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De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des professeurs Étude didactique dans le cas de la symétrie orthogonale Iranete.

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1 De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des professeurs Étude didactique dans le cas de la symétrie orthogonale Iranete Lima Sous la direction de Nicolas BALACHEFF et Jana TRGALOVA Thèse préparée au sein de LÉquipe Laboratoire LEIBNIZ – IMAG Financée par le gouvernement brésilien – CNPq

2 2 Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

3 3 Contexte : Étude des décisions didactiques 1. Problématique et Cadre Théorique Projet BAP (Soury-Lavergne éd., 2003) Problématique EIAH Apprentissage de la preuve autour de la symétrie orthogonale Diagnostic de conceptions Décisions didactiques (Chaachoua & Lima, 2003 ; Lima & Trgalova, 2005)

4 4 Étude de décisions didactiques des professeurs : décisions prises avec une intention dapprentissage par lélève de la connaissance visée Problématique 1. Problématique et Cadre Théorique Modélisation de connaissances des élèves concernant la connaissance visée Choix dune notion mathématique : symétrie orthogonale

5 5 Choix des Cadres de Référence qui contiennent des principes méthodologiques et des règles qui permettent de réaliser les modélisations envisagées : Cadre de référence 1. Problématique et Cadre Théorique Modèle des niveaux du professeur Modèle cK ¢ Balacheff (1995, 2005) Margolinas (2002, 2005)

6 6 Modèle cK¢ : formalisation de conceptions 1. Problématique et Cadre Théorique La conception est létat déquilibre dun système, et plus précisément dune boucle action/rétroaction du système [sujet<>milieu]. P est un ensemble de problèmes R est un ensemble dopérateurs L est un système de représentation est une structure de contrôle

7 7 Hypothèse de travail (1) Les contrôles rendent compte des critères qui renvoient le sujet au choix, à la décision, à ladéquation, à la validité dune action, à la décision « résolu » pour un problème (Gaudin, 2005). 1. Problématique et Cadre Théorique

8 8 Questions de recherche Q1 : Comment caractériser lensemble des contrôles des conceptions susceptibles dêtre mobilisés par lélève dans la résolution dun problème relatif à la symétrie orthogonale ? Q2 : À partir de lensemble des contrôles, peut - on accéder aux autres éléments qui caractérisent une conception, notamment les opérateurs et les problèmes ? Si oui, comment ? 1. Problématique et Cadre Théorique

9 9 Hypothèse de travail (2) Lapprentissage est considéré comme le passage dune conception à une autre. Une conception C est légitimée par une sphère de pratique. Cette légitimité simpose en fonction du problème que le sujet résout. 1. Problématique et Cadre Théorique

10 10 Question de recherche 1. Problématique et Cadre Théorique Q3 : Quels sont les types de problèmes qui favorisent le passage dune conception Ci à une conception Cj, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques ?

11 11 Cadre de référence 1. Problématique et Cadre Théorique Modèle des niveaux du professeur Modèle cK ¢ Balacheff (1995, 2005) Margolinas (2002, 2005)

12 12 Modèle des niveaux du professeur +3 Valeurs et conceptions sur lenseignement/apprentissage projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de lapprentissage et de lenseignement + 2 Construction du thème construction didactique globale dans laquelle sinscrit la leçon : notions à étudier et apprentissage à réaliser + 1 Projet de leçon projet didactique spécifique pour la leçon observée : objectifs, planification du travail 0 Situation didactique réalisation de la leçon, interaction avec les élèves, prise de décisions dans laction -1 Observation de lactivité des élèves perception de lactivité de lélève, régulation du travail délégué aux élèves 1. Problématique et Cadre Théorique Situations sur - didactiques Situation a - didactique

13 13 Hypothèse de travail (3) Connaissances susceptibles dintervenir dans la prise de décisions des professeurs (Comiti, Grenier et Margolinas, 1995) : niveau + 3 : connaissances sur la notion mathématique et sur lapprentissage niveau + 2 : connaissances relatives à la situation denseignement/apprentissage niveau + 1 : connaissances globales sur les connaissances et les difficultés habituelles des élèves niveau 0 : connaissances qui sont des interprétations et/ou des représentations des élèves, qui vont lui servir dans laction pour ses prises de décisions immédiates niveau - 1 : connaissances permettant de distinguer dans le travail de lélève les erreurs ou les difficultés 1. Problématique et Cadre Théorique

14 14 Question de recherche 1. Problématique et Cadre Théorique Q4 : Sur quels éléments les professeurs sappuient-ils pour prendre leurs décisions didactiques en vue de faire évoluer les conceptions mobilisées par un élève ?

