ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

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1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur
Optimisation

2 Le problème Minimum unique dans W, la fonction est convexe
et tout va bien...

3 Le problème W Minimum unique dans W, Pas de minimum dans W,
la fonction est convexe et tout va bien... Pas de minimum dans W, le minimum est sur la frontière minimisation sous contrainte

4 Exemple Minimum unique dans W, la fonction n’est pas convexe
c’est compliqué...

5 Le cas des moindres carrés
Problème de minimisation quadratique sans contraintes G symétrique définie positive : J est convexe il existe un minimum unique

6 Théorèmes d’existence
Définition : soit J : Rn R, le point u est un minimum relatif de J, s’il existe un voisinage V de u tel que : Théorème : si J admet un est un minimum relatif en u, et si J est dérivable en ce point, Alors Remarque : on appelle parfois cette équation l’équation d’Euler du problème de minimisation Démonstration :

7 Théorème d’existence Définition : soit ji : Rn R, des fonctions continues. Soit u un point de l’ensemble en lequel les dérivées j’i(u)  sont linéairement indépendantes. Théorème : si J admet un est un minimum relatif en u U, si J est dérivable en ce point et tel que ji(u)=0, i=1,m Alors il existe m nombres li définis de façon unique : Remarque : on appelle les li les multiplicateurs de Lagrange cette équation est celle « d’Euler-Lagrange » Démonstration :

8 illustration x2 x1 x1 x2

9 Le cas des moindres carrés sous contraintes
n 1 m a l h d G CT C =

10 Ça marche - ça ne marche pas
La condition est nécessaire, et non suffisante il faut de la convexité !

11 La convexité Ensemble convexe ensemble non convexe - fonction convexe fonction non convexe y x x y x y x y Définition : un sous ensemble K de Rn est dit convexe Définition : une fonction f : K Rn , avec K convexe est dite convexe Théorème : f est convexe ssi la matrice Hessiène de f est définie positive Théorème : soit f : K Rn , strictement convexe avec K convexe. Alors, le minimum de f sur K, s’il existe est unique.

12 Les algorithmes d’optimisation
Directes (ex : moindres carrés) Itératives Newton Descente : Pas de descente Direction de descente