ORGANISER LES APPRENTISSAGES PAR LA RESOLUTION DE PROBLEMES

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1 ORGANISER LES APPRENTISSAGES PAR LA RESOLUTION DE PROBLEMES
Cécile Allard-Baynaud LDAR Didactiques des mathématiques université de Paris VII

2 Plan Introduction : définition et état des lieux ;
Les différents rôles des problèmes ; Les huit leviers pour garantir des apprentissages.

3 Introduction et état des lieux
Me reste à rappeler les résultats aux évaluations nationales

4 Evolution des performances en culture mathématique (uniquement les pays avec des écarts significatifs statistiquement parlant) Hausse des performances entre 2003 et 2006 France dégradation du nombre de mauvais élèves plus forte tandis qu’au japon, belgique et Usa effet inverse Baisse des performances entre 2003 et 2006 PISA 2006: Science Competencies for Tomorrow’s World, Figure 6.21

5 High science performance
High average performance Large socio-economic disparities Strong socio-economic impact on student performance Socially equitable distribution of learning opportunities Faible performance et faible équité sociale. Low average performance Large socio-economic disparities Low average performance High social equity Low science performance OECD (2007), PISA 2006 – Science Competencies for Tomorrow’s World, Figures 4.4c

6 La société finlandaise
Un petit pays : 5,2 millions d’habitants ; Une société homogène : 97% d’habitants d’origine finlandaise, 95% de luthériens ; Des cours de religion ou de morale, d’instruction civique pour tous les élèves de 7 à 18 ans ; Une culture de l’égalité des chances où l’esprit d’élitisme n’est pas de mise ; Une écriture de la langue finnoise récente (fin 19ème) et conforme à la prononciation ; De très nombreuses bibliothèques (lecture moyenne : un journal par jour et 17 livres par an) et des films essentiellement d’origine étrangère et non traduits.

7 Organisation scolaire
Financement sur la base d’un forfait par élève (57% Etat, 43% Communes) ; Très peu d’écoles privées. Aucune école ne peut être payante 20% des élèves ont une bourse ; Les effectifs des classes varient de 12 à 25 élèves, en général moins de 20 élèves ; Le repas de midi est offert, le matériel gratuit jusqu’au collège ; A l’école élémentaire, 3 ou 4 maîtres, 6 à 7 à partir du collège ; Salles des professeurs très confortables, bureaux individuels pour travailler, accueillir les élèves et les parents ; Les universités sont sur budget d’état, les instituts professionnels ou polytechniques sur budget des communes ou privé ; Un étudiant de l’enseignement supérieur touche systématiquement une bourse mensuelle de 450 euros.

8 Soutien : un point fort Soutien institutionnalisé ;
Divers systèmes d’aide combinés : Dédoublement d’une heure ; Co-intervention d’un second enseignant dans la classe ; Cours particuliers par un enseignant de la classe ou un enseignant de soutien ; Pas de redoublement ; Une forte responsabilisation des enseignants pour la prise en charge des difficultés.

9 Les évaluations Evaluation orientée vers les acquis et progrès ;
L’élève passe le contrôle s’il se sent prêt ; Pas d’esprit de compétition ; Notation sur 10 à partir de la 4ème année. La note la plus basse est 4 ; Peu de devoirs à la maison (non ramassés, non notés) ; 4 à 5 devoirs surveillés par an par discipline ; un carnet de compétences rempli avec l’élève 2 fois par an ; Pas de conseils de classe ; moyenne de toutes les notes et l’élève est invité à évaluer par écrit ses acquis et progrès ; En fin de cycle, moyenne générale + portfolio de compétences ; Le baccalauréat : finnois et trois disciplines au choix de l’élève, passé à la carte, avec deux sessions par an. Durée des épreuves : 6 heures. Les 2/3 du sujet garantissent la note maximum ; Toutes les épreuves sont corrigées selon des critères communs imposés par le ministère.

10 Le système éducatif Part du PIB consacrée à l’éducation : 5,8% ;
Un système qui vise la réussite de chaque élève, le collège unique pour tous a été créé en 1970 ; Une grande confiance dans l’école et l’enseignement est un métier attractif ; Négociation des réformes avec l’unique organisation syndicale, peu de conflits L’enseignement est totalement gratuit ; Depuis 1990, les établissements scolaires dépendent uniquement des communes. Le personnel est recruté par le directeur avec le responsable de la commune et titularisé par lui ; Relative autonomie des établissements (manuels, programmes, répartition des heures, taille des classes…). Un cahier de charges général est donné par le ministère, plus explicite en matière d’objectifs et compétences attendues depuis 2002 ; Une administration centrale très légère : la DNE chargée d’élaborer des normes pédagogiques et de réguler annuellement l’enseignement à partir d’évaluations organisées dans un panel représentatif, et d’expérimentations réalisées dans des établissements pilotes ; Les corps d’inspection ont été supprimés en 1990.

