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Les concepts d'opération Lundi 11 février 2013. La théorie des concepts Daprès G. Vergnaud Lucie demande à Julie lâge de ses trois frères et sœurs ; celle-ci.

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1 Les concepts d'opération Lundi 11 février 2013

2 La théorie des concepts Daprès G. Vergnaud Lucie demande à Julie lâge de ses trois frères et sœurs ; celle-ci répond : la somme de leurs âges est égale au tien, et leur produit à 36. Bien, dit Lucie, qui prend un papier et un crayon, mais qui au bout de quelques minutes dit : je ne peux pas répondre. Ah, cest vrai, dit Julie. Je ne tavais pas dit que laîné fait du judo. Lucie est dès lors fixée. Comment Lucie a-t-elle procédé ?

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4 La théorie des concepts

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8 Activités préparatoires

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10 2ème étape : RÉALISONS DES COUPLES ET DÉNOMBRONS-LES !

11 3ème étape : Retrouvons le bon rectangle

12 La division

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15 Les 2 sens de la division

16 … et un 3 ème !

17 Classer les problèmes 1- Il y a 4 élèves. La maîtresse distribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue–t–elle de jetons en tout ? 3- Quel est le nombre de carreaux de chocolat que contient une tablette de 3 sur 4 ? 4- La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe délèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a–t–il délèves ? 2- La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jetons a chaque élève ? En CP - CE1 f

18 Classer les problèmes Et en GS ? 1- Lenseignant annonce aux élèves quils vont fabriquer un jeu de cartes. Vous allez chercher combien de cartes différentes on peut fabriquer avec trois formes géométriques (carré, rond, triangle) et quatre couleurs (jaune, rouge, vert,bleu). Attention, il y a une seule forme et une seule couleur par carte. 2- Lenseignant a préparé des pots de peinture pour les ateliers. Il annonce aux élèves ce quils vont chercher. Vous allez chercher combien dateliers fonctionneront cet après–midi. Il y a seize pots de peinture. Chaque groupe doit avoir quatre pots. Je vous demande décrire le nombre dateliers que vous avez trouvé. 3- Lécole vient de recevoir des ballons en mousse. Lenseignant annonce aux élèves ce quils vont chercher. Vous allez chercher combien de ballons le directeur va distribuer à chaque classe. Il y a quinze ballons et cinq classes. Bien évidemment chaque classe doit avoir le même nombre de ballons. Je vous demande décrire le nombre de ballons que vous avez trouvé.

19 Additions et soustractions

20 Les problèmes des réussites contrastées… Des problèmes bien réussis

21 Des problèmes peu réussis

22 Comment expliquer ces différences de réussite ? Les différentes catégories de problèmes (selon la typologie de Gérard Vergnaud)

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27 Progression qui respecte les processus mentaux

28 Exemple d'activité : le jeu de piste

29 La technique opératoire de laddition

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37 La technique opératoire de la soustraction Plutôt les techniques ! A vous de poser :

38 La technique par « cassage des classes »

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42 L'addition à trous 82 – 27 = ?

43 La technique soustraction un peu de culture générale

44 La multiplication : par où commencer ? Laddition réitérée ou Les quadrillages ???

45 Historiquement… Les Grecs mettaient toujours en relation le numérique et le géométrique : Un nombre représenté par une longueur Un produit de 2 nombres représenté par laire dune surface

46 Les limites de laddition réitérée

47 Alors que …

48 Les propriétés à acquérir

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50 Situations et calcul mental Mardi 12 février 2013

51 A vous de jouer 48 × x 25

52 48 x 250 = 12 x 4 x 250 = 12 x 1000 = x 25= x 25= x 25= x 25=900 57x25= (56+1) x25= (56x25) + (1x25)= (14x4x25) +(1x25)= (14x100) + 25 = = 1425

53 A vous jouer Trio

54 Le calcul mental

55 Quelques points de vocabulaire Calcul mental Calcul posé Résultat automatisé Procédure automatisée Calcul réfléchi Calcul rapide Calcul approché

56 Les connaissances à faire acquérir Dans les programmes 2008… des indications concernant les tables…connaitre, mémoriser, restituer des éléments concernant le calcul mental … produire, reconnaitre, utiliser, calculer mentalement…un travail quotidien. Dans les programmes de la classe de 6 ème … le calcul mental est mentionné : on sy entraîne, on consolide… Cela renvoie implicitement à lécole élémentaire lenseignement des procédures de calcul. Un cadre horaire : le ¼ dheure quotidien dentraînement, des séances plus longues pour lenseignement des procédures de calcul et de nouveaux résultats.