15 15 Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

16 16 2. M 2. Modélisation des Connaissances Caractériser a priori lensemble des contrôles des conceptions susceptibles dêtre mises en œuvre par un élève générique dans la résolution de problèmes de symétrie orthogonale Décrire des procédures de résolution Objectifs

17 17 Létude théorique 2. M 2. Modélisation des Connaissances Résultats de recherches Institution scolaire Mathématique et didactique Symétrie Orthogonale

18 18 Résultats de recherches Typologie des procédures (Grenier & Laborde, 1987 ; Grenier, 1988) : rappels : horizontal, vertical, par prolongement, orthogonal procédures analytiques, semi - analytiques, globales Typologie des conceptions (Tahri, 1993) : parallélisme, symétrie centrale, symétrie oblique, symétrie orthogonale Théorèmes en acte (Grenier, 1988) : un segment horizontal ne peut se transformer en un segment vertical la symétrie matérialise sur la feuille deux demi - plans 2. M 2. Modélisation des Connaissances

19 19 Cycle 2 : exploitation de laspect perceptif de la symétrie (par la vue, par lutilisation du pliage, calque, miroir…) Cycle 3 : passage progressif des connaissances perceptives aux connaissances géométriques (utilisation du pliage, calque…; tracé de figures symétriques sur papier quadrillé ) Classe 6e : passer de lidentification perceptive de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (construction dun point, dun segment, dun cercle, que laxe de symétrie coupe ou non la figure) 2. M 2. Modélisation des Connaissances Institution scolaire : Programmes

20 20 Définitions : Deux figures symétriques par rapport à une droite se superposent par pliage le long dune droite. Deux points distincts A et A sont symétriques par rapport à une droite d lorsque la droite d coupe le segment [AA] perpendiculairement en son milieu. Propriétés : Caractéristiques : l orthogonalité et légalité des distances Conservation : longueur, mesure des angles, alignement M 2. Modélisation des Connaissances Institution scolaire : manuels

21 21 Types de problèmes : reconnaissance de figures symétriques par rapport à une droite d reconnaissance daxes de symétrie construction de figures symétriques par rapport à une droite d (à main levée, sur papier quadrillé, avec des instruments de dessin) construction daxes de symétrie (à main levée, sur papier quadrillé, avec des instruments de dessin) 2. M 2. Modélisation des Connaissances Institution scolaire : manuels

22 22 Formalisation de contrôles 2. M 2. Modélisation des Connaissances Critères de choix Distance à laxe Directio n Taille Forme Sens Position

23 23 Critères et valeurs 2. M 2. Modélisation des Connaissances Distance à laxe : conservée Direction : horizontale ou celle donnée par le prolongement dun segment de F Taille : conservée Forme : conservée Sens : inverse Position : translation suivie dun retournement

24 24 Contrôles 2. M 2. Modélisation des Connaissances Distance à laxe : conservée Direction : horizontale ou celle donnée par le prolongement dun segment de F Taille : conservée Forme : conservée Sens : inverse Position : translation suivie dun retournement Σdist : Une figure (sous- figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de laxe de symétrie Σtaille : Le symétrique dun segment est un segment de même longueur Σhor : Limage dune figure (sous-figure) par une symétrie orthogonale est construite dans une direction horizontale Σprolong : Limage dune figure par une symétrie orthogonale est construite dans la direction donnée par le prolongement dun segment de cette figure Σforme : Une figure et son image par la symétrie orthogonale ont la même forme Σtranslation : Limage dune figure F par la symétrie orthogonale est obtenue par une translation de F dans une direction choisie Σsens_inverse : Une figure et son symétrique ont leur sens inverse