11 Les enseignants Formation : Instituts Universitaires de Formation
Premier degré : un recrutement après le bac et 5 ans d’études ; Lycée : un recrutement sur examen en IUF après L, 2 ans de formation aboutissant à un master professionnel dont un an de stage. Formation continue : Au moins 3 jours par an, validée par des ECTS. Travail : 15 à 24 séances plus 2 heures de réunion ; Fonctions de surveillance, vie scolaire, orientation ; Liberté pédagogique ; Un syndicat unique et 97% de syndiqués ; Bons salaires. Evaluation : au sein de l’établissement et via les enquêtes de la DEN.

12 Les facteurs de la réussite à PISA
Les caractéristiques de la société finlandaise, homogène, confiante dans son école vue comme un ferment de cohésion sociale ; Un échec scolaire inconcevable, de évaluations positives ; Un enseignement des maths adapté aux besoins de la vie courante en ligne avec l’esprit de PISA ; Mais un regard critique porté sur ce succès par les finlandais eux-mêmes et en particulier par les mathématiciens universitaires comme l’a montré le colloque Franco-Finlandais organisé par la SMF en 2005.

13 Conclusions PISA 2006 confirme : La prééminence de
La Finlande, la Corée, le Canada, la Nouvelle Zélande Le fait que les pays les plus performants : Ont un nombre élevé d’élèves très performants ; Ont un faible nombre d’élèves en difficulté ; Présentent un système éducatif équitable ; Ne sont pas les plus dépensiers ; Ne favorisent pas l’enseignement d’une matière, par exemple les sciences, au détriment des autres ; Ne procèdent pas à une orientation scolaire précoce ; Ne favorisent pas l’école privée.

14 Définitions

15 Faire des mathématiques?
Qu'est-ce que " FAIRE DES MATHEMATIQUES " : « Ma réponse globale sera que faire des mathématiques, c'est les FAIRE, au sens propre du terme, les construire, les fabriquer, les produire, que ce soit dans l'histoire de la pensée humaine ou dans l'apprentissage individuel. Il ne s'agit pas, bien sûr, de faire réinventer par les élèves des mathématiques qui existent déjà, mais de les engager dans un processus de production mathématique où leur activité ait le même sens que celle des mathématiciens qui ont effectivement forgé des concepts mathématiques nouveaux. [...] Ce qui est important pour l'élève, ce n'est pas de connaître la solution, mais d'être capable de la trouver lui-même, et de se construire ainsi, à travers son activité mathématique, une image de soi positive, valorisante, face aux mathématiques. » R Bkouche, B. Charlot, N. Rouche et plus simplement par D. Valentin (2000)  « Faire, ce n'est pas appliquer, s'exercer… c'est chercher dans sa tête ! Ce n'est pas manipuler, c'est un effort intellectuel. »

16 Trois grandes idées clés
Ce qui compte pour faire des mathématiques : - ce n’est pas la solution mais le chemin ; - c’est avoir une image de soi valorisante face aux mathématiques ; - ce n’est pas appliquer, ni exercer c’est « chercher dans sa tête ».

17 Des conceptions les plus courantes parmi les professeurs

18 Deux conceptions de la résolution de problèmes à éviter
Des outils sont proposés aux élèves, l’apprentissage de technique de calcul, la calculatrice, la manière de présenter un problème, de trier les données, de chercher des données utiles ou inutiles. Mais contrairement à une notice comportant des vues éclatées de l’objet à reconstruire, il n’ y a pas de bonnes méthodes pour apprendre à lire un énoncé de problème en mathématique. Mais cela je le développerai plus tard dans l’exposé.

19 Les maths outils Il ne reste plus qu’à savoir lire l’énoncé !!!
Pour appuyer mon propos, si les élèves sont bien outillés, qu’ils savent lire, pour réussir il suffirait alors qu’ils sachent lire les énoncés mathématiques. Des énoncés terribles de 5 à 10 lignes qui semblent régulièrement nous prouver que nos élèves ne savent pas lire…

20 Les maths « libres » : Cherche
Les maths « libres » : Cherche ! Et en maths : il y a ceux qui ont du flair et les autres. Et il y a aussi des mouvements pédagogiques (portés par les Io plus anciens) qui encouragent la recherche mais qui oublient de dire d’insister sur la maîtrise des outils.

