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1Roland Charnay - 2007 Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes.

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1 1Roland Charnay Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes

2 Roland Charnay Des enjeux complémentaires Acquérir des outils mathématiques… Etre capable de les utiliser dans différents domaines, en autonomie Préparer la suite des apprentissages (collège…) Développer des compétences générales

3 Roland Charnay Plan Etat des lieux : quelques données sur les acquis des élèves Analyse des difficultés Pistes pour laction pédagogique

4 4Roland Charnay Etat des lieux Quelques données

5 Roland Charnay Evaluation sixième 2004 Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés). Deux domaines particuliers de difficultés –le calcul mental –la résolution de problèmes

6 Roland Charnay Calcul mental – Evaluations CE2 et 6 e 2004 : 28 % d'échec aux "questions de base"

7 Roland Charnay Priorité au calcul mental parmi tous les moyens de calcul sous ses 2 aspects Mémoriser des résultats et des procédures Construire des résultats

8 8Roland Charnay La résolution de problèmes

9 Roland Charnay Evaluation 6 e Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %

10 Roland Charnay Procédures possibles Problème des photos Division par 6 Division (CM1) Essais de produits par 6 Table de multiplication (CE2) Addition de 6 en 6 Addition (CE1) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP)

11 Roland Charnay Une question Pourquoi des élèves qui disposent de lune ou lautre des connaissances permettant de résoudre ce problème… -ne pensent-ils pas… -nosent-ils pas… -ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question?

12 Roland Charnay Comparaison internationale (PISA 2003) Deux points faibles caractéristiques "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants". Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles". Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006

13 Roland Charnay Un exemple Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure : Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches.

14 14Roland Charnay Analyse des difficultés Quelques pistes

15 Roland Charnay Julie (éva 6 e ) Julie a acheté pour un goûter : -deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune -quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune -un sac de brioches. Elle a payé 56 F. Quel est le prix du sac de brioches ? 8 F x 6 F = 54 F Le prix du sac de brioches est 2 F.

16 Roland Charnay Schéma danalyse sommaire Connaissances - en lecture - sur le contexte - mathématiques - sens des notions - raisonnement - calcul Connaissances - sur ce qui est attendu - sur ce qui est permis - sur ce qui marche souvent - sur "l'accueil" des erreurs

17 Roland Charnay A la bonne place (éva CE2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient

18 18Roland Charnay Quelques pistes… … pour le travail avec les élèves

19 Roland Charnay Apprendre ce quest chercher Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur

20 Roland Charnay Exemples en GS Exemple 1 : Résolution à l'aide du matériel – 24 objets, 6 pochettes – mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette – Contrainte supplémentaire : il doit y avoir tous les types de pochettes – Autre contrainte : même nombre d'objets dans chaque pochette Exemple 2 : Résolution à l'aide du matériel – Trouver toutes les répartitions de 12 objets dans 3 pochettes

21 Roland Charnay Aide à la prise de conscience du comportement de chercheur et de stratégies efficaces Narration de recherche –Rédiger un compte-rendu de sa recherche, en décrivant toutes les idées, toutes les pistes, y compris celles qui n'ont pas abouti (IREM de Montpellier) –Faire des mathématiques, chest accepter de tâtonner, de faire des hypothèses, d'essayer, de se tromper, de corriger, de recommencer… Mise en commun –Comprendre et discuter d'autres démarches Synthèse sur des stratégies efficaces –Faire une hypothèse, la tester (pour voir) –Faire un schéma (pour comprendre, pour chercher) –Déduire de l'information d'un essai –Systématiser des essais…

22 Roland Charnay Aider à lappropriation du problème Plusieurs supports de présentation –Vécu –Dessin, schéma, document –Oral –Ecrit Aux cycles 1 et 2, le travail sur fiche est peu favorable, dans la phase dapprentissage

23 Roland Charnay Dix dans la boîte (Cap maths CP) - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.

24 Roland Charnay Dix dans la boîte : 3 problèmes Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup Plusieurs solutions… dont les nombres Connaître le contenu de la boîte Vers laddition Savoir sil est possible de gagner au coup suivant Vers le complément

25 Roland Charnay ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation Situation réelle Favorise lappropriation de la situation et du problème Anticiper Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures

26 Roland Charnay Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème. Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Se méfier des aides « de surface »

27 Roland Charnay Exploiter la diversité des procédures Favoriser la diversité Exploiter la diversité Aider au progrès des élèves

28 Roland Charnay Correction ou mise en commun ? Correction Aboutir au corrigé, à LA solution Conséquence : « résolution » unique dont il faut sapprocher le plus possible Mise en commun Inventorier les « résolutions » Débattre de leur validité Les comparer Conséquence : la diversité est possible

29 Roland Charnay Trace écrite ? Pas de trace écrite cette fois-ci Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève Un montage de différentes « résolutions » correctes

30 Roland Charnay Aider à progresser… Prise de conscience au cours de la mise en commun Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes Choix des variables Exemple : 250 passagers, 240 adultes Expérience mettant en évidence léquivalence de 2 « résolutions » (ici validation expérimentale)

31 Roland Charnay Accorder un autre statut à l'erreur Se tromper est « normal », dans la phase d'apprentissage Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

32 Roland Charnay Un exemple en calcul mental Question : calculer "6 fois 15" Réponse sur l'ardoise : 36 Analyse (hypothèse confirmée par l'explication de l'élève) L'élève a calculé 6 x 5 = 30 et 6 x 1 = 6, puis = 36

33 Roland Charnay Travail possible Faire expliciter la procédure utilisée Pourquoi est-on sûr que cette réponse est fausse (sans refaire le calcul) ? –Parce que chest plus grand que 6 x 10 Faire expliciter (éventuellement de plusieurs manières) une procédure correcte qui s'appuie sur une décomposition de 15

34 Roland Charnay Exemples d'explicitations… Oralement –15 chest , pour avoir 6 fois 15, il faut prendre 6 fois 10 et 6 fois 5 Oralement, avec appui sur un dessin –6 fois ça et 6 fois ça Essentiellement par le dessin (ou matériel, doigts)

35 Roland Charnay Et retour sur la procédure erronée Quel calcul réalise-t-on en faisant6 fois 5 plus 6 fois 1 ? Explications du même type que précédemment (oral, dessin…)

36 Roland Charnay La culture mathématique, chest … Des connaissances Des connaissances utilisables (donc qui ont du sens) Des connaissances cohérentes (reliées entre elles) La capacité à les utiliser pour justifier L'initiation à une pratique "mathématisante"


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