SYSTEMES NON LINEAIRES

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1 SYSTEMES NON LINEAIRES
EN COMMUNICATION

2 INTRODUCTION Exemples : Circuit électrique RLC Filtre numérique PLL
Modulation sigma delta

3 Circuit RLC

4 Filtres numériques Principe H(z) {h(n)} U(z) u(n) Y(z) y(n)

5 Filtres numériques Représentation par fonction de transfert
Equations : y(k)= a0x(k)+a1x(k-1)+...+anx(k-n) - b1y(k-1)-...-bmy(k-m)

6 PLL Les boucles à verrouillage de phase (Phase-Locked Loops or PLLs) ou encore boucles à asservissement de phase permettent : d’extraire à partir d'un signal reçu la fréquence de synchroniser la phase

7 PLL Les éléments de base de la PLL sont : Un comparateur de phase
Un Filtre passe bas Un VCO : oscillateur commandé en tension

8 PLL Equations

9 Modulation Sigma Delta
Le principe de la modulation sigma delta consiste à: Suréchantillonner le signal Le quantifier sur un nombre de bits réduit Appliquer un filtre de décimation

10 Modulation Sigma Delta
Schéma Équation

11 Les limitations des modèles linéaires
En réalité tous les systèmes physiques sont non linéaires Dans certains cas il est possible de décrire le comportement d’un système physique par un modèle linéaire autour d’un point de fonctionnement En général le modèle linéaire est inadéquat et imprécis Certaines non linéarités sont voulus par l’ingénieur : Limitation de courant, commande tout ou rien, ….

12 Définition : Un système non linéaire est un système qui n’est pas linéaire c.à.d. qui ne peut pas être représenté par des équations différentielles à coefficients constants. Définition négative donc extrêmement non exhaustive Non existence de méthode générale pour l’étude des systèmes non linéaires Définition relative à la précision puisqu’un système non linéaire peut être considéré linéaire dans un certain domaine

13 Modèles mathématiques
Représentation d’état Système dynamique non contrôlé Système dynamique contrôlé

14 Modèles mathématiques
Systèmes bilinéaires Systèmes linéaires

15 Modèles mathématiques
Équations différentielles u(t) : entrée , y(t) : sortie Ai ctes ---->  système linéaire stationnaire Ai(t)  > système linéaire mais non stationnaire Ai (x(t),y(t),y’(t),….) ----> système non linéaire

16 Modèles mathématiques
Systèmes à non linéarité séparable Avec H(p) la fonction de transfert du système linéaire

17 Exemples de non linéarité
Saturation Plus ou moins Plus ou moins avec seuil Hystérésis Non linéarité essentielles : non linéarisable

18 Ce que l’on sait faire en linéaire
Représentation des systèmes linéaires Équations différentielles à coefficients constants Fonction de transfert Représentation d’état

19 Ce que l’on sait faire en linéaire
Analyse Réponse fréquentielle Réponse temporelle Stabilité précision

20 Ce que l’on sait faire en linéaire
Commande Synthèse fréquentielle Synthèse dans l’espace d’état

21 Propriétés des SL qui ne sont plus valables dans le cas des SNL
Principe de superposition Méthodes fréquentielles Méthode temporelle : caractérisation du système par un signal test Fonction de transfert Existence et unicité des solutions Stabilité

22 Phénomènes typiquement non linéaires
Existence de points d’équilibre isolés et multiples Existence de cycles limites Présence d’oscillations avec composantes harmoniques d’ordre supérieur ou inférieur Sensibilité vis à vis des conditions initiales Sensibilité vis à vis des paramètres Comportement complexe et chaotique

23 Objectifs du cours Étude des systèmes linéaires dans l’espace d’état : cas continu et discret Comprendre et connaître les phénomènes non linéaires Introduire les outils mathématiques de base pour l’analyse des systèmes non linéaires Applications aux systèmes de communication