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Roland Charnay-2007 1 Mathématiques au cycle 2 Résolution de problèmes et apprentissages numériques.

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1 Roland Charnay-2007 1 Mathématiques au cycle 2 Résolution de problèmes et apprentissages numériques

2 Roland Charnay-20072 Qu'est-ce qu'un apprentissage mathématique réussi ? Des connaissances… … utilisables pour résoudre des problèmes … dont on comprend le fonctionnement Des capacités d'initiative et de rigueur

3 Roland Charnay-20073 Origines principales des difficultés SENS Compréhension des situations, des questions Maîtrise des concepts Compréhension de ce qu'est une activité mathématique TECHNICITE insuffisante

4 Roland Charnay-2007 4 Maîtriser un concept 4 pôles

5 Roland Charnay-20075 Quels résultats, quelles procédures ? - à mémoriser - à savoir élaborer Comment ? Quel langage ? -analogique - verbal - symbolique Comment dire ? Quelles explications ? Pourquoi ? Quels problèmes ? Pour quoi faire ?

6 Roland Charnay-20076 Trois axes de travail Travailler sur des situations « matérielles » Travailler sur des situations « matérielles » Réserver le travail sur fichier à lentraînement Travailler avec les productions des élèves Travailler avec les productions des élèves Favoriser et utiliser la diversité Favoriser et utiliser la diversité Aspect de la différenciation

7 Roland Charnay-2007 7 Le cas de l'apprentissage des nombres de la GS au CP La genèse des nombres chez le jeune enfant Quel travail en Grande Section ? Comment amorcer le travail au CP ?

8 Roland Charnay-20078 Importance de la "comptine" orale et du dénombrement L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos

9 Roland Charnay-20079 L'acquisition de la comptine quelques étapes Grande variabilité selon les enfants (donc valeurs moyennes) 4 ans et demi : récitation jusqu'à seize 4 ans et demi : récitation jusqu'à seize 5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante 5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante Mais savoir réciter n'est ni connaître complètement ni savoir utiliser

10 Roland Charnay-200710 Connaître la "comptine" Vers 6 ans Vers 6 ans –A partir de 1 jusqu'à… –A partir de … jusqu'à… –A rebours (décompter) –Utilisation pour dénombrer A partir de 6-7 ans A partir de 6-7 ans –Compter et décompter n nombres à partir de … –Compter ou décompter de … à …, en comptant les nombres énumérés

11 Roland Charnay-200711 Dénombrement Plusieurs compétences à développer Subitizing Subitizing Quantités repères : constellations, doigts… Quantités repères : constellations, doigts… Comptage un par un (3 principes importants) Comptage un par un (3 principes importants) –Correspondance nombre – objet –Dernier nombre dit –Indépendance du parcours des objets Estimation Estimation

12 Roland Charnay-200712 Quatre objectifs importants pour la GS A quoi servent les nombres ? Quels problèmes ? A quoi servent les nombres ? Quels problèmes ? –Exprimer les quantités pour les mémoriser –Repérer des positions dans une liste pour communiquer –Traiter des problèmes "arithmétiques" (cf. partie calcul) Suite orale des nombres : stabilisation Suite orale des nombres : stabilisation Dénombrement : différentes méthodes Dénombrement : différentes méthodes Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique

13 Roland Charnay-200713 un deux trois quatre cinq 12345671234567 Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée Trouver lécriture chiffrée associée à un mot-nombre un deux trois quatre cinq 12345671234567

14 Roland Charnay-200714 A quoi servent les nombres ? Garder la mémoire des quantités (un exemple) Un problème de référence Préparer juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robot Un type de problème à faire vivre en maternelle au CP Daprès Cap maths CP

15 Roland Charnay-200715 En grande section et au début du CP Les gommettes sont dans une boîte éloignée du robot Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles). Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles). Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot. Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot. Les demander oralement Les demander oralement Les commander par écrit Les commander par écrit

16 Roland Charnay-200716 Le travail sur fiche ne remplace pas l'expérience… mais peut la prolonger.

17 Roland Charnay-200717 Les compétences techniques… … n'ont d'intérêt que si elles sont au service de la résolution de problèmes ; … mais certaines d'entre elles doivent être "automatisées" pour être utilisables.