21 Etat des lieux : Du côté des élèves
Pisa, évaluation cm.

22 Que sait-on actuellement sur la résolution de problèmes à l’école?
L’inhibition des élèves de cycle : vers des problèmes pour désinhiber. (Extrait évaluation 6ieme 2002 et 2003) Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. Combien y aura-t-il de pages complètes? Combien y-a-t-il de photos sur la page incomplète? Bonnes réponses : 58 et 55, 9 pour cent d’élèves ont réussi. Pourtant diverses procédures sont possibles por trouver la solution, l’élève peut reconnaitre un problème de division et chercher le quotient et le reste de 50 par 6; il peut aussi utiliser une multiplication et réciter la table de 6 pour arriver à plus près de 50, il peut aussi calclculer les additions jusqu’à approcher 50….ces dernières connaissances relevant du début de cycle 3, il arait donc étonnant que si peu d’él-ves de début de collège aient réussi à fournir les bonnes réponses au problème. POURQUOI LES ELEVES N UTILISENT ILS PAS LEUR CONNAISSANCES DANS LES PROBLEMES?

23 Diverses démarches possibles
Plusieurs démarches pour ce problème : Une division : (quotient de 50 par 6) ; Utilisation de la multiplication : table de 6 ; Utilisation de l’addition réitérée. →Tous les élèves de cycle 3 maitrisent normalement l’addition, pourquoi ne réussissent-ils pas tous ? → Peut-être ne savent-ils pas ce qu’on l’attend d’eux ?

24 Les obstacles à la mobilisation des connaissances
Trouver passe par chercher (les élèves n’osent pas essayer) ; Ils ne comprennent pas pourquoi la réponse annoncée est la seule valide ; Le maitre ne passe pas assez de temps à exploiter les différentes démarches. Dans leur trajet scolaire, de nombreux élèves se sont construits ce genre de représentation.

25 Des attitudes à travailler
Une des conditions à la mobilisation des connaissances réside dans les attitudes de l’élève et du professeur. Pour l’élève : prendre des initiatives. Pour le maitre : encourage, aide l’élève à comprendre le pouvoir de sa pensée dans la mesure où il lui laisse vérifier que ses prévisions sont justes.

26 Des idées fausses qui les empêcheraient d’agir.
Un problème contient toujours des nombres ; Il faut faire une opération pour trouver une solution ; Il faut utiliser tous les nombres ; Pour trouver il n’y a qu’une démarche possible ; Pour trouver la solution, il faut déjà savoir ; Pour résoudre un problème, il faut faire comme le maitre qui corrige au tableau ; Pour trier la solution, il faut trier les informations, souligner les informations utiles. → Cette dernière croyance est aussi une croyance fausse portée par les programmes de 1985. Mais alors, comment changer les attitudes?, comment détruire les idées fausses?

27 Les fichiers en cycle 2 Le souci de la mauvaise utilisation des fichiers en cycle 2 : les élèves n’ont pas toujours la possibilité de choisir leur mode d’expression (texte à trou), et l’absence de brouillon ne favorise pas la recherche. Cette mauvaise utilisation des fichiers contribue à la construction d’idées fausses sur les mathématiques. Les mathématiques ça ne s’apprend pas, ça se fait ! Il y a ceux qui savent bien remplir les cases et les autres… Dans certains fichiers, les situations de recherche sont intéressantes mais les modalités de travail tuent la recherche. J’accuse ici la mauvaise utilisation des fichiers car on ne peut pas accuser les enseignants de les utiliser puisqu’il n’y a que cela sur le marché. De plus la politique de moins de photocopillages est aussi devenue une politique de moins de photocopies…difficile parfois alors d’avancer dans le programme et d’amenager les parcours des élèves.

28 Les différents rôles des problèmes
Leur place dans les apprentissages

29 Des problèmes pour « désapprendre »
Caractéristiques : Ils ne visent pas a priori de nouveaux contenus notionnels. Les élèves ont les connaissances pour les résoudre. Mais la résolution n’est pas automatique, pas immédiate, pas réduite à une opération. L’entrée dans la tâche est facile, les élèves peuvent déclencher des actions, des essais. Si possible, les élèves peuvent contrôler eux-mêmes leur réponse. Organiser l’apprentissage à l’aide de la résolution de problèmes, nécessite dans le paysage actuel en début d’année de proposer à nos élèves des problèmes pour désapprendre, tuer les croyances, changer les attitudes.