25 25 Autres contrôles Liés à lutilisation du pliage Σpliage_1 : Une figure et sa symétrique se superposent par pliage le long de laxe de symétrie Liés à lutilisation du calque Σcalque_3 : Si F est obtenue en décalquant F et en retournant le papier calque, alors F et F sont symétriques Liés à la nature de la figure F Σnature_de_F : Le symétrique dune figure est une figure de même nature Liés aux relations entre la figure F et la droite d Σpoint_invariant : Le symétrique dun point sur laxe est le point lui- même Contrôles de parallélisme Σparallélisme_segment : Un segment et son symétrique sont parallèles 2. M 2. Modélisation des Connaissances

26 26 Résultats de létude théorique Modélisation de contrôles susceptibles dêtre mobilisés par lélève dans la résolution de problèmes de reconnaissance et de construction de figures symétriques. Répertoire des variables didactiques. Description en termes de contrôles des procédures susceptibles être mobilisés par lélève dans la construction de figures symétriques. Étant donné que les opérateurs sont attestés dans l'action, cette étude ne nous a pas permis de formaliser a priori les opérateurs. 2. M 2. Modélisation des Connaissances

27 27 Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

28 28 Dans le but de favoriser un apprentissage chez lélève, le professeur prend des décisions : Quelle est la meilleure manière daborder un contenu ? Quels problèmes choisir ? À partir dune réponse de lélève, quelle est la manière la plus pertinente de conduire un processus denseignement ? … 3. Étude de décisions didactiques Quels sont les éléments déterminants dans la prise de décisions didactiques du professeur ?

29 Valeurs et conceptions sur lenseignement/apprentissage projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de lapprentissage et de lenseignement + 2 Construction du thème construction didactique globale dans laquelle sinscrit la leçon : notions à étudier et apprentissage à réaliser + 1 Projet de leçon projet didactique spécifique pour la leçon observée : objectifs, planification du travail 0 Situation didactique réalisation de la leçon, interaction avec les élèves, prise de décisions dans laction - 1 Observation de lactivité des élèves perception de lactivité de lélève, régulation du travail délégué aux élèves Modèle des niveaux du professeur Niveaux sur - didactiques Projet didactique local 3. Étude de décisions didactiques

30 30 Situation du professeur participant à notre recherche 3. Étude de décisions didactiques Projet didactique local Professeur Situation S +1 Projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de lenseignement et de lapprentissage (+3) Projet global : notions à étudier et apprentissage à réaliser (+2) Production de lélève Observé de la situation S-1

31 31 Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

32 32 Expérimentation auprès des élèves Objectifs : recueillir des productions délèves afin de pouvoir identifier les types de réponses et de procédures concevoir des copies pour lexpérimentation menée auprès des professeurs dans le but détudier leurs prises de décisions didactiques Le public : 51 élèves de deux classes de quatrième ( ans dâge) dun collège à Grenoble Données recueillies : copies 4. Expérimentation auprès des élèves

33 33 Expérimentation auprès des élèves : quelques résultats Certains élèves ont donné des réponses et ont utilisé des procédures de construction convergentes sur la totalité des problèmes. Dautres élèves ont donné des réponses et ont utilisé des procédures de construction différentes dun problème à lautre. Dautres encore ont donné aussi bien des réponses correctes querronées. Cependant, il y a une certaine cohérence dans ces réponses en termes de contrôles mobilisés. 4. Expérimentation auprès des élèves

34 34 « Anissa » : copie fictive avec réponses et procédures présentant une certaine convergence « Béatrice » : copie vraie comportant des réponses assez variées « Cédric » : copie fictive avec réponses et procédures tantôt correctes tantôt erronées, présentant toutefois une convergence dans les contrôles mobilisés Construction théorique de copies 4. Expérimentation auprès des élèves

35 35 Copie Béatrice Problème-flèche Σprolong : Limage dune figure par une symétrie orthogonale est construite dans la direction donnée par le prolongement dun segment de cette figure. Σdist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de laxe de symétrie. Σrotation : Limage dune figure par la symétrie orthogonale est obtenue par une rotation de F autour dun point et dun angle choisis. Ou Σrotation + Σsens_inverse : une figure et son symétrique ont leur sens inverse. Σparallélisme_segment : Un segment et son symétrique sont parallèles. 4. Expérimentation auprès des élèves