18 Roland Charnay-200718 Intérêt de situations « expérimentales » Appropriation immédiate de la situation et de la question Appropriation immédiate de la situation et de la question Représentation mentale de la tâche Représentation mentale de la tâche Possibilité dune vérification expérimentale de la réponse Possibilité dune vérification expérimentale de la réponse

19 Roland Charnay-200719 L'étude des nombres au début du CP Travailler sur un domaine numérique assez étendu (jusqu'à seize ou vingt, par exemple) Travailler sur un domaine numérique assez étendu (jusqu'à seize ou vingt, par exemple) Stabiliser les acquis de la GS (comptine, types de dénombrement, diversité des "représentations matérielles") Stabiliser les acquis de la GS (comptine, types de dénombrement, diversité des "représentations matérielles") Les nombres "mémoire des quantités" Les nombres "mémoire des quantités" Les nombres pour traiter des problèmes sur les quantités (augmentation, diminution, partage…) Les nombres pour traiter des problèmes sur les quantités (augmentation, diminution, partage…) Relations entre nombres (suite, relation à 5 et 10…) Relations entre nombres (suite, relation à 5 et 10…) Désignations orale et chiffrée (possibilité d'utiliser la file numérique, mise en évidence de régularités) Désignations orale et chiffrée (possibilité d'utiliser la file numérique, mise en évidence de régularités)

20 Roland Charnay-2007 20 Le cas de lapprentissage du calcul au cycle 2 Problèmes "arithmétiques" sans calcul en GS Les problèmes d'abord Priorité au calcul mental

21 Roland Charnay-200721 "Calcul" en GS ? quelles procédures ? Quels résultats, quelles procédures ? à mémoriser à savoir élaborer Comment ? Quel langage ? analogique verbal symbolique Comment dire ? Quelles explications ? Pourquoi ? Quels problèmes ? Pour quoi faire ?

22 Roland Charnay-200722 Quelles procédures en GS ? Dessin et dénombrement Dessin et dénombrement Comptage "en avant" ou "en arrière", souvent aidé (doigts…) Comptage "en avant" ou "en arrière", souvent aidé (doigts…) Utilisation de résultats déjà connus Utilisation de résultats déjà connus

23 Roland Charnay-200723 L'enfant qui entre au CP… … a déjà une longue pratique de "l'addition" et de la "soustraction" et a développé diverses stratégies pour résoudre les problèmes qui lui ont été proposés… … sans disposer du langage symbolique (+, -, =) et sans nécessairement avoir mémorisé de résultat.

24 Roland Charnay-200724 Un schéma pour le travail sur les opérations au cycle 2 Procédures Langageverbal puis symbolique Explications Problèmes

25 Roland Charnay-2007 25 Exemple de l'addition au CP

26 Roland Charnay-200726 Un exemple de problème fondamental Dix dans la boîte (Cap maths CP) - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.

27 Roland Charnay-200727 Dix dans la boîte : 3 problèmes Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup Plusieurs solutions… dont les nombres Connaître le contenu de la boîte Vers laddition Savoir sil est possible de gagner au coup suivant Vers le complément

28 Roland Charnay-2007 28 Place et rôle du matériel et des "manipulations" ANTICIPER / VALIDER un aspect essentiel de ce type de situation

29 Roland Charnay-200729 Réel Favorise lappropriation de la situation et du problème Anticiper Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures

30 Roland Charnay-2007 30 "Dix dans la boîte"… … resitué dans une progression.

31 Roland Charnay-200731 Avant "Dix dans la boîte" (1 unité) Combien de jetons dans la boîte ? (nombres de 1 à 10) Expérience effective avec anticipation : ajout et retrait de 1, de 2 ou de 3 Expérience effective avec anticipation : ajout et retrait de 1, de 2 ou de 3 Expérience évoquée (idem) Expérience évoquée (idem) Oralement : "3, j'ajoute 2" Oralement : "3, j'ajoute 2"

