 10 t 10 5 10 -1 10 -12 10 -6 10 17 10 20 10 8 Donner l'expression sous forme d'une puissance unique de:

24 3.10 4 – 2.10 3 = (3,00.10 8 ) 2 = 7.10 8 x 4.10 -2 = 6.10 4 / 3.10 2 = 5.10 8 + 2.10 2 = (5.10 3 + 2.10 3 ) 2 = (2.10 4 x 5.10 -3 ) / 4.10 2 = (2.10 4 x 5.10 -3 ) / 4.10 -2 = Calculs avec les puissances de 10 2,8.10 4 9,00.10 16 28.10 6 = 2,8.10 7 2.10 2 5.10 8 49.10 6 = 4,9.10 7 0,25 = 2,5.10 -1 2,5.10 3 Sans calculatrice, effectuer les calculs suivants:

25 Conversions d'unités On utilise des préfixes devant le nom des unités pour éviter d'écrire les puissances de 10 Sous multiplesMultiples Puissance de 10PréfixeSymbolePuissance de 10PréfixeSymbole 10 -1 décid10 1 década 10 -2 centic10 2 hectoh 10 -3 millim10 3 kilok 10 -6 microµ10 6 megaM 10 -9 nanon10 9 gigaG 10 -12 picop10 12 teraT

26 Conversions d'unités Pour convertir une valeur donnée dans une unité en une autre unité, on doit multiplier ou diviser par les puissances de 10 correspondantes. Exemple 1: convertir d = 5,2 m en cm 1 cm = 10 -2 m  1 m = 10 2 cm Donc d = 5,2 m = 5,2.10 2 cm = 520 cm Exemple 2: convertir  = 2,0 g.mL -1 en g L -1 1 mL = 10 -3 L  1 L = 10 3 mL Donc dans 1 L, il y a 10 3 fois plus de matière que dans 1 mL et donc une masse 10 3 fois plus grande. Alors  = 2,0 x 10 3 = 2,0.10 3 g.L -1

27 h = 25 cm en km z = 2,01 km en nm m = 150 mg en µg P = 1,2 GW en kW F = 4,7 daN en N v = 2,5 cm.s -1 en m.s -1  = 5,2. g.mL -1 en g.L -1  = 850 g.L -1 en kg.m -3 v = 32 µm.ms -1 en m.s -1 S = 50 cm 2 en m 2 Conversions d'unités h = 25.10 -5 km = 2,5.10 -4 km z = 2,01 km = 2,01.10 12 nm m = 150.10 -3 g = 150.10 3 µg = 1,50.10 5 µg P = 1,2.10 9 W = 1,2.10 6 kW F = 4,7.10 2 N v = 2,5.10 -2 m.s -1  = 5,2.10 3 g.L -1  = 850.10 -3 kg.L -1 = 850 kg.m -3 v = 32.10 3 µm.s -1 = 32.10 -3 m.s -1 S = (50.10 -2 ) 2 m 2 = 2500.10 -4 m 2 = 2,5.10 -1 m 2


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