36 36 Problème segment - losange Copie Béatrice Σprolong ; Σdist ; Σrotation Σtranslation : Limage dune figure F par la symétrie orthogonale est obtenue par une translation de F dans une direction choisie + Σsens_inverse ; Σparallélisme_segment Σdemi_plan : Le symétrique de F est situé de lautre côté de laxe de symétrie. Σpoint_invariant : Le symétrique dun point sur laxe est le point lui-même. 4. Expérimentation auprès des élèves

37 37 Problème-segment Copie Béatrice RB1 : Construire une droite perpendiculaire à la droite d passant par un point. RB2 : Construire le symétrique dun point en conservant la distance à laxe dans la direction orthogonale à celui-ci. RB3 : Construire le symétrique dun segment comme le segment reliant les symétriques des extrémités du segment objet. Σortho : La figure (sous-figure) symétrique dune figure (sous-figure) par la symétrie orthogonale est construite dans la direction orthogonale à d ; Σdist Σsegment : Si les extrémités dun segment sont les symétriques des extrémités dun autre segment par rapport à une droite d, alors ces deux segments sont symétriques par rapport à d. 4. Expérimentation auprès des élèves

38 38 Problème - maison RB1 : Construire une droite perpendiculaire à la droite d passant par un point. RB2 : Construire le symétrique dun point en conservant la distance à laxe dans la direction orthogonale à celui-ci. RB4 : À partir dun point construit, tracer la figure image (F) tout en conservant la taille et la forme de la figure initiale (F), et en inversant lorientation des angles. Copie Béatrice Σortho ; Σdist ; Σtaille_1 : Le symétrique dun segment est un segment de même longueur. Σforme : Une figure et son image par la symétrie orthogonale ont la même forme (en particulier, le symétrique dun segment est un segment). Σposition_autre : limage de la figure est construite en fonction dune direction précédemment définie ; Σsens_inverse 4. Expérimentation auprès des élèves

39 39 Problèmes de reconnaissance : contrôle lié à la direction donnée par le prolongement dun segment ; Problème de construction du segment : procédure analytique contrôle lié à la propriété dorthogonalité et distance. Problème de construction de la maison : procédure semi-analytique contrôles taille, forme, sens inverse Système de représentation : changement de registre passant du géométrique au spatio-graphique et vice-versa Copie Béatrice : conclusions Sagit-il de conception(s) ? Si oui, sagit-il de lévolution dune conception vers une autre, ou bien de la cohabitation de plusieurs conceptions chez Béatrice ? 4. Expérimentation auprès des élèves

40 40 Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

41 41 Dispositif expérimental Objectifs : Dégager les éléments identifiés par les professeurs dans l'activité de lélève, et la façon dont ces éléments sont pris en compte dans leurs décisions didactiques Dégager les éléments des projets globaux d'enseignement (niveau +2) et des projets éducatifs (niveau +3) qui influencent les décisions des professeurs 5. Expérimentation auprès des professeurs

42 42 Dispositif expérimental Public 10 professeurs expérimentés dans l'enseignement secondaire ou primaire Dossier fourni aux professeurs fiche de l'enseignant copies Anissa, Béatrice et Cédric questionnaire série de 18 problèmes Données recueillies questionnaires entretiens (2 professeurs) 5. Expérimentation auprès des professeurs

43 43 Questionnaire 5. Expérimentation auprès des professeurs 1) Pourriez-vous décrire ce quest la symétrie axiale pour cet élève (propriétés attribuées à cette notion par lélève, types derreurs, moyens de contrôle …) ? 2) Quelle séquence dapprentissage proposez - vous pour cet élève ? Justifiez tous les choix faits dans cette séquence : a) éléments pris en compte b) raisons du choix des problèmes et conditions dutilisation de ces problèmes c) autres remarques

44 44 Méthodologie danalyse des productions des professeurs 5. Expérimentation auprès des professeurs Σpliage_1 : Une figure et sa symétrique se superposent par pliage Σ ortho : La figure (sous-figure) symétrique dune figure (sous-figure) par la symétrie orthogonale est construite dans la direction orthogonale à d Σ dist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de laxe de symétrie Σdemi_plan : Le symétrique de F est situé de lautre côté de laxe de symétrie

45 45 Copie Béatrice P rise dinformation par les professeurs 5. Expérimentation auprès des professeurs ContrôlesProf_1Prof_2Prof_3Prof_4Prof_5 Σdist non stable Σorthonon stable Σtaille_1 Σforme Σdemi_plan Σpliage_1 Σdist_point /point La structure de contrôle des conceptions initiales contiendrait :