30 Mais pas n’importe quels problèmes !
La situation engage toujours vers la résolution d’un problème. L’objet de cette activité a un intérêt du point de vue mathématique (réinvestissement des connaissances acquises). L’élève réussit à élaborer une procédure de résolution. Ces problèmes sont proposés plusieurs fois avec des variantes.

31 Des problèmes pour « désapprendre »
Des problèmes sans nombres. Des problèmes géométriques. Des problèmes de logiques. Désapprendre : changer le contrat didactique, donner une autre image des mathématiques que celle que les élèves se sont forgés.

32 Reliez ces neufs points par une ligne brisée de quatre segments qui passe une et une seule fois par chacun des points. Le lecteur est souvent bloqué parce qu’il a décidé seul de ne pas sortir du cadre constitué par les 9 points : il a structuré la fgre en carré; or pour réussir il faut tracer des segments qui sortent du carré. Jean Brun (1999) psycho cogniticien : dans une perspective psychologique, un problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant un sujet d’élaborer une suite d’actions ou opérations pour atteindre ce bur. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n’est pas disponible d’emblée mais possible à construire. C’est-à-dire aussi qu’un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet en fonction de leur développement intellectuel par exemple.

33 Des exemples de problèmes pour désapprendre
Les élèves ont à valider ici des réponses. Pour cela on peut les laisser libre de construire un carré, la possibilité de faire bouger la figure dans leur tête (d’un demi tour, d’un quart de tour ou de trois quart de tours dans le sens horaire ou anti horaire) ou avec du matériel. Ils doivent prendre des initiatives! On peut résoudre ce problème juste en éliminant la seule figure ou le segment qui traverse le carré n’est pas une diagonale. Il y aura bien sur une discussion à mener sur la question car elle sous entend que toutes les figures sont justes sauf une!

34 Les boites Il s’agit de répartir tous les jetons dans des boites grises et blanches. Il doit y avoir le même nombre de jetons dans des boites de la même couleur. 17 jetons, 2 boites grises et 3 boites blanches. 4 dans les grises et 3 dans les blanches 7 dans les grises et 1 dans les blanches 1 dans les grises et 5 dans les blanches Dans ce problème on peut favoriser les procédures de contrôle; 3 réponses sont valables (on destabilise les élèves), on contrôle et on valide (on restabilise les élèves).

35 « C’est d’équerre » (ERMEL CE2)
Aucune difficulté dans l’énoncé, mais il n’est pas annoncé qu’l faut trouver la règle de construction, prendre des mesures, utiliser l’équerre (même si suggéré par le titre).

36 « Traces de roues » (ERMEL CM1)
Ce problème est très intéressant car il est auto validant. La feuille de présentation est accroché dans un couloir, derrière la maitresse, sur un fenêtre… On donne aux élèves la partie 2. C’est alors à eux d’aller chercher les informations sur la feuille de présentation. En groupe, ils se mettent d’accord sur les informations à recueillir. Ils devront alors bien mesurer les écarts et savoir tracer des perpendiculaires. (théorème en acte mais pas annoncé!)

37 Marie, un peu fantaisiste, compte des têtes et trouve 8 têtes
Marie, un peu fantaisiste, compte des têtes et trouve 8 têtes. Puis elle compte les pattes et en trouve 26. Saurais-tu trouver le nombre de poules et celui de lapins? → Faire des hypothèses ; →Etre imaginatif ou être organisé ; → Créer pour trouver ; → Peut être résolu en faisant des essais ; → D’autres versions peuvent être données (19 véhicules, 52 roues, des voitures et des motos).

38 Qu’est-ce qui se passe dans une classe de cycle 3?
Kristy s’est trompée sur le nombre de têtes.

39 Anaïs semble avoir compris le problème, mais lors de la recherche semble oublier ce qu’elle recherche. Il faudra lui apprendre à bien déterminer les hypothèses d’un problème, à les écrire et à s’appuyer dessus

40 Paul a bien compris le problème
Paul a bien compris le problème. Il faudra travailler sur le sens des écritures mathématiques : n’est pas égale à

41 En résumé Des démarches différentes ; Un brouillon qui a un sens ;
Des procédures de tâtonnement avec différents niveaux de contrôle ; Importance du dessin comme appui à la représentation du problème ; Pas de débat démocratique à l’intérieur des sciences (tranché par les procédures de contrôle et la validation).