57 L'apprentissage des tables débuté au cycle 2 mais poursuivi au cycle 3 Les tables sont des faits arithmétiques à connaitre. Bien que le nombre de faits soit restreint, la mémorisation des tables résiste : « Les informations quelles contiennent ne sont pas arbitraires et indépendantes les unes des autres. Au contraire, leurs contenus sentremêlent étroitement. Elles fourmillent de fausses régularités, de rimes troublantes, de jeux de mots trompeurs. (S. Dehaene –La bosse des maths). »

58 Des procédures à enseigner et à apprendre Pourquoi enseigner le calcul mental ? … des liens avec la vie de tous les jours. Une manière de permettre à lélève de cerner ses besoins dans ce domaine. Le travail sur les ordres de grandeurs permet une anticipation et un premier contrôle sur la validité dun résultat. Le recours au calcul mental et ses limites : il faut permettre aux élèves de mesurer leur efficience dans ce domaine mais aussi de situer leurs limites. Il faut les amener à faire preuve dautonomie et dinitiative en choisissant la forme de calcul la plus adaptée : calcul mental, calcul posé, calculatrice.

59 Des procédures à découvrir, entraîner et automatiser Pour automatiser des procédures il faut les repérer, les identifier, les exercer. Ce travail est lessentiel du parcours de formation à proposer. Lapprentissage préconisé est un passage par lexplicite : expliciter ou faire expliciter les propriétés des nombres et celles des opérations en jeu…systématiquement en début dapprentissage, puis chaque fois que nécessaire Recenser les procédures adaptées à la progression de chaque année de lécole élémentaire pour les enseigner explicitement…nécessité dune progression pensée sur le parcours élémentaire de lélève. Procédures ou procédure ? Il serait improductif dimposer une stratégie et une seule, même et surtout celle qui apparait comme une évidence pour celui qui enseigne. Pour choisir, il faut avoir le choix…

60 Progression et programmation Les apprentissages se construisent dans la durée. Une programmation toujours associée aux autres apprentissages mathématiques : quand on étudie la relation centimes/euros, il est impossible déviter de revenir au complément à 100, la distributivité dans la technique opératoire de la multiplication doit être travaillée en calcul mental. Mais des spécificités à respecter : les techniques opératoires ne doivent pas être transposées au calcul mental, les techniques du calcul mental sont à apprendre spécifiquement. Les techniques de calcul mental sappliquent prioritairement dans les situations de la vie courante : monnaie, comparaison de mesures, échanges entre enfants. Les techniques spécifiques au calcul mental ne pourront sinstaller durablement que si elles sont comprises, cest-à-dire reliées à des connaissances déjà installées sur les nombres et sur les opérations : sens et technique sont étroitement liés.

61 A VOUS DE JOUER !

62 LE JEU DES DOUBLES TOUS NIVEAUX But à atteindre : être le premier à gagner 15 jetons Chaque enseignant lance à son tour les 2 dés. Il peut alors prendre : Autant de jetons que l'indique le plus grand dé Ou Le double du plus petit dé Faire au moins 3 parties pour explorer les difficultés, les possibilités....

63 Évolutions envisageables Anticiper les tirages permettant d'obtenir un nombre donné Idem mais avec la notion de moitié

64 Les tables de Pythagore Quelle progressivité ?

65 La table de multiplication À construire et à analyser avec les élèves

66 La mémorisation des répertoires additifs et soustractifs

67 Les tables de multiplication

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70 Une progression basée sur la réflexion : Après la table de 2, les tables de 4 et de 8 peuvent être reconstruites. Même remarque après la table de 3 pour 6 et 9. La seule n'ayant aucun lien avec les autres, donc a priori la plus difficile à mémoriser, c'est la table de 7. Mais, en réalité, il ne reste alors que 7 x 7 à apprendre. Tous les autres peuvent être retrouvés par commutativité (Exemple : 7 x 8 et 8 x 7 ….)

71 La mémorisation des répertoires additifs et soustractifs Pour faciliter la visualisation des acquis

72 A vous de jouer !

73 Des jeux à fabriquer : en fabriquant 1 jeu de chaque, toute la classe peut jouer en même temps ! * le jeu des mariages * le jeu de mémory * le jeu de la table * le jeu de Pythagore * les 50 cases * le jeu des multiples Exemples de jeux multiplicatifs A partir de ces jeux, créer des jeux pour travailler les répertoires additifs et soustractifs


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