46 46 Copie Béatrice Projets didactiques des 5 professeurs 5. Expérimentation auprès des professeurs ContrôlesProf_1Prof_2Prof_3Prof_4Prof_5 Σpliage_2 Σortho Σdist Σsens_inverse Σpoint_invariant La structure de contrôle de la conception visée contiendrait :

47 47 Copie Béatrice : Conclusions 5. Expérimentation auprès des professeurs Les connaissances qui semblent avoir influencé les décisions des professeurs : connaissances des programmes scolaires : symétrie et pliage connaissances relevant de lexpérience de lenseignement et connaissances du fonctionnement des élèves : aspect visuel de la symétrie (Prof_1 et Prof_5) efficacité du travail à loral (Prof_5) les situations de guidage fonctionnent dans certains cas (Prof_4)

48 48 5. Expérimentation auprès des professeurs connaissances mathématiques de la symétrie : propriétés dorthogonalité et dégalité des distances propriété dinvariance des points sur laxe (Prof_2) relation symétrie/pliage (Prof_3) conceptions de lenseignement/apprentissage : on apprend à partir de ce quon sait déjà ; amener lélève à dégager de nouvelles connaissances qui se substitueront aux anciennes (Prof_1 et Prof_2) mobilisation de connaissances nouvelles pour déstabiliser des connaissances erronées (Prof_4) lélève apprend à partir des exercices progressifs (Prof_4 et Prof_5) formulation favorisant lapprentissage (tous les Profs) importance du réinvestissement des connaissances (tous les Profs) Copie Béatrice : Conclusions

49 49 Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Caractérisation des conceptions 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

50 50 Conclusion générale Questions Q1 et Q2 concernant la caractérisation des contrôles et laccès aux autres éléments des conceptions : Létude a priori nous a permis didentifier les contrôles susceptibles dêtre mobilisés par un élève générique dans la résolution des problèmes de reconnaissance et de construction de figures symétriques. Létude des copies nous a permis de dégager chez ces élèves les, les R et L des conceptions mobilisées dans la résolution des problèmes P proposés. 6. Conclusion générale et perspectives

51 51 Conclusion générale Questions Q1 et Q2 concernant la caractérisation des contrôles et laccès aux autres éléments des conceptions : Dans certains cas où les réponses de lélève paraissaient confuses, voire contradictoires, grâce à lanalyse en termes de contrôles nous avons pu reconstituer un raisonnement cohérent chez lélève dans la résolution des problèmes. Nous pensons avoir ainsi mis en évidence lintérêt didactique détudier lactivité de lélève en termes de structures de contrôle. 6. Conclusion générale et perspectives

52 52 Conclusion générale Question Q3 : quels sont les types de problèmes qui favorisent le passage dune conception Ci à une conception Cj, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques ? Les conceptions Ci et Cj identifiées par ces professeurs chez les élèves ne sont pas les mêmes. Nous navons pas eu les moyens de faire une analyse comparative en termes de problèmes utilisés par les professeurs pour favoriser le passage de Ci à Cj. 6. Conclusion générale et perspectives

53 53 Conclusion générale Question Q4 : sur quels éléments les professeurs sappuient-ils pour prendre leurs décisions didactiques en vue de faire évoluer les conceptions mobilisées par un élève ? Les connaissances des programmes scolaires, du fonctionnement des élèves, et notamment leurs connaissances mathématiques de la symétrie et leurs conceptions de lenseignement/apprentissage. Les connaissances de la symétrie orthogonale intervenant le plus dans les décisions des professeurs sont liés au pliage et aux propriétés dorthogonalité et dégalité des distances. 6. Conclusion générale et perspectives

54 54 Perspectives de recherche Modélisation de connaissances : A partir des contrôles, des opérateurs et des systèmes de représentation utilisés par un sujet dans la résolution de problèmes, comment identifier si une ou plusieurs conceptions sont présentes chez ce sujet ? Modélisation de décisions didactiques : Quels sont les types de problèmes qui favorisent le passage dune conception initiale Ci à une conception cible Cj, Ci et Cj étant connues, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques ? 6. Conclusion générale et perspectives

55 55 Merci beaucoup !!! Muito obrigada !!!


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