42 En clair… Ces problèmes ne sont là que pour permettre aux élèves de prendre conscience qu’il y a un acte de pensée pour résoudre un problème. Si on ne pense pas, on ne résout rien!

43 Les rôles différents des problèmes: problèmes d’application, de recherche, situation problème. Mais c’est quoi un problème??? Ces problèmes pour désapprendre ou apprendre à chercher, sont à rencontrer tôt dans l’année. Le nouveau contrat en place : en math, je peux chercher, le maitre accepte tout, toutes les erreurs à condition que je prouve que je pense. Ainsi, la résolution de problème va être présente à tous les moments de l’apprentissage. Resoudre un problème c’est avoir une activité mentale, peut importe l’allure du problème!

44 Situation-problème, problèmes
le mot « situation problème » provient de la didactique des maths, c’est en relation avec la TSD de Brousseau. Pour lui, la construction des apprentissages ne se fait qu’à partir de situation. Les élèves n’apprennent que s’ils agissent avec motivation et sans attendre la validation du professeur.

45 Le rôle d’un problème dépend de sa place dans la séquence
Toute séquence de mathématique propose plusieurs problèmes : Une situation problème (reprise plusieurs fois) ; Des problèmes oraux en lien avec l’objectif d’apprentissage ; Des problèmes d’application.

46 Un exemple en CE2 Situation problème :
Chaque jour, les enfants d’une classe mettent 8 billes dans une boite. Combien de billes y aura-t-il dans la boite au bout de 3 jours, 4 jours, 10 jours, 12 jours, 20 jours… ? → Discuter pour mieux dévoluer ; → Discuter pour motiver. Proposition de cet énoncé en discutant autour des actions, sans donner la réponse ni de démarches possibles. Les élèves s’interrogent souvent pour savoir combien il y a d’élèves dans la classe, pour savoir s’ils mettent 8 billes chaque jour dans la même boite. La discussion permet la dévolution et la motivation du plus grand nombre d’élèves

47 Quels apprentissages sont visés?
Savoir élaborer une table de multiplication; Savoir utiliser et expliciter des stratégies de calcul mental de produits mettant en jeu la règle des zéros ; Connaitre la table de 8.

48 Différentes démarches possibles.
Pour 20 jours, les démarches révèlent la difficulté à exploiter le résultat pour 10 jours. « j’ai pris 10 multiplié par 10, 100 et , 108 » Opération posée en colonne dans la tête. Les démarches correctes sont additives : « j’ai pris 10 fois 8 et j’ai rajouté 10 jours 80 après 80+80=160 » Le rapport 2 est rarement explicité (« j’utilise le résultat de 2 fois 10 ») Des démarches du pas à pas qui font correspondre les jours et les billes 10 jours c’est 80 billes 11 jours c’est 88 billes…..

49 Et gestion de l’hétérogénéité.
On ne peut pas faire en sorte que notre tortue rattrape le lièvre…on ne peut pas demander toujours au lièvre d’attendre la tortue…Nous devons proposer des chemins ou encore des itinéraires cognitifs différents et cela est possible par la résolution de problèmes.

50 Brouillon d’Anaïs L’une des élèves qui a vécue matériellement la situation des billes. C’est avoir une image de soi valorisante face aux mathématiques. Anais reste au niveau de la recherche

51 Extrait du cahier du jour d’Amélie
Extrait du cahier du jour d’Amélie Ce n’est pas la solution mais le chemin. Le chemin d’Amélie est abouti, nous ne nous sommes pas embarrassés lors de cette phase de recherche par une lourde rédaction avec phrase réponse, copie de l’énoncé… Anais est bien plus loin…et c’est là que la tâche se corse!

52 De la situation problème au problème d’application
Calcul réfléchi portant sur la règle des zéros Calcul mental avec des problèmes oraux sur la table de8. 4 billes par jour. Quand tous élèves seront engagés dans la tâche, l’apprentissage des tables, et des écritures mathématiques se mettra en place.

53 Pour résumer : Des problèmes de mathématiques pour introduire des nouveaux apprentissages ; Des problèmes oraux lors des séances de calcul mental ; Des problèmes d’application pour entrainer et consolider.

54 Huit leviers pour garantir des apprentissages