32 Roland Charnay-200732 Après "Dix dans la boîte" (2 unités) Entraînement : calcul oral Entraînement : calcul oral "trois plus un", "quatre moins deux" "trois plus un", "quatre moins deux" Nouveaux problèmes : "Où suis-je ?" déplacements sur la ligne numérique Nouveaux problèmes : "Où suis-je ?" déplacements sur la ligne numérique Mise en place d'un langage symbolique Mise en place d'un langage symbolique répertoire de ce qu'on sait par coeur

33 Roland Charnay-2007 33 Exemple de la multiplication au CE1

34 Roland Charnay-200734 Le problème des "tours" Cap Maths CE1 Par équipes de 2 Combien de tours, toutes pareilles, peut-on construire avec ces 30 cubes ? Trouvez le plus possible de possibilités. Il faut utiliser chaque fois tous les cubes. Problème présenté oralement, les cubes sont présents dans une boîte, mais non disponibles.

35 Roland Charnay-200735 L'exploitation du problème Collectif : - Recensement des réponses 3 tours de 10 cubes 5 tours de 6 cubes… - Expression des procédures utilisées, contrôle des réponses DessinComptage de n en n Ecriture additive Expression avec « fois » - Mise en évidence du lien entre réponses : 3 fois 10 et 10 fois 3… - Introduction du codage multiplicatif

36 Roland Charnay-200736 Avant le problème des "tours" Problèmes d'addition itérée Problèmes d'addition itérée –4 pochettes de 5 photos… –Des tours identiques avec 12 cubes Sommes de termes identiques Sommes de termes identiques –Calcul de 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 –Calcul de "3 fois 5" –Obtenir 18 en ajoutant le même nombre

37 Roland Charnay-2007 37 Exemple de la "division" au cycle 2

38 Roland Charnay-200738 Quelques difficultés dans l'apprentissage de la division ? Concevoir qu'elle permet de résoudre deux grands types de problèmes Concevoir qu'elle permet de résoudre deux grands types de problèmes –nombre de parts : combien de fois 4 dans 57 ? –valeur de chaque part : combien à chacun si on "partage 57" en 4 parts égales ? Choisir la "bonne réponse" Choisir la "bonne réponse" –quotient –quotient + 1 –reste Ne pas disposer de signe opératoire (cas où le reste n'est pas nul) Ne pas disposer de signe opératoire (cas où le reste n'est pas nul) Technique de calcul posé utilisant la multiplication et la soustraction… et avec une incertitude sur le choix des chiffres du quotient Technique de calcul posé utilisant la multiplication et la soustraction… et avec une incertitude sur le choix des chiffres du quotient

39 Roland Charnay-200739 Des problèmes peuvent être proposés dès la grande section d'école maternelle et le CP Des problèmes peuvent être proposés dès la grande section d'école maternelle et le CP Exemples, à propos de fabrication de maracas (petits tubes qui peuvent être fermés aux 2 extrémités) : Exemples, à propos de fabrication de maracas (petits tubes qui peuvent être fermés aux 2 extrémités) : –un nombre donné de graines et de tubes : combien de graines par maracas ? –un nombre donné de graines et tant de graines par maracas : combien de maracas possibles ? En GS et début de CP

40 Roland Charnay-200740 Objets disponibles, en totalité ou en partie Objets disponibles, en totalité ou en partie –Résolution par l'action (prise de conscience des problèmes posés, nécessité d'ajuster) Objets non disponibles Objets non disponibles –Résolution par "simulation" (doigts, autres objets, dessins, schémas)

41 Roland Charnay-200741 –Résolution par addition ou soustraction itérées (exemples avec 36 pépites à 3 personnages) –5 à chacun : 5 + 5 + 5 = 15 3 à chacun : 3 + 3 + 3 = 9 15 + 9 = 24 etc. 3 à chacun : 3 + 3 + 3 = 9 15 + 9 = 24 etc. –5 à chacun : 5 + 5 + 5 = 15 36 – 15 = 21 3 à chacun : 3 + 3 + 3 = 9 21 – 9 = 12 –Essais de nombres à additionner 3 fois –Résolution par multiplication essais ajustés : 10 x 3 = 30 15 x 3 = 45 etc. essais ajustés : 10 x 3 = 30 15 x 3 = 45 etc. multiplication à trou : x 3 = 45 multiplication à trou : x 3 = 45 En CP et CE1 : objets non disponibles


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